Orientador: Rubens de Figueiredo Camargo / Banca: Edmundo Capelas de Oliveira / Banca: Alexys Bruno Alfonso / Resumo: Neste trabalho, apresentamos algumas definições de funções inerentes ao Cálculo Fracionário bem como as definições para Derivada e Integral Fracionárias. Como um dos objetivos primordiais deste trabalho é solucionar problemas reais, foi dado um enfoque à derivada fracionária segundo Caputo, uma vez que esta definição é mais pertinente a este tipo de problema, como vamos ver mais adiante. Apresentamos o modelo exponencial que descreve o crescimento bacteriano em um meio ideal e propomos uma generalização do mesmo via Cálculo Fracionário. Com o intuito de refinar a solução dada pela clássica equação logística e ampliar o seu campo de aplicações no estudo de dinâmicas tumorais, propomos e resolvemos uma generalização para a mesma, utilizando o Cálculo Fracionário, isto é, substituímos a derivada de ordem 1 presente na equação ordinária por uma derivada de ordem não inteira 0 < ≤ 1. Em ambos os casos, a solução da equação fracionária tem, como caso particular, a solução do modelo clássico. Por fim, apresentamos a parte original deste trabalho, i.e., analisamos a aplicabilidade do modelo Logístico Fracionário para a descrição do crescimento de tumores de câncer, isto é, sabendo os modelos de crescimentos tumorais presentes na literatura, mostramos graficamente que o comportamento do modelo proposto é, em diversos casos, mais conveniente para descrever o crescimento de tumores de câncer do que os modelos usualmente utilizados / Abstract: This work presents the definitions of some important functions inherent to Fractional Calculus as well as the definitions for Fractional Integral and Fractional Derivative. One of the main goals of this work is to solve real problems, that is why focus was given on fractional derivatives, in accordance with Caputo, once this definition is more pertinent to this kind of problem. It was introduced the exponential model wich describes bacterial growth in an ideal way and it was proposed its generalization through Fractional Calculus. In order to refine the solution given by the classical logistic equation and expand its application range in the study of tumor dynamics, we propose and solve its generalization, using the Fractional Calculus , i. e., we replace the derivative of order 1 in the ordinary equation by a non-integer order derivative 0 < ≤ 1. In both cases, the solution of the fractional equation has as a special case the solution of the classic model. Finally, we present the original part of this work, i.e., we analyse the applicability of the fractional logistic model to describe the growth of cancer tumor, that is, we compare the model with some presented in the literature and showed graphically that in several cases our model is more convenient than the usual ones / Mestre

Orientador: Rubens de Figueiredo Camargo / Coorientador: Paulo Fernando de Arruda Mancera / Banca: Edmundo de Oliveira Capela / Banca: Alexys Bruno Alfonso / Resumo: Este trabalho trata do Cálculo Fracionário e suas aplicações em problemas biológicos. Nas aplicações nos concentramos no sistema de Lotka-Volterra clássico e fracionário, para depois analisar o controle biológico da praga da cana-de-açúcar. Como trabalho futuro, propomos analisar as aplicações do sistema de Lotka-Volterra fracionário em problemas reais do câncer, com saturação de crescimento tumoral enfocando tratamento quimioterápico / Abstract: This work is about Fractional Calculus and its applications in biological problems. In the applications we focus on the classical Lotka-Volterra system and into the corresponding fractional order version to examine the biological control of sugar cane's pest. As future work, we analyze the fractional system in real problems of cancer, with saturation of tumor growth with a focus on chemotherapy / Mestre

Orientador: Rubens de Figueiredo Camargo / Resumo: Câncer é umas das maiores causas de mortalidade mundial. Os tratamentos mais convencionais, tais como quimioterapia e radioterapia, além de debilitarem muito o paciente também matam as células normais. Em contrapartida, e em fase de tratamento experimental e ensaios clínicos, a terapia gênica tem poucos efeitos colaterais e provoca a morte seletiva das células tumorais. Este trabalho apresenta alguns conceitos do Cálculo Fracionário e o Método de Grünwald-Letnikov para simulação numérica de Equações Diferenciais Fracionárias, também estuda alguns modelos matemáticos de ordem inteira e não inteira, com derivada temporal de Caputo, que visam descrever o tratamento por terapia gênica. A análise de estabilidade e as simulações numéricas exibiram que mudanças no cenário da dinâmica tumoral estão relacionadas com a ordem da derivada fracionária, no qual observou-se uma atuação mais eficiente do tratamento quando o modelo está associado com ordens menores da derivada fracionária. / Abstract: Cancer is one of the biggest causes of worldwide mortality. Conventional treatments, such as chemotherapy and radiotherapy, in addition to weakening the patient also kill normal cells. On the other hand, in experimental treatments and clinical trials, gene therapy has few side effects and causes selective killing of tumor cells. This work presents some concepts of the Fractional Calculus and the Grünwald-Letnikov Method for numerical simulation of Fractional Differential Equations, also studies some mathematical models of integer order and non-integer order, with temporal derivative of Caputo, that aim describe the treatment by gene therapy. Stability analysis and numerical simulations have shown that changes in the scenery of the tumor dynamics are related to the order of the fractional derivative, in which a more efficient treatment performance was observed when the model is associated with smaller orders of the fractional derivative. / Doutor