La prévision de la tenue des structures fissurées nécessite le calcul du taux de restitution d'énergie ou des facteurs d'intensité de contrainte (FIC) en pointe de fissure. Ces quantités sont généralement évaluées après une analyse éléments finis. Plus récemment l'apparition de la XFEM a permis d'améliorer la description des champs en pointe fissure et de s'affranchir des remaillages successifs après chaque pas de propagation. Néanmoins, la solution ainsi calculée demeure une solution approchée de la solution du problème de référence. Il est donc important de pouvoir évaluer la pertinence de ces calculs. Ces travaux de thèse proposent une technique à même de fournir un encadrement conservatif des FIC évalués par une méthode éléments finis classique et par la XFEM. L'utilisation des techniques d'évaluation d'erreur sur les quantités d'intérêt et de l'erreur en relation de comportement permet dans un premier temps de fournir des bornes de bonne qualité pour les FIC. On propose ensuite une méthode permettant d'évaluer l'erreur globale commise lors d'une analyse XFEM. Elle fait intervenir l'erreur en relation de comportement et des techniques de construction de champs de contrainte adéquates. On est alors en mesure de proposer un encadrement assez fin des FIC pour un coût numérique très raisonnable. L'estimation d'erreur peut finalement être envisagée comme un moyen de déterminer les quantités d'intérêt avec précision.

Notre problème consiste à déterminer le nombre de grands rectangles identiques nécessaires pour ranger une liste de rectangles sans modifier leur orientation. Nous proposons des méthodes pour calculer des bornes inférieures pour ce problème, essentiellement basée sur le concept de fonctions dual-réalisables. Nous proposons aussi deux méthodes exactes de type énumératives. L'une permet de déterminer si un ensemble de rectangles peut être contenu dans un rectangle unique. Elle repose sur une nouvelle relaxation du problème. La deuxième méthode permet de résoudre le problème général de bin packing en deux dimensions. Elle calcule pour cela une décomposition itérative de l'ensemble des rectangles à placer.

Soit $\mathcal D$ un domaine borné symétrique réalisé comme boule unité d'un système triple de Jordan hermitien $E$. On suppose $\mathcal D$ de type tube, simple et de rang $r$. La frontière de Shilov $\Sigma$ de $\mathcal D$ est l'ensemble des tripotents inversibles de $E$. La composante neutre $G$ du groupe des automorphismes de $\mathcal D$ agit (transitivement) sur $\Sigma$, et son action sur $\Sigma\times\Sigma$ se compose de $r$ orbites, dont une seule ouverte, constituée des couples dits transverses. L'indice de transversalité d'un couple de tripotents inversibles mesure son défaut de transversalité et donne une paramétriation de ces orbites (il varie entre $0$, lorsque le couple est transverse, et $r$). Le groupe fondamental de $\Sigma$ est cyclique infini. L'indice de Maslov d'un chemin continu dans $\Sigma$ (relativement à un tripotent inversible $e$) caractérise sa classe d'homotopie à extémités fixées. Il peut se définir comme l'indice d'intersection du chemin avec le cycle de Maslov $\Sigma(e)=\bigsqcup_{k=1\dots r}\Sigma_k(e)$, où $\Sigma_k(e)$ est l'ensemble des tripotents inversibles dont l'indice de tranversalité avec $e$ est $k$. Cet indice généralise l'indice de Malov des chemins dans la Lagrangienne d'espace vectoriel symplectique réel. On considère désormais un domaine borné symétrique d'un espace de Banach réalisé comme boule unité d'un $JB^*$-triple $E$, et supposé de type tube. Nous construisons, dans notre thèse, l'indice de Maslov d'un chemins continu dans $\Sigma$ relativement à un tripotent inversible $e$. Un tel chemin doit vérifier une condition de type Fredholm relativement à $e$. Nous définissons une telle condition puis nous définissons l'indice de transversalité d'une paire de Fredholm. Nous établissons alors un lemme de perturbation pour cet indice qui nous permet de construire l'indice de Maslov, non plus comme un indice d'intersection mais comme un flot specral, et de montrer qu'il est invariant par homotopies à extrémités fixées.

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique d'une méthode de calibration automatique des pénalités en sélection de modèles. Cette méthode se base sur une heuristique, appelée "heuristique de pente", qui stipule l'existence d'une pénalité minimale telle que la solution optimale du problème de pénalisation vaut deux fois celle-ci. En pratique, on estime la pénalité optimale en estimant préalablement la pénalité minimale, caractérisée par un changement brutal dans le comportement de la procédure de sélection de modèles autour de ce seuil de pénalisation. L'analyse théorique du phénomène de pente se base sur un contrôle à la constante près des déviations de l'excès de risque et de l'excès de risque empirique des estimateurs considérés, mesurant respectivement leur performance en prédiction et leur performance empirique. Ceci suggère en premier lieu, une forte spécification de la structure du problème étudié. Nous validons l'heuristique de pente dans un cadre général qui s'articule autour d'une notion nouvelle en M-estimation, que nous appelons "contraste régulier", et nous développons une méthodologie de preuve inédite, permettant de traiter à la fois la question des bornes supérieures et des bornes inférieures de déviation des excès de risque à modèle fixé. Nous retrouvons ainsi la plupart des résultats déjà connus sur l'heuristique de pente. En effet, nous donnons trois exemples d'estimation par minimum de contraste régulier, à savoir la régression par moindres carrés sur des modèles linéaires, l'estimation de la densité par moindres carrés sur des modèles affines et l'estimation de la densité par maximum de vraisemblance sur des ensembles convexes. Ceci nous permet d'étendre les résultats précédemment établis dans le cas de la régression à des modèles plus généraux et de valider l'heuristique de pente pour un risque non quadratique en considérant le cas de l'estimation par maximum de vraisemblance. Enfin, notre méthodologie de preuve fournit des pistes précises de recherche pour des situations non régulières, comme on en trouve en classification ou plus généralement en théorie de l'apprentissage statistique.

Les calcaires urgoniens constituent le principal aquifère karstique du massif des Bornes. La structure plissée et la fracturation conduisent à la délimitation de systèmes karstiques d'extension modeste. Entre les vallées du Borne et du Fier une douzaine de systèmes sont recensés. Ils sont essentiellement alimentés par les précipitations dont une part assez importante est temporairement stockée à leur surface sous forme de neige durant la saison froide. L'acquisition de données hydrométriques et hydrochimiques journalières durant 2 a 3 cycles hydrologiques sur les 4 principales émergences du secteur a permis la mise en évidence: 1) du caractère tres karstifié des systèmes étudiés avec cependant un drainage moins fonctionnel en période d'étiage mis en relation avec l'évolution actuelle de ces systèmes; 2) du rôle préponderant de la zone non saturée dans les modalités de transit des eaux et l'acquisition de la charge dissoute. L'expérience acquise permet de perfectionner la méthodologie d'étude des systèmes karstiques subalpins. Les faibles réserves des systèmes sont evaluées et des aménagements sont proposés pour accroitre et protéger les ressources en eau des systèmes karstiques étudiés

Cette thèse traite des domaines suivant en Apprentissage Automatique: la théorie des Bandits, l'Apprentissage statistique et l'Apprentissage par renforcement. Son fil rouge est l'étude de plusieurs notions d'adaptation, d'un point de vue non asymptotique : à un environnement ou à un adversaire dans la partie I, à la structure d'un signal dans la partie II, à la structure de récompenses ou à un modèle des états du monde dans la partie III. Tout d'abord nous dérivons une analyse non asymptotique d'un algorithme de bandit à plusieurs bras utilisant la divergence de Kullback-Leibler. Celle-ci permet d'atteindre, dans le cas de distributions à support fini, la borne inférieure de performance asymptotique dépendante des distributions de probabilité connue pour ce problème. Puis, pour un bandit avec un adversaire possiblement adaptatif, nous introduisons des modèles dépendants de l'histoire et traduisant une possible faiblesse de l'adversaire et montrons comment en tirer parti pour concevoir des algorithmes adaptatifs à cette faiblesse. Nous contribuons au problème de la régression en montrant l'utilité des projections aléatoires, à la fois sur le plan théorique et pratique, lorsque l'espace d'hypothèses considéré est de dimension grande, voire infinie. Nous utilisons également des opérateurs d'échantillonnage aléatoires dans le cadre de la reconstruction parcimonieuse lorsque la base est loin d'être orthogonale. Enfin, nous combinons la partie I et II : pour fournir une analyse non-asymptotique d'algorithmes d'apprentissage par renforcement; puis, en amont du cadre des Processus Décisionnel de Markov, pour discuter du problème pratique du choix d'un bon modèle d'états.

Notre travail porte sur le problème de bin-packing qui consiste à déterminer le nombre minimum de grands rectangles (bins) nécessaires pour ranger un ensemble de petits rectangles (objets). Ce problème d'optimisation combinatoire est NP-difficile au sens fort. Nous proposons des prétraitements des objets permettant la valorisation des espaces perdus dans les bins et la diminution de la taille du problème à résoudre. Nous proposons une nouvelle méthode d'évaluation de bornes inférieures tenant compte de la possibilité de tourner les objets de 90 degrés. Nous procédons à une résolution approchée du problème grâce à deux nouvelles méthodes : une heuristique et un algorithme de recherche tabou.

Un grand nombre d'applications concrètes (Radar, Sonar, Télécoms ...) requièrent une étape de détection dont l'effet principal est de restreindre l'ensemble des observations disponibles pour l'estimation des paramètres inconnus. Par conséquent, nous établissons l'expression des bornes inférieures de l'Erreur Quadratique Moyenne (EQM) conditionnées par un test d'hypothèse binaire au moyen d'une approche didactique générale. Pour valider l'intérêt de cette démarche, nous montrons également à l'aide d'une application fondamentale, que le problème de la précision de prédiction de l'EQM vraie par une borne inférieure à faible RSB, peut provenir d'une formulation incorrecte de la borne inférieure ne prenant pas en compte la vraie problématique, à savoir les problèmes conjoints de détection-estimation.

Historiquement, les inégalités d'oracle ont été développées comme des outils particulièrement efficaces pour l'adaptation à un paramètre inconnu en statistique mathématique. Initialement dédiées à la démonstration de propriétés statistiques de certains estimateurs, elles peuvent s'inscrire dans le cadre plus général du problème l'agrégation où elles sont au centre de la définition d'une vitesse optimale d'agrégation. Elles constituent alors d'une part des outils mathématiques et d'autre part des résultats précis et non asymptotiques.<br />Les travaux faisant l'objet de cette thèse présentent différentes utilisations des inégalités d'oracle, d'abord dans un cadre général d'agrégation puis dans des modèles statistiques plus particuliers, comme l'estimation de densité et la classification. Les résultats obtenus sont une palette non exhaustive mais représentative de l'utilisation des inégalités d'oracle en statistique mathématique.

Ce travail présente une méthode générale fournissant des bornes garanties de l'erreur de discrétisation sur une quantité locale issue d'un calcul éléments finis. Formulée dans un cadre général, la méthode est illustrée sur un cas 2D d'élastoplasticité. Le cadre non-linéaire de cette implémentation a soulevé des problèmes d'un type nouveau au sein de la thématique de vérification. Après avoir défini les problèmes miroir et central, nous proposons des solutions pour les résoudre.La mise en place de l'outil introduit est détaillée. Ainsi, des bornes garanties de l'erreur locale sur une composante de la déformation plastique sont calculées. Une première étude sur des cas académiques est présentée avant de s'intéresser à un cas plus complexe. Enfin une amélioration de la méthode est introduite, permettant l'obtention de bornes plus pertinentes.