La thèse traite de la dynamique d'un Condensat de Bose Einstein (CBE) dans un réseau optique modulé en phase et en amplitude. Dans un premier temps, je présente le dispositif expérimental permettant d'obtenir le CBE ainsi que le réseau optique, et décris les différents contrôles de la phase et de l'amplitude que nous avons mis en place. La première expérience que nous avons effectuée repose sur le changement brusque de la phase du réseau permettant de déplacer celui-ci de quelques dizaines de nm. Cette expérience nous a permis de mettre au point une méthode de calibration de la profondeur du potentiel périodique se basant sur la mesure de la période de la micro-oscillation de la chaîne de condensats induite par le déplacement soudain du potentiel. Il existe ainsi une bijection entre profondeur et période de l'oscillation faisant de cette dernière une candidate idéale comme méthode de calibration. Cette oscillation présente également de l'effet tunnel entre puits du réseau. Nous avons pu mesurer le temps tunnel i.e. le retard entre un paquet d'atomes ayant traversé une barrière de potentiel par effet tunnel et un paquet d'atomes ayant continué son oscillation. La dernière partie de ce manuscrit présente une étude de la dynamique du condensat dans un réseau dont la phase ou l'amplitude sont modulées sinusoïdalement. Nous avons étudié trois régimes de fréquences de modulation présentant des comportements très différents. Les régimes de fréquences sont définies par rapport à la fréquence résonante entre la bande fondamentale du réseau et la première bande excitée. Pour la modulation à basse fréquence, le taux tunnel intersite est renormalisé et peut atteindre des valeurs effectives négatives. Ce phénomène engendre une instabilité dynamique qui est à l'origine d'une transition de phase quantique. Nous avons effectué une étude théorique, numérique et expérimentale qui nous a permis de déterminer le rôle des fluctuations quantiques et thermiques dans la cinétique de cette transition. Pour le régime de modulation haute fréquence, la profondeur du potentiel du réseau est renormalisée par une fonction de Bessel. Nous nous sommes servis de cet effet pour placer les atomes dans une situation très loin de l'équilibre avec un grand contrôle. Enfin, en nous plaçant dans le régime où la fréquence de modulation est de l'ordre de la fréquence résonante entre la bande fondamentale du réseau et la première bande excitée, nous induisons des transitions interbandes. Nos données révèlent les règles de sélection qui sont différentes pour la modulation de phase et d'amplitude, et le rôle des interactions dans les excitations résonantes. / The subject of this thesis is the study of the dynamics of a Bose Einstein condensate in a phase and amplitude modulated optical lattice. First, I present the experimental setup allowing us to produce the BEC as well as the optical lattice. I describe the different means of control on the phase and on the amplitude of the lattice that we implemented. The first experiment we performed is based on the sudden shift of the phase of the lattice that induces a displacement of a few tenth of nm. This experiment allowed us to develop a new method to calibrate the depth of the lattice using the period of the micro-oscillation of the BEC chain triggered by the phase shift. There is a bijection between the depth of the lattice and the oscillation period giving the period the ideal profile to be a calibration method. The dynamic of the oscillation shows tunnel effect between adjacent wells of the lattice. We have been able to measure directly the tunneling time which is the delay between an atoms packet which passed through a potential barrier by tunnel effect and a packet of atoms which continued its oscillation. The last part of the manuscript presents a study of the dynamics of the BEC inside a lattice which phase or amplitude is modulated with a sine function. We study three ranges of modulation frequencies showing different behaviors. The frequency is compared with the resonant frequency between the fundamental band of the lattice band structure and the first excited band. When we modulate with low frequencies the phase of the lattice, the tunnel rate between adjacent wells is renormalized. This yields a dynamical instability which triggers a quantum phase transition. We performed a theoretical study, a numerical study and an experimental study that allowed us to define the role of quantum and thermal fluctuations in the system on the kinetics of this transition. For the high modulation frequency regime, the potential depth is renormalized with a Bessel function. We used this effect to put the atoms in a far-out of equilibrium position in a well- controlled manner. Lastly, by choosing the modulation frequency to be of the order of the resonant frequency between the fundamental band and the first excited band, we induce interband transitions. Our data reveal the selection rules which are different for phase and amplitude modulation, and the role of two-body interactions in the excitation process.

Ultra cold quantum gas is a convenient system to study fundamental questions of modern physics, such as phase transitions and critical phenomena. This master thesis is devoted to experimental investigation of the thermodynamics susceptibilities, such as the isothermal compressibility and the thermal expansion coefficient of a trapped Bose-Einstein condensate (BEC) of 87Rb atoms. The critical phenomena and the critical exponents across the transition can explain the behavior of the isothermal compressibility and the thermal expansion coefficient near the critical temperature TC. By employing the developed formalism of global thermodynamics variables, we carry out a statistical treatment of Bose gas in a 3D harmonic potential. After that, comparison of obtained results reveals the most appropriate state variables describing the system, namely volume and pressure parameter V and Π respectively. The both are related with the confining frequencies and BEC density distribution. We apply this approach to define the set of new thermodynamic variables of BEC, and also to construct the isobaric phase diagram V T. Its allows us to extract the compressibility κT and the thermal expansion coefficient βΠ. The behavior of the isothermal compressibility corresponds to the second-order phase transition, while the thermal expansion coefficient around the critical point behaves as β ∼ tr-α, where tr is reduced temperature of the system and α is the critical exponent on the basic of these. Results we have obtained the critical exponent α = 0.15±0.09, which allows us to determine the system dimensionality by means of the scaling theory, relating the critical exponents with the dimensionality. As a result, we found out that the dimensionality of the system to be d ∼ 3, one is in agreement with the real dimension of the system. / Amostras atômicas ultrafrias de um gás de Bose são convenientes para estudar questões fundamentais da física moderna, como as transições de fase e fenômenos críticos em condensados de Bose-Einstein (BEC). A minha dissertação dedica se à investigação das susceptibilidades termodinâmicas como a compressibilidade isotérmica e o coeficiente de expansão térmica de a traves da transição de um BEC de 87Rb. Os fenômenos críticos e os exponentes críticos a traves da transição podem explicar o comportamento da compressibilidade isotérmica e do coeficiente de expansão térmica perto da temperatura crítica TC. Ao empregar o desenvolvido formalismo das variáveis termodinâmicas globais, levamos a cabo o tratamento estatístico de um gás de Bose num potencial harmônico 3D. Depois da comparação dos resultados obtidos, revelam as mais apropriadas variáveis de estado descrevendo o sistema, chamadas parâmetro de volume e pressão, V e Π respectivamente. As duas estão relacionadas com as frequências de confinamento e a distribuição de densidade do BEC. Nós aplicamos esta abordagem para definir um conjunto de novas variáveis termodinâmicas do BEC, e também para construir o diagrama de fase isobárico V T. O anterior nós permite extrair a compressibilidade κT e o coeficiente de expansão termina βΠ. O comportamento da compressibilidade isotérmica corresponde a uma transição de fase de segunda ordem enquanto que o coeficiente de expansão térmica ao redor do ponto crítico comporta se como β ∼ tr-α, onde tr é a temperatura reduzida do sistema, e α o exponente crítico. Deste resultado nós obtemos um exponente critico, α = 0.15 ± 0.09, que permite determinar a dimensionalidade do sistema a traves da teoria de escala, relacionando os exponentes críticos com a dimensionalidade. Como resultado, encontramos que a dimensionalidade do sistema é d ∼ 3 que está de acordo como a dimensão real do sistema.

Ultra cold quantum gas is a convenient system to study fundamental questions of modern physics, such as phase transitions and critical phenomena. This master thesis is devoted to experimental investigation of the thermodynamics susceptibilities, such as the isothermal compressibility and the thermal expansion coefficient of a trapped Bose-Einstein condensate (BEC) of 87Rb atoms. The critical phenomena and the critical exponents across the transition can explain the behavior of the isothermal compressibility and the thermal expansion coefficient near the critical temperature TC. By employing the developed formalism of global thermodynamics variables, we carry out a statistical treatment of Bose gas in a 3D harmonic potential. After that, comparison of obtained results reveals the most appropriate state variables describing the system, namely volume and pressure parameter V and Π respectively. The both are related with the confining frequencies and BEC density distribution. We apply this approach to define the set of new thermodynamic variables of BEC, and also to construct the isobaric phase diagram V T. Its allows us to extract the compressibility κT and the thermal expansion coefficient βΠ. The behavior of the isothermal compressibility corresponds to the second-order phase transition, while the thermal expansion coefficient around the critical point behaves as β ∼ tr-α, where tr is reduced temperature of the system and α is the critical exponent on the basic of these. Results we have obtained the critical exponent α = 0.15±0.09, which allows us to determine the system dimensionality by means of the scaling theory, relating the critical exponents with the dimensionality. As a result, we found out that the dimensionality of the system to be d ∼ 3, one is in agreement with the real dimension of the system. / Amostras atômicas ultrafrias de um gás de Bose são convenientes para estudar questões fundamentais da física moderna, como as transições de fase e fenômenos críticos em condensados de Bose-Einstein (BEC). A minha dissertação dedica se à investigação das susceptibilidades termodinâmicas como a compressibilidade isotérmica e o coeficiente de expansão térmica de a traves da transição de um BEC de 87Rb. Os fenômenos críticos e os exponentes críticos a traves da transição podem explicar o comportamento da compressibilidade isotérmica e do coeficiente de expansão térmica perto da temperatura crítica TC. Ao empregar o desenvolvido formalismo das variáveis termodinâmicas globais, levamos a cabo o tratamento estatístico de um gás de Bose num potencial harmônico 3D. Depois da comparação dos resultados obtidos, revelam as mais apropriadas variáveis de estado descrevendo o sistema, chamadas parâmetro de volume e pressão, V e Π respectivamente. As duas estão relacionadas com as frequências de confinamento e a distribuição de densidade do BEC. Nós aplicamos esta abordagem para definir um conjunto de novas variáveis termodinâmicas do BEC, e também para construir o diagrama de fase isobárico V T. O anterior nós permite extrair a compressibilidade κT e o coeficiente de expansão termina βΠ. O comportamento da compressibilidade isotérmica corresponde a uma transição de fase de segunda ordem enquanto que o coeficiente de expansão térmica ao redor do ponto crítico comporta se como β ∼ tr-α, onde tr é a temperatura reduzida do sistema, e α o exponente crítico. Deste resultado nós obtemos um exponente critico, α = 0.15 ± 0.09, que permite determinar a dimensionalidade do sistema a traves da teoria de escala, relacionando os exponentes críticos com a dimensionalidade. Como resultado, encontramos que a dimensionalidade do sistema é d ∼ 3 que está de acordo como a dimensão real do sistema.

The vacuum of quantum field theory is not empty space but filled with quantum vacuum fluctuations, which give rise to many intriguing effects. The first part of this Thesis addresses cosmic inflation, where the quantum fluctuations of the inflaton field freeze and get amplified in the expanding universe. Afterwards, we turn our attention towards Bose-Einstein condensates, a laboratory system. Since most of our calculations are performed using a mean-field expansion, we will study the accuracy of a finite-range interaction potential onto such an expansion. Exploiting the universality of quantum fluctuations, several aspects of cosmic inflation will be identified in ballistically expanding Bose-Einstein condensates. The effective action technique for calculating the quantum backreaction will be scrutinized. Finally, we consider dynamic quantum phase transitions in the last part of this Thesis. To this end two specific scenarios will be investigated: firstly, the structure formation during the superfluid to Mott-insulator transition in the Bose-Hubbard model; and secondly, the formation of spin domains as a two-dimensional spin-one Bose gas is quenched from the (polar) paramagnetic to the (planar) ferromagnetic phase. During this quench, the symmetry of the ground state is spontaneously broken and vortices (topological defects) form.

We numerically study the dynamics and interactions of vortex rings in the nonlinear Schrödinger equation (NLSE). Single ring dynamics for both bright and dark vortex rings are explored including their traverse velocity, stability, and perturbations resulting in quadrupole oscillations. Multi-ring dynamics of dark vortex rings are investigated, including scattering and merging of two colliding rings, leapfrogging interactions of co-traveling rings, as well as co-moving steady-state multi-ring ensembles. Simulations of choreographed multi-ring setups are also performed, leading to intriguing interaction dynamics. Due to the inherent lack of a close form solution for vortex rings and the dimensionality where they live, efficient numerical methods to integrate the NLSE have to be developed in order to perform the extensive number of required simulations. To facilitate this, compact high-order numerical schemes for the spatial derivatives are developed which include a new semi-compact modulus-squared Dirichlet boundary condition. The schemes are combined with a fourth-order Runge-Kutta time-stepping scheme in order to keep the overall method fully explicit. To ensure efficient use of the schemes, a stability analysis is performed to find bounds on the largest usable time step-size as a function of the spatial step-size. The numerical methods are implemented into codes which are run on NVIDIA graphic processing unit (GPU) parallel architectures. The codes running on the GPU are shown to be many times faster than their serial counterparts. The codes are developed with future usability in mind, and therefore are written to interface with MATLAB utilizing custom GPU-enabled C codes with a MEX-compiler interface. Reproducibility of results is achieved by combining the codes into a code package called NLSEmagic which is freely distributed on a dedicated website.

Condensação de Bose-Einstein é um fenômeno quântico que pode ser observado macroscopicamente. Para a sua obtenção são necessários aprisionamentos externos, porém a presença desses leva ao colapso da função de onda. As interações de longo alcance são propostas como uma forma alternativa ao confinamento externo, um vez que podem prevenir o colapso da função de onda. Neste trabalho será apresentada uma revisão sobre os estudos de condensados de Bose-Einstein. Também, será buscada a solução aproximada da equação de Schrödinger não linear e não-local, a qual descreve condensados de Bose-Einstein com auto-interações de longo alcance. Para isso, será suposta uma forma espacial da função de onda, permitindo o tratamento analítico do sistema dinâmico resultante. Ao fim, por meio do método variacional dependente do tempo, será demonstrado que existem soluções estáveis para a função de onda sujeito a interações de longo alcance na forma gaussiana e gravitacional. / Bose-Einstein condensation is a quantum phenomenon that can be observed macroscopically. External trappings are required to obtain them, however the presence of these leads to the collapse of the wave function. Long-range interactions are proposed as an alternative to external confinement, since they can prevent the collapse of the wave function. In this work a review will be presented on the Bose-Einstein condensate studies. Also, we review the approximate solution of the non-linear and non-local Schrödinger equation, which describes Bose-Einstein condensates with long-range auto-interactions. For this, a spatial form of the wave function will be assumed, allowing the analytical treatment of the system. Finally, through the time-dependent variational method, it will be demonstrated that there are stable solutions for the wave function subject to long-range interactions in gaussian and gravitational form.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / A tese de doutorado apresenta uma aplicação de técnicas de teoria de campos em um sistema da matéria condensada. Motivados por experimentos em gases atômicos, apresentamos um estudo sobre misturas binárias de gases atômicos na presença de uma interação do tipo Josephson. O foco principal é o estudo de um modelo de dois campos complexos não-relativisticos com simetria O(2). Esta simetria é quebrada por interações que produzem um desbalanço nas populações das duas espécies bosônicas. Estudamos o modelo na aproximação de campo médio mais flutuações gaussianas, usando o formalismo de teoria de campos a temperatura finita em tempo imaginário. Os resultados mostram que, num certo intervalo de temperaturas, as duas espécies bosônicas condensam à mesma temperatura crítica e a fase relativa do condensado é fixa, determinada pela fase do campo externo aplicado. / The thesis apresents an applications of field theory techniques in a condensed matter system. Motivated by experiments in atomic gases, we present a study of binary mixture of atomic gases in the presence of an interaction type Josephson. The main focus is the study of a model of two complex fields with non-relativistic symmetry O(2). This symmetry is broken by interactions that produce an inbalance in the populations of the two species bosonic. We study the model in the mean-field approximattion more gaussian fluctuations, using the formalism of field theory at finite temperature in imaginary time. The results show that in a certain temperature range, the two bosonic species condense the same critical temperature and the ralative phase of the condensate is fixed and determined by the applied external field phase.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / A tese de doutorado apresenta uma aplicação de técnicas de teoria de campos em um sistema da matéria condensada. Motivados por experimentos em gases atômicos, apresentamos um estudo sobre misturas binárias de gases atômicos na presença de uma interação do tipo Josephson. O foco principal é o estudo de um modelo de dois campos complexos não-relativisticos com simetria O(2). Esta simetria é quebrada por interações que produzem um desbalanço nas populações das duas espécies bosônicas. Estudamos o modelo na aproximação de campo médio mais flutuações gaussianas, usando o formalismo de teoria de campos a temperatura finita em tempo imaginário. Os resultados mostram que, num certo intervalo de temperaturas, as duas espécies bosônicas condensam à mesma temperatura crítica e a fase relativa do condensado é fixa, determinada pela fase do campo externo aplicado. / The thesis apresents an applications of field theory techniques in a condensed matter system. Motivated by experiments in atomic gases, we present a study of binary mixture of atomic gases in the presence of an interaction type Josephson. The main focus is the study of a model of two complex fields with non-relativistic symmetry O(2). This symmetry is broken by interactions that produce an inbalance in the populations of the two species bosonic. We study the model in the mean-field approximattion more gaussian fluctuations, using the formalism of field theory at finite temperature in imaginary time. The results show that in a certain temperature range, the two bosonic species condense the same critical temperature and the ralative phase of the condensate is fixed and determined by the applied external field phase.

Condensação de Bose-Einstein é um fenômeno quântico que pode ser observado macroscopicamente. Para a sua obtenção são necessários aprisionamentos externos, porém a presença desses leva ao colapso da função de onda. As interações de longo alcance são propostas como uma forma alternativa ao confinamento externo, um vez que podem prevenir o colapso da função de onda. Neste trabalho será apresentada uma revisão sobre os estudos de condensados de Bose-Einstein. Também, será buscada a solução aproximada da equação de Schrödinger não linear e não-local, a qual descreve condensados de Bose-Einstein com auto-interações de longo alcance. Para isso, será suposta uma forma espacial da função de onda, permitindo o tratamento analítico do sistema dinâmico resultante. Ao fim, por meio do método variacional dependente do tempo, será demonstrado que existem soluções estáveis para a função de onda sujeito a interações de longo alcance na forma gaussiana e gravitacional. / Bose-Einstein condensation is a quantum phenomenon that can be observed macroscopically. External trappings are required to obtain them, however the presence of these leads to the collapse of the wave function. Long-range interactions are proposed as an alternative to external confinement, since they can prevent the collapse of the wave function. In this work a review will be presented on the Bose-Einstein condensate studies. Also, we review the approximate solution of the non-linear and non-local Schrödinger equation, which describes Bose-Einstein condensates with long-range auto-interactions. For this, a spatial form of the wave function will be assumed, allowing the analytical treatment of the system. Finally, through the time-dependent variational method, it will be demonstrated that there are stable solutions for the wave function subject to long-range interactions in gaussian and gravitational form.

Utilizamos o modelo de Bose-Hubbard para estudar as estabilidades dinâmica e termodinâmica dos condensados numa rede óptica periódica circular. O nosso principal objetivo foi investigar a existência de condensados metaestáveis no sistema. Deduzimos e resolvemos a equação de Gross-Pitaevskii e, a partir da análise das soluções, foi possível mostrar que o sistema se condensa em estados com momento modular bem definido. Esses estados formam uma base que diagonaliza o termo que descreve o tunelamento atômico no hamiltoniano de Bose-Hubbard. No contexto da teoria de Bogoliubov deduzimos para cada condensado, o hamiltoniano efetivo cuja diagonalização determina o espectro das excitações coletivas do sistema. Identificamos corretamente o modo de energia zero, conseqüência da violação da conservação do número de átomos, e verificamos que este possui momento modular igual ao do condensado. No estudo da estabilidade vimos que todos os condensados com momento modular nos 2º e 3º quadrantes são termodinamicamente instáveis e as respectivas condições de estabilidade dinâmica dependem dos parâmetros de controle do sistema. Por outro lado os condensados com momento modular nos 1º e 4º quadrantes são todos dinamicamente estáveis enquanto que, nesse caso, é a estabilidade termodinâmica que depende dos parâmetros de controle do sistema. Nessa análise verificamos que o condensado com momento modular zero, que corresponde ao mínimo global da energia, é sempre estável. Determinamos exatamente o intervalo nos parâmetros de controle a partir do qual podemos encontrar condensados metaestáveis no sistema. Examinamos como a competição entre as intensidades dos termos de tunelamento e repulsão local afeta a estabilidade dos condensados. Essa competição define dois regimes distintos: Rabi, onde a coerência entre estados localizados nos sítios é mantida, e Fock, onde não há mais essa coerência e a aplicabilidade da aproximação de Bogoliubov é questionável. / We use the Bose-Hubbard model to study the dynamical and thermodynamical stabilities of condensates in a circular periodic optical lattice. Our main goal was to investigate the existence of metastable condensates in the system. We derive and solve the Gross-Pitaevskii equation, and from the analysis of the solutions it was possible to show that the system condenses in states with well-defined modular momentum. These states constitute a basis that diagonalizes the term of the Bose-Hubbard Hamiltonian which describes the dynamics of atomic tunneling. In the framework of Bogoliubov theory we determine, for each condensate, the effective Hamiltonian whose diagonalization give us the collective excitation spectrum of the system. We show that the mode associated to a zero eigenvalue, which is a consequence of the violation of atoms number conservation, has the same modular momentum of the condensate. The condensates with modular momentum in the 2nd and 3rd quadrants are all thermodynamically unstable whereas the dynamical stability depends on the control parameters. On the other hand, the condensates with modular momentum in the 1st and 4th quadrants are all dynamically stable whereas the thermodynamical stability depends on the control parameters. Our analysis shows that the condensate with modular momentum zero, which corresponds to a global minimum of energy, is always stable independently of the control parameters. We determine, exactly, the range on the control parameters where it is possible to detect metastability in the system. We have studied how the competition between the intensities of the tunneling and local interaction terms affects the stability of the condensates. This competition defines two distinct regimes: Rabi, where the coherence between states localized in the sites is achieved, and Fock, where this coherence is not achieved and the validity of Bogoliubov approximation is questionable.