Thesis (PhD)--Stellenbosch University, 2013. / ENGLISH ABSTRACT: Different generalized Newtonian fluids (where the normal stresses were neglected) were considered in this study. Analytical expressions were derived for time independent, fully developed velocity profiles of Herschel-Bulkley fluids (including the simplifications thereof: Newtonian, power law and Bingham plastic fluids) and Casson fluids through open channel sections. Both flow through cylindrical pipes (Hagen-Poiseuille flow) and parallel plates (plane Poiseuille flow) were brought under consideration. Equations were derived for the wall shear stresses in terms of the average channel velocities. These expressions for plane Poiseuille flow were then utilized in the modelling of flow through homogeneous, isotropic porous media. Flow through parallel plates was extended and a possibility of a moving lower wall (plane Couette-Poiseuille flow) was included for Herschel-Bulkley fluids (and the simplifications thereof). The velocity of the wall was assumed to be opposite to the pressure gradient (thus in the streamwise direction) yielding three different possible flow scenarios. These equations were again revisited in the study on flow over porous structures. Averaging of the microscopic momentum transport equation was carried out by means of volume averaging over an REV (Representative Elementary Volume). Flow through parallel plates enclosing a homogeneous porous medium (assumed homogeneous up to the external boundary) was studied at the hand of Brinkman’s equation. It was as- sumed (also for non-Newtonian fluids) that the term dominating outside the external boundary layer area is directly proportional to the superficial velocity that is, since only the viscous flow regime was considered, referred to as the ‘Darcy’ velocity if the diffusive Brinkman term is completely neglected. For a shear thinning or shear thickening fluid, the excess superficial velocity term was included in the proportionality coefficient that is constant for a particular fluid traversing a particular porous medium subjected to a specific pressure gradient. For such fluids only the inverse functions could be solved. If the ‘Darcy’ velocity is not reached within the considered domain, Gauss’s hypergeo- metric function had to be utilized. For Newtonian and Bingham plastic fluids, direct solutions were obtained. The effect of the constant yield stress was embedded in the proportionality coefficient. For linear flow, the proportionality coefficient consists of both a Darcy and a Forch- heimer term applicable to the viscous and inertial flow regimes respectively. Secondary averaging for different types of porous media was accomplished by using an RUC (Representative Unit Cell) to estimate average interstitial properties. Only homoge- neous, isotropic media were considered. Expressions for the apparent permeability as well as the passability in the Forchheimer regime (also sometimes referred to as the non-Darcian permeability) were derived for the various fluid types. Finally fluid flow in a domain consisting of an open channel adjacent to an infinite porous domain is considered. The analytically derived velocity profiles for both plane Couette- Poiseuille flow and the Brinkman equation were matched by assuming continuity in the shear stress at the porosity jump between the two domains. An in-house code was developed to simulate such a composite domain numerically. The difference between the analytically assumed constant apparent permeability in a macro- scopic boundary layer region as opposed to a dependency of the varying superficial velocity was discussed. This code included the possibility to alter the construction of the domain and to simulate axisymmetrical flow in a cylinder. / AFRIKAANSE OPSOMMING: Verskeie veralgemeende Newtoniese vloeistowwe (waarvan die normaalspannings ignoreer- baar is) word in hierdie studie beskou. Analitiese uitdrukkings vir tyd-onafhanklike, ten volle ontwikkelde snelheidsprofiele vir Herschel-Bulkley vloeistowwe (wat die vereen- voudigde weergawes daarvan insluit: Newtoniese, magswet- en Bingham-plastiek vloei- stowwe), sowel as Casson vloeistowwe, is afgelei vir vloei deur ‘n oop kanaal. Beide vloei deur silindriese pype (Hagen-Poiseuille vloei) en parallelle plate (vlak-Poiseuille vloei) is oorweeg. Vergelykings vir die skuifspannings op ‘n wand in terme van die gemiddelde snelhede is afgelei. Hierdie uitdrukking wat vir vlak-Poiseuille vloei verkry is, is in die modellering van vloei deur homogene, isotropiese poreuse media ook gebruik. Vloei deur parallelle plate is uitgebrei en die moontlikheid van ‘n bewegende onderste wand (vlak-Couette-Poiseuille vloei) is ondersoek vir Herschel-Bulkley vloeistowwe (en die vereenvoudigings daarvan). Dit word aangeneem dat die snelheid van die wand in die teenoorgestelde rigting as die drukgradiënt georiënteer is (dus in die stroomgewyse rigting) wat dan tot drie verskillende moontlike vloeigevalle lei. Hierdie vergelykings is weer in die studie van vloei oor poreuse strukture gebruik. Die gemiddelde van die mikroskopiese momentum transportvergelyking is bereken oor die volume van ‘n REV (“Representative Elementary Volume”). Vloei deur parallelle plate wat ‘n homogene poreuse medium omsluit (waar die medium homogeen aanvaar word tot by die eksterne grens) is bestudeer aan die hand van Brinkman se vergelyking. Daar is aanvaar (ook vir nie-Newtoniese vloeistowwe) dat die dominante term buite die eksterne grenslaaggebied direk eweredig is aan die oppervlaksnelheid en, aangesien slegs vloei in die viskeuse gebied oorweeg word, daarna verwys word as die “Darcy”- snelheid, indien die diffusiewe Brinkman-term heeltemal weglaatbaar is. Vir ‘n span-ningsverdunnende of -verdikkende vloeistof, word die oortollige oppervlaksnelheidsterm ingesluit by die proporsionaliteitskoëffisiënt wat konstant is vir ‘n spesifieke vloeistof wat deur ‘n sekere poreuse medium, onderhewig aan ‘n spesifieke drukgradiënt, vloei. Vir sulke vloeistowwe kon slegs die inverse funksies opgelos word. As die “Darcy”- snelheid nie binne die betrokke gebied bereik word nie, is daar van Gauss se hipergeometriese funksie gebruik gemaak. Vir Newtoniese en Bingham-plastiek vloeistowwe is egter direkte oplossings verkry. Die effek van die konstante toegeespanning is ingebed in die proporsionaliteitskoëffisiënt. Vir lineêre vloei bestaan die proporsionaliteitskoëffisiënt uit beide ‘n Darcy- en ‘n Forch- heimer-term wat van toepassing is in die viskeuse- en traagheidsvloeigebiede onder- skeidelik. Sekondˆere gemiddeldes vir verskillende tipes poreuse media is verkry; deur gebruik te maak van ‘n RUC (“Representative Unit Cell”) kan interstisiële gemiddelde eienskappe geskat word. Slegs homogene, isotrope media is in oorweging gebring. Uit- drukkings vir die o¨enskynlike deurlaatbaarheid sowel as die deurdringbaarheid in die Forchheimer-gebied (ook soms na verwys as die nie-Darcy deurlaatbaarheid) is afgelei vir die verskillende vloeistoftipes. Ten slotte is vloeistofvloei in ‘n gebied wat bestaan uit ‘n oop kanaal aangrensend aan ‘n oneindige poreuse domein ondersoek. Die analities-afgeleide snelheidsprofiele vir beide vlak-Couette-Poiseuille vloei en die Brinkman-vergelyking is gekoppel deur ‘n kontinu¨ıteit in die skuifspanning by die poreuse-sprong tussen die twee gebiede te aanvaar. ‘n Interne numeriese kode is ontwikkel om so ‘n saamgestelde domein numeries te simuleer. Die verskil tussen die analities konstant-aanvaarde deurlaatbaarheid in ‘n makroskopiese grenslaagstreek, eerder as ‘n afhanklikheid met die veranderende opper- vlaksnelheid, is bespreek. Hierdie kode sluit ook die moontlikheid in om die domein te herkonstrueer, asook om die simulasie van aksiaal-simmetriese vloei in ‘n silinder te ondersoek.

La fabrication de pièces composites géométriquement complexes et de grande dimension est une orientation actuelle forte de nombreux secteurs industriels. L'injection de la résine dans le renfort fibreux par voie liquide est le point central des procédés LCM (Liquid Composite Moulding). La simulation de cette phase d'injection est aujourd'hui impérative, étant donné la complexité des pièces considérées. A cette fin, il est nécessaire de prendre en compte l'influence des déformations locales du renfort fibreux comme le cisaillement et la compression en tous points de la pièce considérée sur le tenseur de perméabilité de celui-ci. La détermination expérimentale de la perméabilité des renforts fibreux est étudiée par le biais d'un dispositif de mesure développé dans ce travail de thèse et permettant de réaliser des mesures en régime stationnaire en utilisant l'air ou à l'huile comme liquide de perméation. Une méthode inverse est utilisée afin de déterminer la perméabilité des milieux anisotropes et ce pour n'importe quelle géométrie de préforme. Les mesures réalisées sur deux renforts tissés montrent une excellente corrélation entre les résultats obtenus au moyen des deux fluides de perméation. Parallèlement aux mesures expérimentales, une chaîne numérique permettant de prédire l'influence des déformations du renfort fibreux considéré sur sa perméabilité a été mise en place. Les principales étapes de cette chaîne sont l'obtention du VER 3D du renfort fibreux, la déformation de celui-ci, le maillage des deux régions inter-torons et intra-torons sur lequel l'homogénéisation de la perméabilité est réalisée en résolvant les équations de Stokes et Brinkman dans les régions précédemment citées. Les outils numériques et analytiques développés permettent de diminuer la quantité de mesure devant être réalisées de manière à caractériser pleinement un renfort fibreux vis-à-vis de sa perméabilité. Ainsi, ils permettent de prédire, après recalage d'un seul paramètre, l'évolution de la perméabilité en fonction des différentes « déformation » que peut subir le renfort fibreux lors de sa mise en oeuvre.

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations du Darcy Brinkman Forchheimer (DBF) avec des conditions aux limites non standards. Nous montrons d'abord l'existence de différents type de solutions (faible, forte) correspondant au problème DBF stationnaire dans un domaine simplement connexe avec des conditions portants sur la composante normale du champ de vitesse et la composante tangentielle du tourbillon. Ensuite, nous considérons le système Brinkman Forchheimer (BF) avec des conditions sur la pression dans un domaine non simplement connexe. Nous prouvons que ce problème est bien posé ainsi que l'existence de la solution forte. Nous établissons la régularité de la solution dans les espaces L^p pour p >= 2.L'étude et l'approximation du problème DBF non stationnaire est basée sur une approche pseudo-compressibilité. Une estimation d'erreur d'ordre deux est établie dans le cas o\`u les conditions aux limites sont de types Dirichlet ou Navier.Enfin, une méthode d'éléments finis Galerkin Discontinue est proposée et la convergence établie concernant le problème DBF linéarisé et le système DBF non linéaire avec des conditions aux limites non standard. / This thesis is devoted to Darcy Brinkman Forchheimer (DBF) equations with a non standard boundary conditions. We prove first the existence of different type of solutions (weak, strong) of the stationary DBF problem in a simply connected domain with boundary conditions on the normal component of the velocity field and the tangential component of the vorticity. Next, we consider Brinkman Forchheimer (BF) system with boundary conditions on the pressure in a non simply connected domain. We prove the well-posedness and the existence of a strong solution of this problem. We establish the regularity of the solution in the L^p spaces, for p >= 2.The approximation of the non stationary DBF problem is based on the pseudo-compressibility approach. The second order's error estimate is established in the case where the boundary conditions are of type Dirichlet or Navier. Finally, the finite elements Galerkin Discontinuous method is proposed and the convergence is settled concerning the linearized DBF problem and the non linear DBF system with a non standard boundary conditions.

Les traitements d'acidification sont généralement utilisés pour stimuler l'injection et/ou la productivité des puits dans les formations de carbonates. Cependant, de nombreux traitements ne produisent pas les résultats attendus en terme de gain de productivité à cause de la mauvaise modélisation autour du puits des mécanismes physiques intervenant durant le processus d'injection acide. La nature instable du phénomène de dissolution en milieu poreux entraîne la formation de canaux fortement conductifs appelés wormholes, qui sont difficiles à modéliser quantitativement. Un modèle de dissolution à l'échelle de Darcy est proposé comprenant une équation de Darcy-Brinkman pour la partie écoulement couplée avec un modèle de dissolution en non-équilibre local. Un simulateur numérique 3D a été développé pour résoudre ce système d'équations en utilisant une méthode de pas fractionnaire et des schémas TVD. Les résultats sont présentés sur des configurations 2D et 3D aussi bien pour des systèmes homogènes qu'hétérogènes. Les résultats numériques sont discutés d'un point de vue qualitatif et quantitatif par rapport à la littérature et comparés aux résultats expérimentaux. Les expériences ont été réalisées sur un massif de sel quasi 2D dans lequel on a injecté une solution d'eau salée sous-saturée. Les instabilités de dissolution, le développement des canaux et la propagation des wormholes ont été enregistrés à l'aide d'une caméra vidéo. En se basant sur les résultats 2D, la possibilité d'une description du phénomène à l'échelle de la section, c'est-à-dire en effectuant des moyennes sur des sections du domaine, a été explorée. Plusieurs approches sont utilisées, tels que les modèles à une équation, où le milieu considéré incorpore la physique du wormhole et la matrice poreuse environnante, et les modèles à deux équations pour lesquels les wormholes sont traités séparément. Les implications théoriques sont discutées en se basant sur les résultats numériques.

Numerical simulations of liquid flow in a micro-channel between two horizontal plates are performed. The channel is infinite in streamwise and spanwise directions and its height is taken as m, which falls within the dimension ranges of microchannels. The Navier-Stokes equations with the addition of Brinkman number (Br) to the energy equation are used as the governing equations and spectral methods based approach is applied to obtain the required accuracy to handle liquid flow in the microchannel. It is known for microchannels that Br combines the effects of conduction and viscous dissipation in liquids and is also a way of comparing the importance of latter relative to former. The present study aims to simulate the unusual behavior of decreasing of Nu with increasing Re in the laminar regime of microchannels and to show that Br can be introduced to explain this unexpected behavior. Consequently, it is seen at the end of the results that secondary effect of the Br is observed for the single-phase convective heat transfer. Therefore, a laminar flow of a liquid in a microchannel shows different characteristics compared to a similar flow in a macrochannel. To observe the differences, three different cases are run over each of a range of Reynolds numbers: one with no axial conduction assumption that corresponds to a case similar to macrochannel flow, another case with axial conduction included in the energy equation to simulate one of the main differences and lastly a case with the inclusion of Br number in the governing equations. A similar study is made for natural convection with the same numerical set-up for the same three cases. Formation of Rayleigh-Benard cells are observed for the critical numbers widely accepted in the literature. The results are compared with each other to see the effects of axial conduction and Br inclusion, in addition to Ra for natural convection.

Au cours des dernières décennies, les piles à combustible à oxyde solide sont devenues un dispositif prometteur de conversion d’énergie. Ceci est dû principalement à leur efficacité de conversion d’énergie, leur flexibilité du choix du carburant et leurs faibles émissions de polluants. Cependant, la température de fonctionnement élevée de cette variante de piles à combustible induit divers problèmes d’endommagement et de fissuration. Par conséquent, l’optimisation de leur durée de vie reste un problème à résoudre. Dans cette thèse, une approche numérique combinant la méthode des éléments finis (FEM) et la méthode des éléments finis étendus (XFEM) est développée. Le but est de modéliser le problème multi-physique comportant: l’écoulement du fluide, le transfert de la chaleur, le transfert de masse, les réactions électrochimiques et thermomécanique dans une unité de pile à combustible. Dans un premier temps, pour prédire la distribution de la température et des espèces dans le milieu poreux des électrodes, un modèle de Darcy-Brinkman (DB) couplant l’écoulement du gaz, le transfert de chaleur et le transport de masse est développé. Ensuite, la méthode XFEM est introduite pour modéliser la présence des fissures dans les électrodes. Le modèle DB-XFEM combiné est utilisé par la suite pour étudier l’effet de l’écoulement du fluide, le transfert de chaleur et des propriétés thermomécaniques du matériau sur la nucléation et la propagation des fissures. Enfin, un modèle électrochimique (EC) est développé et combiné avec le modèle DB pour étudier les performances de conversion d’énergie dans la cellule de la pile à combustible. / Over the last few decades, Solid Oxide Fuel Cell (SOFC) has been a promising energy conversion device that has drawn a lot of attention due to its high energy conversion efficiency, fuel flexibility and low pollutant emission. However, as the high operating temperature leads to complex material problems in the SOFC, the energy conversion efficiency and life expectancy optimization remain as the challenging issues regarding the design and manufacturing of fuel cells. In this thesis, a numerical approach based on a combination of Finite Element (FEM) and eXtended Finite Element (XFEM) methods is developed to model the coupled fluid flow, heat and mass transfer as well as the electrochemical reactions with thermo-mechanical process in the SOFC unit. At first, to predict the temperature and species distribution within the porous electrodes of a SOFC unit, a Darcy-Brinkman (DB) model coupling the gas flow, heat and mass transport in porous media is developed. Then, the XFEM is introduced to deal with the presence of crack in the porous electrodes. The combined DB-XFEM model is used to investigate the effect of fluid flow, heat transfer, porous material properties and the material anisotropy on the onset of crack growth and the propagation path in the SOFC unit. At last, an electrochemistry (EC) model is developed and combined with the DB model to couple the electrochemical reactions to energy and mass transfer in the SOFC. With the DB-EC model, the cell energy conversion performances are studied.

[pt] Este trabalho apresenta aplicações da técnica de otimização topológica para problemas de escoamento com fluidos não Newtonianos, usando o método dos elementos virtuais (VEM) em domínios bidimensionais arbitrários. O objetivo é projetar a trajetória ótima, a partir da minimização da energia dissipativa, de um escoamento governado pelas equações de Navier-Stokes-Brinkman e do modelo não Newtoniano de Carreau-Yasuda. A abordagem de porosidade proposta por (Borrvall e Petersson, 2003) [1] é usada na formulação do problema de otimização topológica. Para resolver este problema numericamente é usado o método VEM, recentemente proposto. A principal característica que diferencia o VEM do método dos elementos finitos (FEM) é que as funções de interpolação no interior dos elementos não precisam ser computadas explicitamente. Isso ocorre porque a integração é feita em funções polinomiais e bases de ordem inferior, permitindo assim uma grande flexibilidade no que diz respeito ao uso de elementos não convexos. Portanto, o cálculo das matrizes e vetores elementares se reduz à avaliação de grandezas geométricas nos contornos desses elementos. Finalmente, são apresentados exemplos numéricos representativos para demonstrar a eficiência do VEM em comparação com o FEM e a aplicabilidade da otimização topológica para esta classe de problemas de escoamento. / [en] This work presents selected applications of topology optimization for non-Newtonian fluid flow problems using the virtual element method (VEM) in arbitrary two-dimensional domains. The objective is to design an optimal layout into a fluid flow domain to minimize dissipative energy governed by the Navier-Stokes-Brinkman and non-Newtonian Carreau-Yasuda model equations. The porosity approach proposed by (Borrvall and Petersson, 2003) [1] is used in the topology optimization formulation. To solve this problem numerically, the recently proposed VEM method is used. The key feature that distinguishes VEM from the standard finite element method (FEM) is that the interpolation functions in the interior of the elements do not need to be computed explicitly. This is because the integration is on lower-order polynomial and basis functions, and there is great flexibility by using a non-convex element. Therefore, the computation of the main element matrices and vectors are reduced to the evaluation of geometric quantities on the boundary of the elements. Finally, several numerical examples are provided to demonstrate the efficiency of the VEM compared to FEM and the applicability of the topology optimization to fluid flow problems.

Dans ce manuscrit, un modèle complet pour la simulation de l'écoulement d'un fluide thermor éactif à travers un milieu poreux fortement compressible est présenté. Ce modèle est utilisé pour l'étude des procédés d'élaboration des matériaux composites par infusion à travers leur épaisseur (Liquid Resin Infusion-LRI et Resin Film Infusion-RFI ). Dans ces procédés, le mélange entre les renforts et la résine liquide est réalisé dans la direction transverse aux plans des préformes pendant la phase de mise en forme. Les coˆuts sont ainsi réduits et les problèmes de remplissage éliminés. Ces procédés sont néanmoins peu maîtrisés et les caractéristiques de la pièce finale difficilement prévisibles (principalement les épaisseurs et les porosités). La mise au point d'un modèle numérique constituerait un bon outil pour développer et finaliser de nouvelles solutions composites. D'un point de vue physique, l'infusion de la résine à travers l'épaisseur des préformes est une conséquence de la pression appliquée sur l'empilement résine/préforme. Dans cette analyse multi-physique deux types de problèmes sont rencontrés. Tout d'abord, on connait mal les conditions de couplage entre les zones liquides, gouvernées par les équations de Stokes, et les préformes imprégnées assimilées à des milieux poreux, gouvernées par une loi de Darcy et une loi de comportement mécanique non-linéaire. Par ailleurs, les interactions entre l'écoulement de la résine et la compression des préformes ne sont pas bien maîtrisées. Le modèle développé inclut donc une condition de Beaver-Joseph- Schaffman modifiée pour le couplage entre les zones de Darcy et de Stokes. Une formulation ALE pour l'écoulement de la résine dans un milieu poreux déformable subissant de fortes déformations est utilisée et couplée à une formulation Lagrangienne Réactualisée pour la partie solide. Ces deux mécanismes physiques sont couplés à des modèles thermo-chimiques pour traiter la réticulation de la résine sous l'action du cycle de température. Dans ce travail, un certain nombre d'outils numériques et de nouvelles formulations ont été développés en vue de simuler les procédés LRI et RFI. Chaque outil est étudié et validé analytiquement ou numériquement avant d'être intégré dans les modèles LRI /RFI. Des simulations numériques d'infusion sont ensuite présentées et commentées, puis une première comparaison avec des essais expérimentaux est proposée.