L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25. / The aim of this thesis is to study the large time behavior of solutions of nonlocal evolution equations and to also study the singular limit of equations and systems of parabolic partial differential equations involving a small parameter epsilon. In Chapter 1, we consider a nonlocal reaction-diffusion equation with mass conservation, which was originally proposed by Rubinstein and Sternberg as a model for phase separation in a binary mixture. The corresponding Neumann problem possesses a Lyapunov functional, namely a functional which decreases in time along solution orbits. After having proved that the solution is conned in an invariant region, we study its large time behavior and apply a Lojasiewicz inequality to show that it converges to a stationary solution as t tends to infinity. We also evaluate the rate of convergence and precisely compute the limiting stationary solution in one space dimension. Chapter 2 is devoted to the study of a nonlocal evolution equation which one obtains by neglecting the diffusion term in the nonlocal Allen-Cahn equation studied in Chapter 1. Without the diffusion term, the solution can not be expected to be more regular than the initial function. Moreover, because of the absence of the diusion term, the method of Chapter 1 can not be applied to study the large time behavior of the solution. We present a new method based up on rearrangement theory and the study of the solution profile. We show that the solution stabilizes for large times and give a detailed characterization of its asymptotic limit as t tends to infinity. More precisely, it turns out that the limiting function is a step function, which takes at most two values, which are stable points of a corresponding ordinary dierential equation. We also show by means of a nontrivial counterexample that, when a certain hypothesis on the initial function does not hold, the limiting function may take three values. One of them is the unstable point and the two others are the stable points of the ordinary dierential equation. We study in Chapter 3 a nonlocal ordinary dierential equation which has been proposed by M. Nagayama. The nonlocal term involves a denominator which may vanish. We apply a contraction fixed point theorem to prove the existence of a unique solution which stays confined in an invariant region. We also show that the corresponding initial value problem possesses a Lyapunov functional and prove that the solution stabilizes for large times to a step function, which takes at most two values. In Chapter 4, we consider a diffuse-interface tumor-growth model which involves a fourth order Cahn-Hilliard type equation. Introducing a related phase-field model, we formally study the singular limit of the solution as the reaction coecient tends to infinity. More precisely, we show that the solution converges to the solution of a moving boundary problem. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

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In dieser Arbeit wurde am Modell der Hydridbildung in Wasserstoff-beladenen, 5 nm bis 2000 nm dünnen Palladium-Schichten der Einfluß der Schichtdicke sowie mikrostruktureller und elastischer Zwangsbedingungen auf die Thermodynamik von Phasenübergängen 1. Ordnung untersucht. Grundlage der Untersuchungen ist eine H-induzierte Volumendehnung des Palladiums, die infolge eines Konzentrationshubs ∆c_H bei der Hydridbildung sprunghaft erfolgt. Aus der Volumendehnung resultieren an der Schicht-Substrat-Grenzfläche und an inneren Grenzflächen wie Phasen- und Korngrenzen hohe mechanische Spannungsgradienten, die additiv zum chemischen Potential μ_H des Wasserstoffs beitragen und die Stabilität der Hydridphase verändern. Der Einfluß mechanischer Spannungen auf das chemische Potential wird durch die Mikrostruktur der Schichten modifiziert, die unterschiedliche H-Einlagerungsplätze im Palladium-Gitter mit einem Spektrum unterschiedlicher Platzenergien bereitstellt und die Kanäle eines möglichen Spannungsabbaus durch plastische Deformation der Schichten bestimmt. Ziel dieser Arbeit war es, die sich überlagernden Einflüsse der Mikrostruktur und mechanischer Spannungen auf die Thermodynamik der Hydridbildung experimentell zu separieren und aus ihnen resultierende Abweichungen von der Thermodynamik des massiven Pd-H-Systems unter Bezugnahme auf thermodynamische Modellvorstellungen zu quantifizieren. Durch gezielte Wahl der Herstellungsbedingungen präparierte Pd-Schichten texturiert nanokristalliner, multi-orientiert polykristalliner und epitaktischer Mikrostruktur wurden schrittweise mit Wasserstoff beladen. H-induzierte Änderungen des Spannungszustands, die Hydridbildung und plastische Änderungen der Schichten wurden in-situ insbesondere mit Methoden der Röntgendiffraktometrie, durch die Messung der Substratverbiegung, des elektrischen Widerstandes, der akustischen Emission der Schichten sowie mittels STM und Proton-Proton-Streuung untersucht. Hinsichtlich mikrostruktureller Änderungen der Schichten bei H-Beladung wurden Kaskaden kritischer Schichtdicken und Spannungszustände des Einsetzens plastischer Deformation gefunden. Bereits im Bereich der elastischen Schichtdehnung wurden diskrete Relaxations-Ereignisse beobachtet, die auf die Bewegung intrinsischer Defekte zurückgeführt wurden. Für Schichtdicken unterhalb von 22-34 nm wurde ein neuer Typ eines partiell kohärenten Phasenübergangs belegt, bei dem die Phasengrenzflächen während des gesamten Phasenübergangs kohärent verbleiben. Unter dem Einfluß der unterschiedlichen Mikrostrukturen und Spannungszustände der Schichten wurde eine signifikante Reduktion der elastischen H-H-Wechselwirkung – der Triebkraft der Hydridbildung – um 20-50 % gegenüber dem massiven System belegt. Für die Schichten beträgt E_HH 15-30 kJ/mol_H, während im massiven System E_HH = 36.8 kJ/mol_H. Der elastische Beitrag zur Reduktion der H-H-Wechselwirkung beträgt 2-5 kJ/mol_H. Er wächst für partiell kohärente Entmischung rasch an. Die entsprechenden Hydridbildungsenthalpien sind in Schichten um bis zu 3 kJ/mol_H erhöht. In lokal durch Faltenbildung relaxierten Schichten kann dies das räumliche Nebeneinander der α-Phase in haftenden Schichtbereichen und der Hydridphase in den Falten erzwingen. Darüber hinaus wurde gezeigt, daß die Druck-Konzentrations-Isothermen dünner Pd-H-Schichten im Bereich des Phasenübergangs unter dem Einfluß nicht-linearer mechanischer Spannungen eine stetige Steigung aufweisen können. Dies macht eine Modifikation der Grenzbedingung zur Bestimmung der kritischen Temperatur der Hydridbildung erforderlich, bei der die Steigung ∂μ_H/∂c_H | T=T_c explizit ausgewertet wird. Die resultierenden kritischen Temperaturen der Pd-H-Schichten sind bis zu 40 % gegenüber dem massiven System reduziert. T_c ist 340-490 K für die Schichten, während T_c = 563 K für das massive System. In allen Schichten wurde bei 300 K noch immer ein Phasenübergang gefunden. Insgesamt ließen sich die beobachteten Änderungen der Thermodynamik zumeist direkt an die Mikrostruktur und den Spannungszustand der Schichten koppeln, während allein an die Schichtdicke gebundene Finite-Size-Effekte bei den untersuchten Schichten von untergeordneter Bedeutung sind.

We study physical systems composed of at least two immiscible fluids occu- pying different regions of space, the so-called phases. Flows of such multi-phase fluids are frequently met in industrial applications which rises the need for their numerical simulations. In particular, the research conducted herein is motivated by the need to model the float glass forming process. The systems of interest are in the present contribution mathematically described in the framework of the so-called diffuse interface models. The thesis consists of two parts. In the modelling part, we first derive standard diffuse interface models and their generalized variants based on the concept of multi-component continuous medium and its careful thermodynamic analysis. We provide a critical assessment of assumptions that lead to different models for a given system. Our newly formulated class of generalized models of Cahn-Hilliard-Navier-Stokes-Fourier (CHNSF) type is applicable in a non-isothermal setting. Each model belonging to that class describes a mixture of separable, heat conducting Newtonian fluids that are either compressible or incompressible. The models capture capillary and thermal effects in thin interfacial regions where the fluids actually mix. In the computational part, we focus on the development of an efficient and robust...

Nous nous intéressons d'abord à l'équation aux dérivées partielles stochastique de Cahn-Hilliard en dimension 1 avec une seule singularité. C'est une équation d'ordre 4 dont la non linéarité est de type logarithmique ou en puissance négative $x^{-\alpha}$, à laquelle on ajoute la dérivée d'un bruit blanc en espace et en temps. On montre l'existence et l'unicité des solutions en utilisant les solutions d'équations approchées aux non linéarités Lipschitz. La présence d'une mesure de réflexion permet d'assurer l'existence de solutions. On étudie ces mesures à l'aide des mesures de Revuz associées et, grâce à une formule d'intégration par parties, on montre qu'elles sont identiquement nulles lorsque alpha est plus grand ou égal à 3. Dans un deuxième temps, on considère la même équation mais avec deux singularités logarithmiques en +1 et -1. Il s'agit du modèle complet de l'équation de Cahn-Hilliard. Cette fois-ci on utilise des équations approchées aux non linéarités polynomiales pour montrer l'existence et l'unicité de solutions. Deux mesures de réflexion doivent ici être ajoutées pour assurer l'existence. De plus, on montrera que la mesure invariante est ergodique. Enfin, on étudie l'équation déterministe : des simulations numériques basées sur une méthode d'élements finis de hauts degrés permettent d'illustrer plusieurs résultats théoriques. La capture des interfaces et des états stationnaires requiert une attention particulière. On s'intéressera également aux bifurcations autour de la première valeur propre du Laplacien sur des domaines généraux. Par ailleurs, quelques simulations stochastiques permettent de mettre en évidence les instants de contact avec les singularités, les évolutions stochastiques en temps long et les changements d'états stationnaires.

L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

Cette thèse est consacrée à l'étude de certains aspects numériques et mathématiques liés à la simulation d'écoulements incompressibles triphasiques à l'aide d'un modèle à interfaces diffuses de type Cahn-Hilliard/Navier-Stokes. La discrétisation spatiale est effectuée par éléments finis. La présence d'échelles très différentes dans le système suggère l'utilisation d'une méthode de raffinement local adaptatif. La procédure mise en place permet de tenir compte implicitement des non conformités des maillages générés, pour produire in fine des espaces d'approximation conformes. Nous montrons, en outre, qu'il est possible d'exploiter cette méthode pour construire des préconditionneurs multigrilles. Concernant la discrétisation en temps, notre étude a commencé par celle du système de Cahn-Hilliard. Pour remédier aux problèmes de convergence de la méthode de Newton utilisée pour résoudre ce système (non linéaire), nous proposons un schéma semi-implicite permettant de garantir la décroissance de l'énergie. Nous montrons l'existence et la convergence des solutions discrètes. Nous poursuivons ensuite cette étude en donnant une discrétisation en temps inconditionnellement stable du modèle complet Cahn-Hilliard/Navier-Stokes ne couplant pas fortement les deux systèmes. Nous montrons l'existence des solutions discrètes et, dans le cas où les trois fluides ont la même densité, nous montrons leur convergence. Nous étudions, pour terminer cette partie, diverses problématiques liées à l'utilisation de la méthode de projection incrémentale. Enfin, la dernière partie présente plusieurs exemples de simulations numériques, diphasiques et triphasiques, en deux et trois dimensions.

Ce travail de thèse affronte l'étude de divers problèmes surgissant de la mécanique du milieu continu. La première partie du manuscrit est dédiée à l'étude mathématique de certains modèles à interfaces diffuses qui décrivent la séparation de phase de mixtures binaires (par exemple, le grossissement de la taille des grains dans un alliage ou bien l'écoulement des fluides polymériques bistables). La seconde partie examine le fonctionnement de certains dispositifs électroniques, comme les jonctions p-n, sous l'effet de déformations mécaniques. La troisième partie présente un model pour la prédiction de la durée de vie pour des métaux polycristallins en régime de chargement cyclique. Un modèle typique de séparation de phase est le modèle H, qui est constitué d'une équation de Cahn-Hilliard convective couplée avec le système de Navier-Stokes par la force dite de Korteweg. On considère des variations de ce modèle qui tiennent compte, par exemple, d'une viscosité du fluide dépendante du cisaillement ou de constituants réagissant chimiquement entre eux. Tout d'abord, on étudie des questions de base comme l'existence, l'unicité et la régularité des solutions. Par la suite, on analyse le comportement asymptotique des systèmes dynamiques infini-dimensionnels générés par les systèmes étudiés. Plus précisément, on démontre l'existence d'attracteurs globaux, d'attracteurs exponentiels, d'attracteurs pullback et d'attracteurs de trajectoires pour les systèmes dynamique correspondants. On discute aussi la robustesse de ces ensembles invariants par rapport à des perturbations de certains paramètres du modèle. Nos résultats constituent une extension naturelle des propriétés connues pour le cas de l'écoulement d'un fluide simple qui représentent le cas de référence pour toute nouvelle technique proposée en littérature. Enfin, comme description plus précise des phénomènes de séparation de phase, on considère une équation de Cahn-Hilliard modélisant des interactions non-locales à travers un noyau singulier. En ce cas, des résultats d'existence et de régularité sont donnés. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'étude des effets de couplage entre les propriétés mécaniques et électroniques des semi-conducteurs. La modélisation des dispositifs électroniques choisie se base sur le modèle de diffusion et transport pour les électrons et les trous. Le dispositif est décrit comme un continu macroscopique standard avec, pour objectif, la compréhension des effets des déformations sur les propriétés électroniques du semi-conducteur et, en particulier, sur la caractéristique d'une jonction p-n. Ceci permet de proposer une formulation variationelle du système classique de diffusion et transport et de dériver un modèle thermodynamiquement consistent pour les effets électromécaniques couplés. Les déformations ont des effets en particulier sur les coefficients de mobilité et sur le terme de génération et recombinaison des porteurs. Deux solutions approximées sont étudiées : une développé à partir d'hypothèses physiques et l'autre qui comporte une expansion asymptotique. Ces résultats constituent une étape préalable pour la compréhension des dispositifs électroniques flexibles. La dernière partie de la thèse présente une application de la théorie des systèmes dynamiques à la prédiction de la durée de vie des métaux polycristallins sous chargement périodique pour grand nombre de cycle de chargement. Un nouveaux model est proposé et ses prévisions comparées avec les résultats connus dans la littérature.