Este trabalho trata de problemas de contorno definidos no plano. O problema central desta tese é chamado Problema de Riemann-Hilbert, o qual pode ser descrito como segue. Seja L um campo vetorial complexo não singular definido em uma vizinhança do fecho de um aberto simplesmente conexo do plano com fronteira suave. O Problema de Riemann-Hilbert para o campo L consiste em obter uma solução para a equação Lu = F(x, y, u) no aberto em estudo, sendo dada uma função F mensurável. Pede-se também que a solução tenha extensão contínua até a fronteira e que satisfaça lá uma condição adicional; trabalha-se aqui no contexto das funções Hölder contínuas. Foram obtidos resultados para o problema acima no caso em que L pertence a uma classe de campos hipocomplexos. O caso clássico conhecido é quando o campo vetorial é o operador de Cauchy-Riemann, ou, mais geralmente, quando é um campo elítico. / This work deals with boundary problems in the plane. The central problem in this thesis is the so-called Riemann-Hilbert problem, which may be described as follows. Let L be a non-singular complex vector field defined on a neighborhood of the closure of a simply connected open subset of the plane having smooth boundary. The Riemann-Hilbert problem for the vector field L consists in finding a solution to the equation Lu = F(x, y, u) on the open set under study, where the given function F is measurable. It is also required that the solution have a continuous extension up to the boundary and satisfy an additional condition there. Results were obtained for the above problem when L belongs to a class of hypocomplex vector fields. The well-known classical case is the one in which the vector field under study is the Cauchy-Riemann operator, or more generally when it is an elliptic vector field.

Neste trabalho apresentamos uma versão do Teorema de Poincaré-Bendixson para campos vetoriais contínuos na garrafa de Klein. Como conseqüência, mostramos que a garrafa de Klein não possui campo vetorial contínuo com trajetória injetiva recorrente / We present a version of the Poincaré-Bendixson Theorem on the Klein bottle for continuous vector fields. As a consequence, we obtain the fact that the Klein bottle does not admit continuous vector fields having a recurrent injective trajectory

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-05-29T11:45:03Z No. of bitstreams: 1 edsonmartinsgagliardi.pdf: 1001962 bytes, checksum: a18ae7643c8253581ca782eebf23bb84 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-05-29T19:17:43Z (GMT) No. of bitstreams: 1 edsonmartinsgagliardi.pdf: 1001962 bytes, checksum: a18ae7643c8253581ca782eebf23bb84 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-05-29T19:17:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 edsonmartinsgagliardi.pdf: 1001962 bytes, checksum: a18ae7643c8253581ca782eebf23bb84 (MD5) Previous issue date: 2012-10-04 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Em 1979, J.P. Jouanolou em seu livro ”Equations de Pfaff Algébriques ”[12] apresenta um resultado de densidade que diz que o conjunto de equações algébricas de Pfaff de grau m > 2 em P2 sem soluções algébricas é denso no conjunto das equações algébricas de Pfaff. Por se tratar de um resultado de densidade, era preciso garantir que o conjunto das equações algébricas de Pfaff sem soluções algébricas não é vazio. Para isso, Jouanolou apresenta, neste mesmo trabalho, um exemplo de equação de Pfaff sem solução algébrica. Neste trabalho, estudamos o exemplo do Jouanolou, com base no artigo [23] de Zoladek. O autor traz uma abordagem mais analítica para este problema e apresenta uma demonstração baseada em uma generalização do Teorema de Integração de Darboux, (ver [4]), proposta pelo autor neste mesmo artigo. / In 1979, J.P.Jouanolou, in his book ”Equations de Pfaff Algébriques”[12], presents a density’s result which says that the set of Pfaff’s algebraic equations of degree m > 2 in P2 without algebraic solutions is dense in the set of Pfaff’s algebraic equations. As this is a result about density, it is necessary to ensure that the set of Pfaff’s algebraic equations without algebraic solutions is not empty. In order to do it, Jouanolou presents in the same paper an example of Pfaff’s equation without algebraic solution. In this work, we study the example of Jouanolou, based on the Zoladek’s article [23]. The author brings a more analytical approach to this problem and presents one proof based on a generalization of the Integration Theorem of Darboux (see [4]) proposed by the author in the same article.

Orientador: Marco Antonio Teixeira / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T09:33:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Souza_WenderJosede_D.pdf: 1230622 bytes, checksum: 578f86e5fe4ff35247fcfb0fb04975b8 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Neste trabalho consideramos alguns aspectos da teoria qualitativa de sistemas dinâmicos suaves por partes. Nosso principal objetivo é estudar uma classe de tais sistemas, onde o conjunto de descontinuidade é dado por uma hipersuperfície ? e além disso, assumimos que em cada região determinada por ? o campo de vetores definido é um sistema Hamiltoniano. Apresentamos estudos relacionados à regularização de campos de vetores suaves por partes em Rn que preservam volume nas componentes suaves. Abordamos também singularidades de funções suaves por partes, onde formas normais e seus desdobramentos são apresentados. Por fim estudamos bifurcações de campos de vetores Hamiltonianos refrativos / Abstract: In this work, we consider some aspects of the qualitative theory of non smooth dynamical systems in Rn. Our main goal is to study a class of such systems where the discontinuity set is concentrated in a hypersurface ? and moreover, we assume that in each region determined by ? the vector field is a Hamiltonian system. We present studies related to the regularization of piecewise vector fields in Rn that are volume preserving on each smooth components. We also analyze singularities of piecewise smooth functions where normal forms and their unfolding are presented. Finally, we study bifurcations of refractive Hamiltonian vector fields / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Em Computação Gráfica, campos vetoriais possuem diversas aplicações desde a síntese e mapeamento de texturas à animações de fluidos, produzindo efeitos amplamente utilizados na indústria do entretenimento. Para produzir tais campos, é preferível o uso de ferramentas de design em vez de simulações numéricas não só devido ao menor custo computacional mas, principalmente, por prover liberdade ao artista ao sintetizar o campo de acordo com a sua necessidade. Atualmente, na literatura, existem bons métodos de design de campos vetoriais em superfícies de objetos tridimensionais porém, o design no interior desses objetos ainda é pouco estudado, principalmente quando o campo de interesse possui propriedades específicas. O objetivo deste trabalho é desenvolver uma técnica para sintetizar campos vetoriais, com características do movimento de fluidos incompressíveis, no interior de domínios. Em uma primeira etapa, o método consiste na interpolação dos vetores de controle, com uma certa propriedade desejada, em todo o domínio. Posteriormente, o campo obtido é modificado para respeitar a geometria do contorno. / Vector fields are important to an wide range of applications on the field of Computer Graphics, from the synthesis and mapping of textures to fluid animation, producing effects widely used on the entertainment industry. To produce such fields, design tools are prefered over numerical simulations not only for its lower computational cost, but mainly by providing freedom to the artist in the creation process. Nowadays, good methods of vector field design over surfaces exist in literature, however there is only a few studies on the synthesis of vector fields of the interior of objects and even fewer when specific properties of the field are required. This work presents a technique to synthesize vector fields with properties of imcompressible fluids motion in the interior of objects. On a first step, the method consists in interpolating control vectors with a certain desired property throughout the whole domain and later the resulting field is modified to properly fit the boundary geometry of the object.

[pt] Arnold no seu trabalho The asymptotic Hopf Invariant and its applications de 1986, considerou sobre um domínio (ômega maiúsculo) compacto de R3 com bordo suave e homología trivial campos X e Y de divergência nula e tangentes ao bordo de (ômega maiúsculo) e definiu o índice de enlaçamento assintótico lk(X; Y ) e o invariante de Hopf associados a X e Y pela integral I(X; Y ) igual a (integral em ômega maiúsculo de alfa produto d-beta), onde (d-alfa) igual a iX-vol e (d-beta) igual a iy-vol, e mostrou que I(X; Y ) igual a lk(X; Y ). Agora, no presente trabalho estenderemos estas definições de índices de enlaçamento assintótico lk(fi maiúsculo,xi maiúsculo) e de invariante de Hopf I(fi maiúsculo,xi maiúsculo), onde (fi maiúsculo) e (xi maiúsculo) são ações de Rk e de Rs, k mais s igual a n-1, respectivamente de difeomorfismos que preservam volume em (ômega maiúsculo n) a bola unitária fechada em Rn e mostraremos que lk (fi maiúsculo, xi maiúsculo) igual a I(fi maiúsculo,xi maiúsculo). / [en] V.I. Arnold, in his paper The algebraic Hopf invariant and its applications published in 1986, considered a compact domain (ômega maiúsculo) in R3 with a smooth boundary and trivial homology and two divergence free vector fields X and Y in (ômega maiúsculo) tangent to the boundary. He defined an asymptotic linking invariant lk(X; Y ) and a Hopf invariant associated to X and Y by the integral I(X; Y ) equal (integral em ômega maiúsculo de alfa produto d-beta) where (d-alfa) equal iX-vol e (d-beta) equal iy- vol. He showed that que I(X; Y ) equal lk(X; Y ). In the present work we extend these definitions of the asymptotic linking invariant lk(fi capital letter,xi capital letter) and the Hopf invariant I(fi maiúsculo,xi capital letter) where (fi capital letter) and (xi capital letter) are actions Rk and Rs, k plus s equal n-1 by volume preserving diffeomorphisms, on the closed unit ball (ômega capital letter n) in and we show lk (fi capital letter, xi capital lette r equal I(ficapital letter ,xi capital letter).

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2008-03-12Bitstream added on 2014-06-13T19:06:40Z : No. of bitstreams: 1 cardin_pt_me_sjrp.pdf: 780321 bytes, checksum: 2c76fcd2cf98ce623cf8bc779edb3379 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Nesta dissertação estudamos critérios para determinar a existência, a não existência e a unicidade de ciclos limites de campos de vetores planares. Mais especificamente, estudamos equações de Lienard Äx + f(x; _ x) _ x + g(x) = 0; onde f e g satisfazem determinadas hip¶oteses. Em particular estudamos a equa»c~ao de van der Pol Äx + (x2 ¡ 1) _ x + x = 0; a qual é conhecida da teoria dos circuitos elétricos. Provamos a existência e a unicidade de ciclos limites para estas equações. Por fim estudamos a equação de van der Pol com o parâmetro 1 e o fenômeno canard que ocorre ao considerarmos um parâmetro adicional ®: As técnicas utilizadas s~ao as usuais de Análise Assintótica. / In this work we study the existence, the non existence and the uniqueness of limit cycles of planar vector felds. More specifically, we study Lienard equations Äx+f(x; _ x) _ x+g(x) = 0; where f and g satisfy some hypothesis. In particular we study the van der Pol equation Äx + (x2 ¡ 1) _ x + x = 0; which is knew of the circuit theory. We prove the existence and the uniqueness of limit cycles for these equations. In the last part we study the van der Pol equation with the parameter 1 and the canard phenomenon which appears when we consider an additional parameter ®: The techniques employed are the usual in the Asymptotic Analysis.

Submitted by isabela.moljf@hotmail.com (isabela.moljf@hotmail.com) on 2016-08-15T14:53:56Z No. of bitstreams: 1 hugorolandojachohancco.pdf: 1087180 bytes, checksum: 30f544acc78e47c2892563f8ab257478 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-08-19T14:01:42Z (GMT) No. of bitstreams: 1 hugorolandojachohancco.pdf: 1087180 bytes, checksum: 30f544acc78e47c2892563f8ab257478 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-19T14:01:42Z (GMT). No. of bitstreams: 1 hugorolandojachohancco.pdf: 1087180 bytes, checksum: 30f544acc78e47c2892563f8ab257478 (MD5) Previous issue date: 2016-07-18 / Consideramos os campos vetoriais C1 sobre uma variedade riemanniana compacta, sem bordo, de dimensão finita n, com n ≥3. Uma classe homoclínica de um campo vetorial é o fecho de conjunto de pontos homoclínicos transversais associados com uma órbita periódica hiperbólica. Neste trabalho, provamos que as classes homoclínicas para um conjunto residual de campos vetoriais C1 são conjuntos neutrais, mais ainda, a classe homoclínica é a intersecção dos fechos do conjunto estável e o conjunto instável. Como consequencia das propriedades do conjuntos neutrais, provamos as propriedades genéricas das classes homoclínicas. Assim, provamos que as classes homoclínicas de campos vetoriais C1-genérico X são conjuntos transitivos maximais, saturados e que dependem continuamente da órbita periódica. Também provamos que uma classe homoclínica de X não apresentam ciclos de X formados por classes homoclínicas de X. Além disso, uma classe homoclínica de X é isolado se, e somente se, é Ω-isolado. Mais ainda, é isolado, se a classe homoclínica é hiperbólica. Todas estas propriedades são bem conhecidos para campos vetoriais estruturalmente estáveis e Axioma A. / We consider the vector fields C1 on a compact Riemannian manifold, boundaryless of finite dimension n, with n ≥3. A homoclinic class of a vector field is the closure of the set transverse homoclinic point associated with a hyperbolic periodic orbit. In this work, we prove that the homoclinic classes for a residual set of vector fields C1, are neutral sets, moreover, the homoclinic class is the intersection of the closure the stable set and unstable set. As a consequence of the properties of the neutral sets, we prove the generic properties of homoclinic classes. Thus, we proved that in the homoclinic classes of generic C1 vector fields X are maximal transitive sets, saturated and depend continuously on the periodic orbit. We also proved that a homoclinic class X, does not exhibit cycles of X formed by homoclinic class of X. Furthermore, homoclinic class X is isolated if it only if it is Ω-isolated. But still, it is isolated, the homoclinic class is hyperbolic. All these properties are well known to structurally stable vector fields and Axiom A.

Submitted by Jaqueline Silva (jtas29@gmail.com) on 2016-12-09T17:10:49Z No. of bitstreams: 2 Tese - Edvaldo Elias de Almeida Batista - 2016.pdf: 1198471 bytes, checksum: 88d7db305f0cfe6be9b62496a226217f (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Silva (jtas29@gmail.com) on 2016-12-09T17:11:03Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese - Edvaldo Elias de Almeida Batista - 2016.pdf: 1198471 bytes, checksum: 88d7db305f0cfe6be9b62496a226217f (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-12-09T17:11:03Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese - Edvaldo Elias de Almeida Batista - 2016.pdf: 1198471 bytes, checksum: 88d7db305f0cfe6be9b62496a226217f (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2016-10-20 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this thesis, we study variational inequalities and generalized vector equilibrium problems. In Chapter 1, several results and basic definitions of Riemannian geometry are listed; we present the concept of the monotone vector field in Hadamard manifolds and many of their properties, besides, we introduce the concept of enlargement of a monotone vector field, and we display its properties in a Riemannian context. In Chapter 2, an inexact proximal point method for variational inequalities in Hadamard manifolds is introduced, and its convergence properties are studied; see [7]. To present our method, we generalize the concept of enlargement of monotone operators, from a linear setting to the Riemannian context. As an application, an inexact proximal point method for constrained optimization problems is obtained. In Chapter 3, we present an extragradient algorithm for variational inequality associated with the point-to-set vector field in Hadamard manifolds and study its convergence properties; see [8]. In order to present our method, the concept of enlargement of maximal monotone vector fields is used and its lower-semicontinuity is established to obtain the convergence of the method in this new context. In Chapter 4, we present a sufficient condition for the existence of a solution to the generalized vector equilibrium problem on Hadamard manifolds using a version of the KnasterKuratowski-Mazurkiewicz Lemma; see [6]. In particular, the existence of solutions to optimization, vector optimization, Nash equilibria, complementarity, and variational inequality is a special case of the existence result for the generalized vector equilibrium problem. / Nesta tese, estudamos desigualdades variacionais e o problema de equilíbrio vetorial generalizado. No Capítulo 1, vários resultados e definições elementares sobre geometria Riemanniana são enunciados; apresentamos o conceito de campo vetorial monótono e muitas de suas propriedades, além de introduzir o conceito de alargamento de um campo vetorial monótono e exibir suas propriedades em um contexto Riemanniano. No Capítulo 2, um método de ponto proximal inexato para desigualdades variacionais em variedades de Hadamard é introduzido e suas propriedades de convergência são estudadas; veja [7]. Para apresentar o nosso método, generalizamos o conceito de alargamento de operadores monótonos, do contexto linear ao contexto de Riemanniano. Como aplicação, é obtido um método de ponto proximal inexato para problemas de otimização com restrições. No Capítulo 3, apresentamos um algoritmo extragradiente para desigualdades variacionais associado a um campo vetorial ponto-conjunto em variedades de Hadamard e estudamos suas propriedades de convergência; veja [8]. A fim de apresentar nosso método, o conceito de alargamento de campos vetoriais monótonos é utilizado e sua semicontinuidade inferior é estabelecida, a fim de obter a convergência do método neste novo contexto. No Capítulo 4, apresentamos uma condição suficiente para a existência de soluções para o problema de equilíbrio vetorial generalizado em variedades de Hadamard usando uma versão do Lema Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz; veja [6]. Em particular, a existência de soluções para problemas de otimização, otimização vetorial, equilíbrio de Nash, complementaridade e desigualdades variacionais são casos especiais do resultado de existência do problema de equilíbrio vetorial generalizado.