Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / El objetivo de esta tesis es presentar condiciones para analizar la existencia de valores propios en algunas familias de sistemas de Bratteli-Vershik minimales. Ésto expande los resultados obtenidos hasta el día de hoy en ciertas familias de sistemas de Bratteli-Vershik minimales de rango finito, como son los sistemas estacionarios, linealmente recurrentes y Toeplitz. En los primeros dos capítulos de la tesis se presentan estos resultados preliminares, junto con construcciones relevantes, varias de ellas mencionadas en la literatura, pero nunca escritas formalmente. Al hacer esto aparecen un par de ejemplos y métodos particulares, que se adjuntan pretendiendo aportar un poco más al entendimiento de los sistemas de Bratteli-Vershik. En el tercer capítulo se presenta una caracterización de la ocurrencia de un valor propio en un sistema de Bratteli-Vershik minimal de rango finito general, sin distinguir entre valores propios continuos y no-continuos. Esta caracterización tiene la ventaja de estar expresada en términos de elementos combinatoriales relacionados naturalmente a un diagrama de Bratteli, como son sus matrices de incidencia, su orden, y las alturas de las torres de Kakutani-Rokhlin asociadas. En el último capítulo se analizan los valores propios de los sistemas de Toeplitz minimales de rango finito. A partir del ajuste natural de la condición general para sistemas de rango finito, y del análisis de la subfamilia de diagramas esencialmente cíclicos, se establece una caracterización de la ocurrencia de valores propios no-continuos en los sistemas Toeplitz minimales de rango finito, desde diferentes puntos de vista. Por ejemplo, se establece que los únicos sistemas de Toeplitz que poseen valores propios no-continuos son, salvo conjugación, los que provienen de diagramas esencialmente cíclicos. Finalmente se establece una relación entre los valores propios no-continuos de un sistema Toeplitz minimal de rango finito, y la cantidad de medidas ergódicas que dicho sistema posee.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En 1992 M. Boshernitzan [6] presenta una condición suficiente para que los subshifts minimales sean únicamente ergódicos. Usando el concepto de factores simbólicos extendemos esta condición a sistemas minimales de Cantor. Decimos que un sistema minimal de Cantor satisface la condición de Boshernitzan si todos sus factores simbólicos satisfacen la condición de Boshernitzan. Esta extensión resulta natural en cuanto todo sistema minimal de Cantor es topologicamente conjugado al límite inverso de ciertas secuencias factorizantes de factores símbolicos. Demostramos que la condición de Boshernitzan implica única ergodicidad para sistemas minimales de Cantor. También mostramos que esta condición puede ser verificada analizando cualquier representación de Bratteli-Vershik de un sistema minimal de Cantor dado. Luego tiene sentido buscar condiciones sobre los diagramas de Bratteli asociados a un sistema minimal de Cantor que sean necesarias y/o suficientes para que tal sistema satisfaga la condición de Boshernitzan. Presentamos varias de estas condiciones. Las más generales están relacionadas con el comportamiento asintótico de los vectores de altura y los vectores de medida de las representaciones de Bratteli-Vershik. Estas condiciones son luego reduci- das, sacrificando un poco de generalidad, a condiciones concernientes a la repetición de un bloque de matrices positivas dado en una cantidad infinita de niveles de los diagramas. En todos los casos se considera una hipótesis de estandarización sobre el orden de los diagramas. Se explora el alcance y las limitaciones de los criterios presentados a través del estudio de ejemplos específicos. Se observa que la combinatoria de los sistemas influye de gran manera en el cumplimiento de la condición de Boshernitzan. In 1992 M. Boshernitzan [6] provided a sufficient condition for minimal subshifts to be uniquely ergodic. By using the concept of symbolic factors we extend this condition to Cantor minimal systems. We say a Cantor minimal systems satisfies Boshernitzan s condition if all of its symbolic factors satisfy Boshernitzan s condition. This extension seems natural given the fact that every Cantor minimal system is topologically conjugate to the inverse limit of certain factoring sequences of symbolic factors. We prove that Boshernitzan s condition implies unique ergodicity for Cantor minimal systems. We also show that this con- dition can be verified by analyzing any particular Bratteli-Vershik representation of a given a Cantor minimal system. It then makes sense to look for diagram related necessary and/or sufficient condition for Cantor minimal systems to satisfy Boshernitzan s condition. We pro- vide several of these conditions. The more general ones relate to the asymptotic behaviour of the height vectors and measure vectors of the Bratteli Vershik representations. These con- ditions are then reduced, sacrificing some generality, to conditions concerning the repetition of a given block of positive matrices at inifinitely many levels of the diagrams. In all cases a standardization hypothesis on the order of the diagrams is made. We explore the scope and limitations of the criteria provided by studying specific examples. The combinatorics of the systems is seen to greatly influence the achievement of Boshernitzan s condition.

A logic that utilizes higher-order quantification --quantifying over concepts (or relations), not just over the first-order level of individuals-- can be interpreted standardly or nonstandardly depending on whether one takes an intensional or extensional view of concepts. I argue that this decision is connected to how one understands the mathematical notion of function. A function is often understood as a rule that, when given an argument from a set of objects called a "domain," returns a value from a set of objects called a "codomain." Because a concept can be thought of as a two-valued function (that indicates whether or not a given object falls under the concept), having an extensional interpretation of higher-order variables --the standard interpretation-- requires that one adopt an extensional notion of function. Viewed extensionally, however, a function is understood not as a rule but rather as a correlation associating every element in a domain with an element in a codomain. When the domain is finite, the two understandings of function are equivalent (since one can define a rule for any finite correlation), but with an infinite domain, the latter understanding admits arbitrary functions, or correlations not definable by a finitely specifiable rule. Rejection of the standard interpretation is often motivated by the same reasons used to resist the extensional understanding of function. Such resistance is overt in the pronouncements of Leopold Kronecker, but is also implicit in the work of Gottlob Frege, who used an intensional notion of function in his logic. Looking at the problem historically, I argue that the extensional notion of function has been basic to mathematics since ancient times. Moreover, I claim that Gottfried Wilhelm Leibniz's combination of mathematical and metaphysical ideas helped inaugurate an extensional and ultimately model-theoretical approach to mathematical concepts that led to some of the most important applications of mathematics to science (e.g. the use of non-Euclidean geometry in the theory of general relativity). In logic, Frege's use of an intensional notion of function led to contradiction, while Richard Dedekind and Georg Cantor applied the extensional notion of function to develop mathematically revolutionary theories of the transfinite. / 2025-10-15

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Savoir si un ensemble est de capacité nulle ou connaître sa dimension capacitaire est une question importante. De nombreux articles (tels que [3], [5], [6]) ont élucidé la question dans le cas de certains ensembles de Cantor. Les K-sets sont des ensembles de R. En particulier, les ensembles de Cantor les plus réguliers, pour lesquels on connaît une condition simple de capacité nulle, sont des K-sets. Ce mémoire a pour but de montrer l'efficacité d'une méthode dans le cadre des ensembles de Cantor et ses limites dans le cadre des K-sets. Il est principalement inspiré de l'article [8].

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This paper will examine analogues of Cantor sets, called fractal squares, and some of the geometric ways in which fractal squares raise issues not raised by Cantor sets. Also discussed will be a technique using directed graphs to prove bilipschitz equivalence of two fractal squares. / Ph. D.

Seja K um conjunto de Cantor. Neste trabalho apresentamos dois teoremas relacionados a densidade do conjunto das dinâmicas simbólicas. No caso de endomorfismos provamos que, dado uma dinâmica T : K K, existe uma T : K K próxima a T, tal que toda órbita é finalmente periódica. Já no caso de homeomorfismos, mostramos que, dado uma dinâmica T : K K, existe uma T : K K próxima a T, tal que o w-limite de toda órbita de T é uma órbita periódica. Em particular, mostramos que, em ambos os casos, todas as medidas ergódicas estão suportadas em órbitas periódicas. / Let K be a Cantor set. In this work we present two theorems related to the density of symbolic dynamics. We prove that given an endomorphism T : K K then there exists an endomorphism ~ T : K K close to T such that every orbit is finally periodic. We also prove that given a homeomorphism T : K K then there exists a homeomorphism ~ T : K K close to T such that the w-limit of every orbit is a periodic orbit. In particular, we have shown, in both cases, that all ergodic measures have support on periodic orbits.

Seja K um conjunto de Cantor. Neste trabalho apresentamos dois teoremas relacionados a densidade do conjunto das dinâmicas simbólicas. No caso de endomorfismos provamos que, dado uma dinâmica T : K K, existe uma T : K K próxima a T, tal que toda órbita é finalmente periódica. Já no caso de homeomorfismos, mostramos que, dado uma dinâmica T : K K, existe uma T : K K próxima a T, tal que o w-limite de toda órbita de T é uma órbita periódica. Em particular, mostramos que, em ambos os casos, todas as medidas ergódicas estão suportadas em órbitas periódicas. / Let K be a Cantor set. In this work we present two theorems related to the density of symbolic dynamics. We prove that given an endomorphism T : K K then there exists an endomorphism ~ T : K K close to T such that every orbit is finally periodic. We also prove that given a homeomorphism T : K K then there exists a homeomorphism ~ T : K K close to T such that the w-limit of every orbit is a periodic orbit. In particular, we have shown, in both cases, that all ergodic measures have support on periodic orbits.

This paper is about basic set theory and cardinalities for infinite sets. One of the results are that the line R and the plane R2 contains exactly the same number of points. Because of that the set theory is described with a formal language this the paper has an appendix about formal languages. / Denna uppsats behandlar grundläggande mängdlära och inriktar sig sedan på kardinaliteter för oändliga mängder. Bland de resultat som redovisas finns bland annat resultatet som säger att linjen R och planet R2 innehåller precis lika många punkter. Då mängdläran beskrivs av ett formellt språk så innehåller uppsatsen en bilaga om formella språk.