Le Calcul des Variations et son interprétation géométrique ont toujours joué un rôle crucial en Physique Mathématique, que ce soit par le formalisme lagrangien, ou à travers les équations hamiltoniennes.Le formalisme multisymplectique permet une description géométrique de dimension finie des théories de champ classiques (qui correspondent à des problèmes variationnels avec plusieurs variables spatio-temporelles) vues d’un point de vue hamiltonien. La géométrie multisymplectique joue un rôle similaire à celui de la géométrie symplectique dans la description de la mécanique hamiltonienne classique. De plus, l’approche multisymplectique fournit un outil pour construire une structure symplectique sur l’espace des solutions de la théorie des champs et pour l’étudier.Dans cette thèse, je m’intéresse principalement au formalisme multisymplectique pour construire des théories de champs de premier ordre et j’espère pouvoir donner deux principales contributions originales :– Je montre que, dans certaines situations, la structure symplectique de l’espace des phases covariant peut en effet dépendre du choix de la topologie du découpage de l’espace-temps en l’espace et en le temps;– Je construis une extension du formalisme multisymplectique aux théories de super-champs. En tant que «sous-produit», je présente une autre contribution que j’espère intéressante :– Je définie des formes fractionnaires sur des supervariétés avec leur calcul de Cartan. Ces formes fractionnaires se révèlent utiles pour construire le formalisme multisymplectique pour les théories de super-champs.Les ingrédients principaux du formalisme que j'utilise sont : l’espace des multimoments de dimension finie P et son extension aux théories de super-champs que je définie ; la superforme lagrangienne, le superhamiltonien et la superforme multisymplectique. Dans la thèse je montre aussi un théorème de comparaison qui permets de clarifier les relations existant entre les théories dites en composantes et les théories de superchamps. J’explique comment le formalisme supermultisymplectique peut être utilisé pour définir des super crochets de Poisson pour les superchamps. Je donne une version "super" du premier théorème de Noether valable pour l'action de supergroupes de symétrie et je propose une extension « super » de l'application multimoment. Enfin je présente quelques exemples montrant comment toute la théorie peut être mise en œuvre : en particulier j'étudie la superparticule libre et le modèle sigma 3-dimensionnel. / The Calculus of Variations and its geometric interpretation always played a key role in Mathematical Physics, either through the Lagrangian formalism, or through the Hamiltonian equations.The multisymplectic formalism allows a finite dimensional geometric description of classical field theories seen from an Hamiltonian point of view. Multisymplectic geometry plays the same role played by symplectic geometry in the description of classical Hamiltonian mechanics. Moreover the multisymplectic approach provides a tool for building a symplectic structure on the space of solutions of the field theory and for investigating it.In this thesis I use the multisymplectic formalism to build first order field theories and I hope to give two main original contributions:– I show that, in some situations, the symplectic structure on the covariant phase space may indeed depend from the choice of splitting of spacetime in space and time;– I extend the multisymplectic formalism to superfield theories.As a "byproduct", I present another contribution:– I define fractional forms on supermanifolds with their relative Cartan Calculus. These fractional forms are useful to build the multisymplectic formalism for superfield theories.The main ingredients of the formalism I use are: the finite dimensional multimomenta phase space P and its extension to super field theories, which I give; the Lagrangian superform; the super-Hamiltonian, the multisymplectic superform.In my thesis I also prove a Comparison Theorem which allows to clarify the relations existing between the so called components theories and the so called superfield theories. I explain how the supermultisymplectic formalism can be used to define super Poisson brackets for super fields. I give a "super" version of the first Noether theorem valid for the action of supergroups of symmetry and I propose a “super” extension of the multimomentum map.Finally I present some examples showing how all the theory can be implemented: I study the free superparticle and the 3-dimensional sigma-model.

Après un survol de la théorie des géométries de Klein, nous présentons les rudiments de la géométrie de Cartan, qui généralise celle de Klein de la même manière que la géométrie riemannienne généralise la géométrie euclidienne. Ensuite, nous présentons la correspondance entre les géométries pseudo-riemanniennes et les géométries de Cartan sans torsion modélisées sur l'espace pseudo-euclidien. Nous utilisons cette correspondance pour montrer dans le langage de la géométrie de Cartan que les pré-géodésiques de type lumière d'une variété pseudo-riemannienne sont les mêmes pour toutes les métriques pseudo-riemanniennes dans la même classe d'équivalence conforme. Enfin, nous obtenons une seconde preuve de ce résultat, cette fois-ci en utilisant la correspondance entre les géométries conformes et les géométries de Cartan normales modélisées sur l'univers d'Einstein.

In dieser Dissertation werden Cartan-Ränder von CR-Mannigfaltigkeiten und ihren Fefferman-Räumen besprochen. Der Fefferman-Raum einer strikt pseudo-konvexen CR-Mannigfaltigkeit ist als das Bündel aller reellen Strahlen im kanonischen, komplexen Linienbündel definiert. Eine andere Definition nutzt die Cartan-Geometrie und führt zu einer starken Beziehung zwischen den Cartan-Geometrien der CR-Mannigfaltigkeit und des zugehörigen Fefferman-Raumes. Allerdings wird hier die Existenz einer gewissen Wurzel des antikanonischen, komplexen Linienbündels, dessen Existenz nur lokal gesichert ist, vorausgesetzt. Für Randkonstruktionen benötigen wir jedoch eine globale Konstruktion des Fefferman-Raumes. Dennoch können lokale Resultate zum Fefferman-Raum von einer Konstruktion zur anderen übertragen werden können, da konforme Überlagerungen von beiden vorliegen. Der Cartan-Rand einer Mannigfaltigkeit wird mithilfe der zugehörigen Cartan-Geometrie konstruiert, welche eine globale Basis und damit auch eine Riemannsche Metrik auf dem Cartan-Bündel definiert, welches per Cauchy-Vervollständigung abgeschlossen wird. Division durch die Strukturgruppe ergibt den Cartan-Rand der Mannigfaltigkeit. Der Cartan-Rand ist eine Verallgemeinerung des Cauchy-Randes, da beide im Riemannschen übereinstimmen. Allgemein ist der Cartan-Rand nicht unbedingt Hausdorffsch, was nicht wirklich überrascht, sind doch Rand-Phänomene "irgendwie singulär". Wir stellen fest, dass für CR-Mannigfaltigkeit und ihre Fefferman-Räume die Projektion des Cartan-Randes des Fefferman-Raumes den Cartan-Rand der CR-Mannigfaltigkeit enthält. Schließlich betrachten wir die Heisenberg-Gruppe, eines der grundlegenden Beispiele für CR-Mannigfaltigkeiten. Sie ist flach aber - anders als der homogene Raum - nicht kompakt. Wir finden, dass der Cartan-Rand der Heisenberg-Gruppe ein einzelner Punkt und der Cartan-Rand des zugehörigen Fefferman-Raumes eine nicht-ausgeartete Faser über diesem ist. / The aim of this thesis is to discuss the Cartan boundaries of CR manifolds and their Fefferman spaces. The Fefferman space of a strictly pseudo-convex CR manifold is defined as the bundle of all real rays in the canonical complex line bundle. Another way of defining the Fefferman space of a CR manifold uses the tools of Cartan geometry and leads to a strong relationship between the Cartan geometries of a CR manifold and the corresponding Fefferman space. However here the existence of a certain root of the anticanonical complex line bundle is requested which can solely be guarantied locally. As we are interested in boundaries we need a global construction of the Fefferman space. Still we find that local results on the Fefferman space can be transferred from one construction to the other since we have conformal coverings of both. The Cartan boundary of a manifold is constructed with the help of the corresponding Cartan geometry, which defines a global frame and hence a Riemannian metric on the Cartan bundle which can be completed by Cauchy completion. Division by the structure group gives the Cartan boundary of the manifold. The Cartan boundary is a generalization of the Cauchy boundary since both coincide in the Riemannian case. In general the Cartan boundary is not necessarily Hausdorff, which is not really surprising since boundary phenomena are somehow ``singular''''. For CR manifolds and their Fefferman spaces we especially prove that the projection of the Cartan boundary of the Fefferman space contains the Cartan boundary of the CR manifold. We finally discuss the Heisenberg group, one of the basic examples of CR manifolds. It is flat but - contrary to the homogeneous space - not compact. We find that the Cartan boundary of the Heisenberg group is a single point and the Cartan boundary of the corresponding Fefferman space is a non degenerate fibre over that point.

No description available.

No description available.

No description available.

Après un survol de la théorie des géométries de Klein, nous présentons les rudiments de la géométrie de Cartan, qui généralise celle de Klein de la même manière que la géométrie riemannienne généralise la géométrie euclidienne. Ensuite, nous présentons la correspondance entre les géométries pseudo-riemanniennes et les géométries de Cartan sans torsion modélisées sur l'espace pseudo-euclidien. Nous utilisons cette correspondance pour montrer dans le langage de la géométrie de Cartan que les pré-géodésiques de type lumière d'une variété pseudo-riemannienne sont les mêmes pour toutes les métriques pseudo-riemanniennes dans la même classe d'équivalence conforme. Enfin, nous obtenons une seconde preuve de ce résultat, cette fois-ci en utilisant la correspondance entre les géométries conformes et les géométries de Cartan normales modélisées sur l'univers d'Einstein.

Thesis (M. Phil.)--University of Hong Kong, 1997. / Includes bibliographical references (leaves 53-56).

The differential geometry software package in Maple has the necessary tools and commands to automate the classification process for complex simple Lie algebras. The purpose of this thesis is to write the programs to complete the classification for real simple Lie algebras. This classification is difficult because the Cartan subalgebras are not all conjugate as they are in the complex case. For the process of the real classification, one must first identify a maximally noncompact Cartan subalgebra. The process of the Cayley transform is used to find this specific Cartan subalgebra. This Cartan subalgebra is used to find the simple roots for the given real simple Lie algebra. With this information, we can then create a Satake diagram. Then we match our given algebra's Satake diagram to a Satake diagram of a known algebra. The programs explained in this thesis complete this process of classification.

A dissertação tem como tema as álgebras de Lie. Especificamente álgebras de Lie semi-simples e suas propriedades . Para encontramos essas propriedades estudamos os conceitos básicos da teoria das álgebras de Lie e suas representações. Então fizemos a classificação dessas álgebras por diagramas de Dynkin explicitando quais os possíveis diagramas que são associados a uma álgebra de Lie semi-simples. Por fim, demonstramos vários resultados concernentes a essa classificação, dentre esses, o principal resultado demonstrado foi: os diagramas de Dynkin são um invariante completo das álgebras de Lie semi-simples / The dissertation has the theme Lie algebras. Specifically semi-simple Lie algebras and its properties. To find these properties we studied the basic concepts of the theory of Lie algebras and their representations. Then we did the classification by Dynkin diagrams of these algebras and explaining the possible diagrams that are associated with a semi-simple Lie algebra. Finally, we demonstrate several results related to this classification, among these, the main result demonstrated was: the Dynkin diagrams are a complete invariant of semi-simple Lie algebras