Cette thèse de doctorat fait quelques liens entre la théorie de l'intégration non-additive et les notions d'ordre stochastique et de mesure du risque utilisées en finance et en assurance. Nous faisons un usage extensif des fonctions d'ensembles monotones normalisées, appelées également capacités, ou encore probabilités non-additives, ainsi que des intégrales qui leur sont associées, appelées intégrales de Choquet. Dans le premier chapitre, nous établissons une généralisation des inégalités de Hardy-Littlewood au cas d'une capacité. Nous y faisons également quelques compléments sur les fonctions quantiles par rapport à une capacité. Dans le deuxième chapitre, nous généralisons la notion de dominance stochastique croissante convexe au cas d'une capacité, et nous résolvons un problème d'optimisation dont la contrainte est donnée en termes de cette relation généralisée. Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons à la généralisation de la notion de dominance stochastique croissante. Nous étudions également les classes de mesures du risque satisfaisant aux propriétés d'additivité comonotone et de consistance par rapport à l'une des relations de dominance stochastique "généralisées" précédemment considérées. Nous caractérisons ces mesures du risque en termes d'intégrales de Choquet par rapport à une "distorsion" de la capacité initiale. Le quatrième chapitre est consacré à des mesures du risque admettant une représentation "robuste" en termes de maxima (sur un ensemble de fonctions de distorsion) d'intégrales de Choquet par rapport à des capacités distordues.

On s'intéresse dans cette thèse à la couverture des produits dérivés dans des marchés incomplets. L'approche choisie peut se voir comme une extension des travaux de M. Schweizer sur la minimisation locale du risque quadratique. En effet, tout en restant dans le cadre de la modélisation des actifs par des semimartingales, notre méthode consiste à remplacer le critère de risque quadratique par un critère de risque plus général, sous la forme d'une fonctionnelle convexe du coût local. Nous obtenons d'abord des résultats d'existence, d'unicité et de caractérisation des stratégies optimales dans un marché sans friction, en temps discret et en temps continu. Puis nous explicitons ces stratégies dans le cadre de modèles de diffusion avec et sans sauts. Nous étendons également notre méthode au cas où la liquidité n'est plus infinie. Enfin nous montrons par le biais de simulations numériques les effets du choix de la fonctionnelle de risque sur la constitution du portefeuille optimal.

[pt] Há diferentes tipos de investidores que compõem o mercado financeiro e produzem oportunidades de mercado em diferentes escalas de tempo. Isto evidencia uma estrutura heterogênea de mercado. Nesta tese conjecturamos que podem haver oportunidades mais preditivas do que outras, o que motiva a investigação e a construção de estratégias multirresolução. Para estratégias multirresolução há abordagens que utilizam a decomposição de séries temporais para a operação em resoluções distintas ou propostas para a construção de conjuntos de dados de acordo com decisões de negociação multirresolução. As demais estratégias, em sua maioria, são de resolução única. Nesta tese, abordamos dois problemas, maximização de retorno acumulado e maximização de retorno acumulado com o risco controlado, e propomos uma abordagem computacionalmente eficiente para a construção de estratégias multirresolução, a partir da resolução do problema de Agendamento de Intervalos Ponderados. Nossa metodologia consiste em dividir o dia de mercado em intervalos, especializar traders por intervalo e associar um prêmio a cada trader. Para o problema de maximização de retorno acumulado, o prêmio de cada trader corresponde ao retorno acumulado entre dias para o intervalo de operação associado. Para o problema de maximização de retorno acumulado com controle do risco, o prêmio de cada trader corresponde ao retorno acumulado dividido pelo risco para o intervalo de operação associado. Diferentemente do problema anterior, empregamos um conjunto de traders por intervalo e utilizamos o método de Média-Variância, de Markowitz, para encontrar pesos ótimos para conjunto de traders de forma a controlar o risco. Conjecturamos aqui que o controle do risco por intervalo acarreta no controle do risco global da estratégia para o dia. Para a sinalização das ordens de compra e venda, nossos traders utilizam detectores de oportunidades. Estes detectores utilizam algoritmos de Aprendizado de Máquina que processam informações de indicadores de análise técnica e dados de preço e volume. Realizamos experimentos para dez ativos de maior liquidez da BMF&Bovespa para um período de um ano. Nossa estratégia de Composição de um Time de Traders (CTT) apresenta 0, 24 por cento de lucro médio diário e 77, 24 por cento de lucro anual, superando em 300 por cento e 380 por cento, respectivamente, uma estratégia de resolução única. Para os custos adotados, a estratégia CTT é viável a partir de 50.000,00 dólares. Para o problema de maximização do retorno acumulado com risco controlado, a estratégia de Composição de Carteiras por Intervalos (CCI) apresenta em média 0, 179 por cento de lucro diário e 55, 85 por cento de lucro anual, superando o método de Média-Variância de Markowitz. Para os custos adotados, a estratégia CCI é viável a partir de 2.000.000,00 dólares. As principais contribuições desta tese são: abordagem por Agendamentos de Intervalos Ponderados para a construção de estratégias e o emprego do modelo de Média-Variância para compor uma carteira de traders ao invés da tradicional abordagem por ativos. / [en] There are different types of investors who make up the financial market and produce market opportunities at different time scales. This indicates a heterogeneous market structure. In this thesis, we conjecture that may have more predictive opportunities than others, what motivates research and construction of we denominate multirresolution optimal strategies. For multirresolution strategies there are time series decomposition approaches for operating at different resolutions or proposals for dataset construction according to multirresolution trading optimal decisions. The other approaches, are single resolution. Thus, we address two problems, maximizing cumulative returns and maximizing cumulative returns with risk control. Here, we propose solving the Weighted Interval Scheduling problem to build multirresolution strategies. Our methodology consists of dividing the market day into time intervals, specialize traders by interval and associate a prize to each trader. For the cumulative return maximization problem, the prize corresponds to cumulative returns between days for the associated trader operation interval. For the cumulative return maximization problem with risk control each trader prize corresponds to cumulative return divided by risk with associated operation interval. In order to control the risk, we employ a set of traders by interval and apply the Markowitz Mean-Variance method to find optimal weight for set of traders. Here, we conjecture that controlling each interval risk leads to the overall risk control of the day. For signaling buy and sell orders, our traders use opportunity detectors. These detectors correspond to Machine Learning algorithms that process technical analysis indicators, price and volume data. We conducted experiments for ten of the most liquid BMF&Bovespa stocks to a one year span. Our Trading Team Composition strategy results indicates an average of 0.24 per cent daily profit and a 77.24 per cent anual profit, exceeding by 300 per cent and 380 per cent, respectively, a single resolution strategy. Regarding operational costs, CTT strategy is viable from 50,000 dollars. For the cumulative return maximization problem under risk control, our Portfolio Composition by Intervals strategy results indicates an average of 0.179 per cent daily profit and a 55.85 per cent anual profit, exceeding a Markowitz Mean- Variance method. Regarding operational costs, CCI strategy is viable from 2,000,000 dollars. Our main contributions are: the Weighted Interval Scheduling approach for building multirresolution strategies and a portfolio composition of traders instead of stocks performances.

Cette thèse porte sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires dégénérées, ainsi que pour des problèmes de contrôle d'EDP non-linéaires résultants d'un nouveau problème de transport optimal. Toutes ces questions sont motivées par des applications en mathématiques financières. La thèse est divisée en quatre parties. Dans une première partie, nous nous intéressons à la condition nécessaire et suffisante de la monotonie du $\theta$-schéma de différences finies pour l'équation de diffusion en dimension un. Nous donnons la formule explicite dans le cas de l'équation de la chaleur, qui est plus faible que la condition classique de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Dans une seconde partie, nous considérons une EDP parabolique non-linéaire dégénérée et proposons un schéma de type ''splitting'' pour la résoudre. Ce schéma réunit un schéma probabiliste et un schéma semi-lagrangien. Au final, il peut être considéré comme un schéma Monte-Carlo. Nous donnons un résultat de convergence et également un taux de convergence du schéma. Dans une troisième partie, nous étudions un problème de transport optimal, où la masse est transportée par un processus d'état type ''drift-diffusion'' controllé. Le coût associé est dépendant des trajectoires de processus d'état, de son drift et de son coefficient de diffusion. Le problème de transport consiste à minimiser le coût parmi toutes les dynamiques vérifiant les contraintes initiales et terminales sur les distributions marginales. Nous prouvons une formule de dualité pour ce problème de transport, étendant ainsi la dualité de Kantorovich à notre contexte. La formulation duale maximise une fonction valeur sur l'espace des fonctions continues bornées, et la fonction valeur correspondante à chaque fonction continue bornée est la solution d'un problème de contrôle stochastique optimal. Dans le cas markovien, nous prouvons un principe de programmation dynamique pour ces problèmes de contrôle optimal, proposons un algorithme de gradient projeté pour la résolution numérique du problème dual, et en démontrons la convergence. Enfin dans une quatrième partie, nous continuons à développer l'approche duale pour le problème de transport optimal avec une application à la recherche de bornes de prix sans arbitrage des options sur variance étant donnés les prix des options européennes. Après une première approximation analytique, nous proposons un algorithme de gradient projeté pour approcher la borne et la stratégie statique correspondante en options vanilles.

Many problems in financial world are being modeled by means of differential equation. These problems are time dependent, highly nonlinear, stochastic and heavily depend on the previous history of time. A variety of financial products exists in the market, such as forwards, futures, swaps and options. Our main focus in this thesis is to use the numerical analysis tools to solve some option pricing problems. Depending upon the inter-relationship of the financial derivatives, the dimension of the associated problem increases drastically and hence conventional methods (for example, the finite difference methods or finite element methods) for solving them do not provide satisfactory results. To resolve this issue, we use a special class of numerical methods, namely, the mesh free methods. These methods are often better suited to cope with changes in the geometry of the domain of interest than classical discretization techniques. In this thesis, we apply these methods to solve problems that price standard and non-standard options. We then extend the proposed approach to solve Heston' volatility model. The methods in each of these cases are analyzed for stability and thorough comparative numerical results are provided.

Options are a special type of derivative securities because their values are derived from the value of some underlying security. Most options can be grouped into either of the two categories: European options which can be exercised only on the expiration date, and American options which can be exercised on or before the expiration date. American options are much harder to deal with than European ones. The reason being the optimal exercise policy of these options which led to free boundary problems. Ever since the seminal work of Black and Scholes [J. Pol. Econ. 81(3) (1973), 637-659], the differential equation approach in pricing options has attracted many researchers. Recently, numerical singular perturbation techniques have been used extensively for solving many differential equation models of sciences and engineering. In this thesis, we explore some of those methods which are based on spline approximations to solve the option pricing problems. We show a systematic construction and analysis of these methods to solve some European option problems and then extend the approach to solve problems of pricing American options as well as some exotic options. Proposed methods are analyzed for stability and convergence. Thorough numerical results are presented and compared with those seen in the literature.

Résumé : Cette thèse comporte 8 chapitres. Le chapitre 1 est une introduction aux problématiques rencontrées sur les marchés énergétiques : fréquence d'intervention faible, coûts de transaction élevés, évaluation des options spread. Le chapitre 2 étudie la convergence de l'erreur de couverture d'une option call dans le modèle de Bachelier, pour des coûts de transaction proportionnels (modèle de Leland-Lott) et lorsque la fréquence d'intervention devient infinie. Il est prouvé que cette erreur est bornée par une variable aléatoire proportionnelle au taux de transaction. Cependant, les démonstrations de convergence en probabilité demandent des régularités sur les sensibilités assez restrictives en pratique. Les chapitres suivants contournent ces obstacles en étudiant des convergences presque sûres. Le chapitre 3 développe tout d'abord de nouveaux outils de convergence presque sûre. Ces résultats ont de nombreuses conséquences sur le contrôle presque sûr de martingales et de leur variation quadratique, ainsi que de leurs incréments entre deux temps d'arrêt généraux. Ces résultats de convergence trajectorielle sont connus pour être difficiles à obtenir sans information sur les lois. Par la suite, nous appliquons ces résultats à la minimisation presque sûre de la variation quadratique renormalisée de l'erreur de couverture d'une option de payoff général (cadre multidimensionnel, payoff asiatique, lookback) sur une large classe de temps d'intervention. Une borne inférieure à notre critère est trouvée et une suite minimisante de temps d'arrêt optimale est exhibée : il s'agit de temps d'atteinte d'ellipsoïde aléatoire, dépendant du gamma de l'option. Le chapitre 4 étudie la convergence de l'erreur de couverture d'une option de payoff convexe (dimension 1) en prenant en compte des coûts de transaction à la Leland-Lott. Nous décomposons l'erreur de couverture en une partie martingale et une partie négligeable, puis nous minimisons la variation quadratique de cette martingale sur une classe de temps d'atteintes générales pour des Deltas vérifiant une certaine EDP non-linéaire sur les dérivées secondes. Nous exhibons aussi une suite de temps d'arrêt atteignant cette borne. Des tests numériques illustrent notre approche par rapport à une série de stratégies connues de la littérature. Le chapitre 5 étend le chapitre 3 en considérant une fonctionnelle des variations discrètes d'ordre Y et de Z de deux processus d'Itô Y et Z à valeurs réelles, la minimisation étant sur une large classe de temps d'arrêt servant au calcul des variations discrètes. Borne inférieure et suite minimisant sont obtenues. Une étude numérique sur les coûts de transaction est faite. Le chapitre 6 étudie la discrétisation d'Euler d'un processus multidimensionnel X dirigé par une semi-martingale d'Itô Y . Nous minimisons sur les temps de la grille de discrétisation un critère quadratique sur l'erreur du schéma. Nous trouvons une borne inférieure et une grille optimale, ne dépendant que des données observables. Le chapitre 7 donne un théorème limite centrale pour des discrétisations d'intégrale stochastique sur des grilles de temps d'atteinte d'ellipsoïdes adaptées quelconque. La corrélation limite est conséquence d'asymptotiques fins sur les problèmes de Dirichlet. Dans le chapitre 8, nous nous intéressons aux formules d'expansion pour les options sur spread, pour des modèles à volatilité locale. La clé de l'approche consiste à conserver la propriété de martingale de la moyenne arithmétique et à exploiter la structure du payoff call. Les tests numériques montrent la pertinence de l'approche.

A robust computational framework is presented for the risk-neutral valuation of capital guarantees written on discretely-reallocated portfolios following the Constant Proportion Portfolio Insurance (CPPI) strategy. Aiming to address the (arguably more realistic) cases where analytical results are unavailable, this framework accommodates risky-asset jumps, volatility surfaces, borrowing restrictions, nonuniform reallocation schedules and autonomous CPPI floor trajectories. The two-asset state space representation developed herein facilitates visualising the CPPI strategy, which in turn provides insight into grid design and interpolation. It is demonstrated that given a deterministic process for the risk-free rate, the pricing problem can be cast as solving cascading systems of 1D partial integro-differential equations (PIDEs). This formulation’s stability and monotonicity are studied. In addition to making more sense financially, the limited borrowing variant of the CPPI strategy is found to be better suited than the classical (unlimited borrowing) counterpart for bounded-domain calculations. Consequently, it is demonstrated how the unlimited borrowing problem can be approximated by imposing an artificial borrowing limit. For implementation validation, analytical solutions to special cases are derived. Numerical tests are presented to demonstrate the versatility of this framework.

Many problems in financial world are being modeled by means of differential equation. These problems are time dependent, highly nonlinear, stochastic and heavily depend on the previous history of time. A variety of financial products exists in the market, such as forwards, futures, swaps and options. Our main focus in this thesis is to use the numerical analysis tools to solve some option pricing problems. Depending upon the inter-relationship of the financial derivatives, the dimension of the associated problem increases drastically and hence conventional methods (for example, the finite difference methods or finite element methods) for solving them do not provide satisfactory results. To resolve this issue, we use a special class of numerical methods, namely, the mesh free methods. These methods are often better suited to cope with changes in the geometry of the domain of interest than classical discretization techniques. In this thesis, we apply these methods to solve problems that price standard and non-standard options. We then extend the proposed approach to solve Heston' volatility model. The methods in each of these cases are analyzed for stability and thorough comparative numerical results are provided.

Options are a special type of derivative securities because their values are derived from the value of some underlying security. Most options can be grouped into either of the two categories: European options which can be exercised only on the expiration date, and American options which can be exercised on or before the expiration date. American options are much harder to deal with than European ones. The reason being the optimal exercise policy of these options which led to free boundary problems. Ever since the seminal work of Black and Scholes [J. Pol. Econ. 81(3) (1973), 637-659], the differential equation approach in pricing options has attracted many researchers. Recently, numerical singular perturbation techniques have been used extensively for solving many differential equation models of sciences and engineering. In this thesis, we explore some of those methods which are based on spline approximations to solve the option pricing problems. We show a systematic construction and analysis of these methods to solve some European option problems and then extend the approach to solve problems of pricing American options as well as some exotic options. Proposed methods are analyzed for stability and convergence. Thorough numerical results are presented and compared with those seen in the literature.