An option is a financial instrument which derives its value from an underlying asset. There are a wide range of options traded today. Some are simple and plain, like the European options, while others are very difficult to evaluate. Both buyers and sellers continue to look for efficient algorithms and faster technology to price options for profit. In this thesis, I will first map the PSO parameters to the parameters in the option pricing problem. Then, I extend this to study pricing of complex chooser option. Further, I design a parallel algorithm that avails of the inherent concurrency in PSO while searching for a optimum solution. For implementation of my algorithm I used graphics processor unit (GPU). Analyzing the characteristics of PSO and option pricing, I propose a strategy to normalize some of the PSO parameters that helps in better understanding the sensitivity of various parameters on option pricing results.

An option is a financial instrument which derives its value from an underlying asset. There are a wide range of options traded today. Some are simple and plain, like the European options, while others are very difficult to evaluate. Both buyers and sellers continue to look for efficient algorithms and faster technology to price options for profit. In this thesis, I will first map the PSO parameters to the parameters in the option pricing problem. Then, I extend this to study pricing of complex chooser option. Further, I design a parallel algorithm that avails of the inherent concurrency in PSO while searching for a optimum solution. For implementation of my algorithm I used graphics processor unit (GPU). Analyzing the characteristics of PSO and option pricing, I propose a strategy to normalize some of the PSO parameters that helps in better understanding the sensitivity of various parameters on option pricing results.

The valuation of weather derivatives is complex since the underlying temperature process has no negotiable price. This thesis introduces a selection of models for the valuation of weather derivative contracts, governed by a stochastic underlying temperature process. We then present a new weather pricing model, which is used to determine the fair hedging price of a weather derivative under the assumptions of mean self-financing. This model is then extended to incorporate a compensation (or market price of risk) awarded to investors who hold undiversifiable risks. This results in the derivation of a non-linear two-dimensional PDE, for which the numerical evaluation cannot be performed using standard finite-difference techniques. The numerical techniques applied in this thesis are based on a broad range of lattice based schemes, including enhancements to finite-differences, quadrature methods and binomial trees. Furthermore simulations of temperature processes are undertaken that involves the development of Monte Carlo based methods.

Cette these propose un cadre mathematique pour la modelisation du risque endogene dans les marches financiers. Le risque endogene designe le risque genere, et amplifie, au sein du systeme financier lui-meme, par les differents acteurs economiques et leurs interactions, par opposition au risque exogene, genere par des chocs exterieurs au systeme financier. Notre etude est motivee par l'observation des differentes crises financieres passees, qui montre le role central du risque endogene dans les marches financiers. Ainsi, les periodes de crises sont souvent associees a des phenomenes de liquidation/ventes 'eclair ('fire sales'), qui g'en'erent, de mani'ere endog'ene, une importante volatilit'e pour les actifs financiers et des pics inattendus de corr'elations entre les rendements de ces actifs, entraˆınant de fortes pertes pour les investisseurs. Alors que la structure de d'ependance entre les rendements d'actifs financiers est traditionnellement mod'elis'ee de mani'ere exog'ene, les faits d'ecrits pr'ec'edemment sugg'erent qu'une telle mod'elisation exog'ene ne peut rendre compte du risque endog'ene observ'e dans les march'es financiers. L'id'ee principale de cette th'ese est de distinguer entre deux origines pour la corr'elation entre actifs. La premi'ere est exog'ene et refl'ete une corr'elation fondamentale. La seconde est endog'ene et trouve son origine dans l'offre et la demande syst'ematiques g'en'er'ees par les grandes institutions financi'eres. Nous mod'elisons la dynamique en temps discret des prix d'actifs financiers d'un march'e multi-actifs par une chaˆıne de Markov dans lequel le rendement de chaque actif, 'a chaque p'eriode k, se d'ecompose en un terme al'eatoire - qui repr'esente les fondamentaux de l'actif et est independant du passe - et un terme d'offre/demande syst'ematique, genere de maniere endogene. Dans chaque chapitre, nous caracterisons mathematiquement cette offre endog'ene et son impact sur les prix d'actifs financiers. Nous exhibons des conditions sous lesquelles la chaıne de Markov converge faiblement, lorsque le pas de temps du modele discret tend vers zero, vers la solution d'une equation differentielle stochastique dont nous donnons le drift et la volatilite multi-dimensionnels. L''etude du processus de covariation quadratique de la limite diffusive nous permet de quantifier l'impact de l'offre et demande endogenes systematiques sur la structure de dependance entre actifs. Enfin, nous developpons des outils statistiques et econometriques visant a resoudre le probleme inverse d'identification et d'estimation des parametres de notre modele a partir de donnees de prix d'actifs financiers. Le Chapitre 1 'etudie le risque endogene genere par un fonds sujet a des ventes forcees en raison d'investisseurs qui sortent de leurs positions lorsque le fonds sous-performe et que sa valeur passe en-dessous d'un seuil. Nous modelisons l'offre et la demande provenant de telles ventes forcees en introduisant une 'fonction de liquidation' f qui mesure la vitesse 'a laquelle les investisseurs sortent de leurs positions dans le fonds. Nous supposons que l'offre en exces due au fonds sur chaque actif impacte le rendement de l'actif de maniere lineaire et nous explicitons les conditions pour que la dynamique de prix en temps discret soit une chaˆıne de Markov dans (R∗ )n, ou' n est le nombre d'actifs dans le marche. Nous exhibons des conditions sous lesquelles le modele discret converge faiblement vers une diffusion en temps continu et calculons les drifts et volatilites multi- 7 dimensionnels de la dynamique de prix en temps continu. L'etude de la covariation quadratique de la limite diffusive permet d'expliciter l'impact des ventes forcees dans le fonds sur la structure de d'ependance entre les actifs financiers. En particulier, nous montrons que la matrice de covariance realisee s''ecrit comme la somme d'une matrice de covariance fondamentale et une matrice de covariance en exces, qui depend des positions du fonds, de la liquidite des actifs et de la trajectoire passee des prix et qui est nulle lorsqu'il n'y a pas de ventes forcees. Nous prouvons alors que cet impact endogene augmente la volatilite du fonds en question, exactement dans les scenarios ou' le fonds subit des pertes. Nous calculons 'egalement son impact sur la volatilit'e d'autres fonds investissant dans les memes actifs et prouvons l'existence d'une relation d'orthogonalite entre les positions du fonds de reference et d'un autre fonds telle que, si cette relation d'orthogonalite est verifiee, des ventes forcees dans le fonds de reference n'affectent pas la volatilit'e de l'autre fonds. Le Chapitre 2 etend les resultats du Chapitre 1 au cas de plusieurs fonds et d'un impact quelconque (pas necessairement lineaire) de l'offre aggregee en exces provenant de ventes forcees dans ces fonds, sur les rendements de prix d'actifs. Nous exhibons des conditions sous lesquelles le mod'ele discret converge faiblement vers une diffusion en temps continu. La fonction de volatilite de la limite diffusive ne depend de la fonction de d'impact qu''a travers sa derivee premiere en zero, montrant qu'un modele de d'impact lineaire capture completement l'impact des effets de retroaction dus aux ventes forcees dans les differents fonds sur la structure de dependance entre actifs. Nous calculons la matrice de covariance realisee, en fonction des positions liquid'ees, en particulier dans un cas simple ou' les liquidations ont lieu 'a vitesse constante, dans un intervalle de temps fix'e et nous donnons des conditions assurant que cette relation peut etre inversee et les volumes de liquidations identifi'es. Nous construisons alors un estimateur du volume de liquidation dans chaque actif, dont nous prouvons la consistance, et pour lequel nous d'erivons un th'eor'eme central limite, qui nous permet de construire un test statistique testant si, pendant une periode donnee, des liquidations ont eu lieu. Nous illustrons notre procedure d'estimation avec deux exemples empiriques: le 'quant event' d'aouˆt 2007 et les liquidations suivant la faillite de Lehman Brothers en Automne 2008. Le Chapitre 3 etudie l'impact d'un investisseur institutionnel investissant une portion constante de sa richesse dans chaque actif (strategie fixed-mix). Pour un vecteur d'allocations donne, nous prouvons l'existence d'une unique strategie fixed-mix autofinancante. A chaque p'eriode, le prix des n actifs et la valeur du fonds fixed-mix sont obtenus comme la solution d'un probl'eme de point fixe. Nous montrons que, sous certaines conditions que nous explicitons, le modele discret converge vers une limite diffusive, pour laquelle nous calculons la covariance et la correlation realisee 'a l'ordre un en liquidit'e. Nos r'esultats montrent que la presence d'investisseurs institutionnels peut modifier les correlations de facon significative. Nous calculons les vecteurs propres et valeurs propres de la matrice de correlation realisee (a' l'ordre un en liquidite). L''etude des drifts de la limite continue nous permet de calculer les rendements esperes des actifs et montre qu'en raison de la presence de l'investisseur institutionnel, les rendements esp'er'es des actifs avec grand (resp. faible) drift fondamental, compares au rendement fondamental du fonds, diminuent (resp. augmentent). Nous calculons, dans un exemple simple, la strategie efficiente pour un critere moyenne-variance et montrons qu'elle est differente de la strategie optimale fondamentale (sans le fonds). L''etude de la frontiere optimale dans cet exemple montre qu'un investisseur prenant en compte l'impact de l'investisseur institutionnel peut ameliorer son rendement pour un niveau de risque donne.

In this article the Finite Difference method is used to solve the Black Scholes equation. A second order and fourth order accurate scheme is implemented in space and evaluated. The scheme is then tried for different initial conditions. First the discontinuous pay off function of a European Call option is used. Due to the nonsmooth charac- teristics of the chosen initial conditions both schemes show an order of two. Next, the analytical solution to the Black Scholes is used when t=T/2. In this case, with a smooth initial condition, the fourth order scheme shows an order of four. Finally, the initial nonsmooth pay off function is modified by smoothing. Also in this case, the fourth order method shows an order of convergence of four.

In this manuscript, we develop a nite liquidity framework for two-asset markets. In contrast to the standard multi-asset Black-Scholes framework, trading in our market model has a direct impact on the asset's price. The price impact is incorporated into the dynamics of the first asset through a specific trading strategy, as in large trader liquidity models. We adopt Euler- Maruyama and Milstein scheme in the simulation of asset prices. Exchange and Spread option values are numerically estimated by Monte Carlo with the Margrabe option as a controlled variate. The time complexity of these numerical schemes is included. Finally, we provide some deep learning frameworks to implement these pricing models effectively. / Thesis / Master of Science (MSc)

Cette thèse porte sur deux aspects de la dépendance entre actifs financiers. La première partie concerne la dépendance entre vecteurs aléatoires. Le premier chapitre consiste en une comparaison d'algorithmes calculant l'application de transport optimal pour le coût quadratique entre deux probabilités sur R^n, éventuellement continues. Ces algorithmes permettent de calculer des couplages ayant une propriété de dépendance extrême, dits couplage de corrélation maximale, qui apparaissent naturellement dans la définition de mesures de risque multivariées. Le second chapitre propose une définition de la dépendance extrême entre vecteurs aléatoires s'appuyant sur la notion de covariogramme ; les couplages extrêmes sont caractérisés comme des couplages de corrélation maximale à modification linéaire d'une des marginales multivariées près. Une méthode numérique permettant de calculer ces couplages est fournie, et des applications au stress-test de dépendance pour l'allocation de portefeuille et la valorisation d'options européennes sur plusieurs sous-jacents sont détaillées. La dernière partie décrit la dépendance spatiale entre deux diffusions markoviennes, couplées à l'aide d'une fonction de corrélation dépendant de l'état des deux diffusions. Une EDP de Kolmogorov forward intégrée fait le lien entre la famille de copules spatiales de la diffusion et la fonction de corrélation. On étudie ensuite le problème de la dépendance spatiale atteignable par deux mouvements Browniens, et nos résultats montrent que certaines copules classiques ne permettent pas de décrire la dépendance stationnaire entre des mouvements Browniens couplés.

Nous établissons les liens asymptotique entre deux catégories de modèles à volatilité stochastique décrivant le même marché dérivé: - un modèle générique à volatilité stochastique instantanée (SInsV) , dont le système d'EDS est un chaos de Wiener formel, spécifié sans aucune variable d'état. - une classe à volatilité implicite stochastique glissante (SImpV), qui est un autre modèle de marché, décrivant explicitement la dynamique conjointe du sous-jacent et de la surface d'options Européennes associées. Chacune de ces connexions est atteinte couche par couche, entre un groupe de coefficients SInsV et un ensemble de differentielles SImpV (statiques et dynamiques). L'approche asymptotique conduit à ce que ces différentielles croisees soient prises à l'expiration zéro, au point ATM. Nous progressons d'une configuration simple, bi-dimensionnelle à sous-jacent unique, d'abord vers une configuration multi-dimensionnelle, puis vers un cadre à structure par terme. Nous exposons les contraintes structurelles de modélisation et l'asymétrie entre le problème direct (de SInsV vers SImpV) et inverse. Nous montrons que cette expansion asymptotique en chaos (ACE) est un outil puissant pour la conception et l'analyse de modèles. En se concentrant sur des modèles à volatilité locale et leurs extensions, nous comparons ACE avec la littérature et exhibons un biais systématique dans l'heuristique de Gatheral. Dans le contexte multi-dimensionnel, nous nous concentrons sur des paniers à poids stochastiques, pour lesquels ACE fournit des résultats intuitifs soulignant la recurrence naturelle. Dans l'environnement des taux d'intérêt, nous etablissons la première couche de descripteurs du smile pour les caplets, les swaptions et les options sur obligations, à la fois dans un cadre SV-HJM et un cadre SV-LMM. En outre, nous montrons que ACE peut être automatisé pour des modèles génériques, à n'importe quel ordre, sans calcul formel. L'intérêt de cet algorithme est démontré par le calcul manuel des 2eme et 3eme couches, dans un modèle générique SInsV bi-dimensionnel. Nous présentons le potentiel applicatif d'ACE pour la calibration, l'evaluation, la couverture ou à des fins d'arbitrage, illustré par des tests numériques sur le modèle CEV-SABR.

An assembled algorithm for pricing American options with absolute, discrete dividends using adaptive lattice methods is described. Considerations for hardware-conscious programming on both CPU and GPU platforms are discussed, to provide a foundation for the investigation of several approaches for deploying the program onto GPU architectures. The performance results of the approaches are compared to that of a central processing unit reference implementation, and to each other. In particular, an approach of designating subtrees to be calculated in parallel by allowing multiple calculation of overlapping elements is described. Among the examined methods, this attains the best performance results in a "realistic" region of calculation parameters. A fifteen- to thirty-fold improvement in performance over the CPU reference implementation is observed as the problem size grows sufficiently large.

In Finance, the use of Automated Trading Systems (ATS) on markets is growing every year and the trades generated by an algorithm now account for most of orders that arrive at stock exchanges (Kissell, 2020). Historically, these systems were based on advanced statistical methods and signal processing designed to extract trading signals from financial data. The recent success of Machine Learning has attracted the interest of the financial community. Reinforcement Learning is a subcategory of machine learning and has been broadly applied by investors and researchers in building trading systems (Kissell, 2020). In this thesis, we address the issue that deep reinforcement learning may be susceptible to sampling errors and over-fitting and propose a robust deep reinforcement learning method that integrates techniques from reinforcement learning and robust optimization. We back-test and compare the performance of the developed algorithm, Robust DDPG, with UBAH (Uniform Buy and Hold) benchmark and other RL algorithms and show that the robust algorithm of this research can reduce the downside risk of an investment strategy significantly and can ensure a safer path for the investor’s portfolio value.