Um resultado clássico em Geometria Diferencial, conhecido como teorema de Hadamard, e demonstrado pelo mesmo ([Ha]), estabelece que uma superfície conexa compacta no espaço Euclidiano cujas curvaturas principais são todas positivas é o bordo de um corpo convexo. Em part icular, a superfície é difeomorfa a uma esfera. Neste trabalho apresentamos extensões parciais deste teorema para imersões de codimensão arbitrária e para outros espaços ambientes que o E uclidiano conforme feito em [R]. / A classical result in differential geometry, known as Hadamard's theorem and proved by himself ([Ha]). establishes that a compact connected surface in the Euclidean space whose principal curvatures are everywhere positive is the boundary of a convex body. In particular, the surface is diffeomorphic to a sphere. In this work we present IJartial extensions of this theorem to immersions of arbitrary codimension and to other spaces than the Euclidean one, as clone in [R].

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Nesta dissertação estudamos --- do ponto de vista algorítmico --- o seguinte problema, conhecido como problema da partição conexa balanceada. Dado um grafo conexo G com pesos atribuídos a seus vértices, e um inteiro q >= 2, encontrar uma partição dos vértices de G em q classes, de forma que cada classe da partição induza um grafo conexo e que, ao considerar as somas dos pesos dos vértices de cada classe, a menor das somas seja o maior possível. Em outras palavras, o objetivo é encontrar q classes cujos pesos sejam tão balanceados quanto possível. Sabe-se que este problema é NP-difícil. Mencionamos alguns resultados sobre complexidade computacional e algoritmos que são conhecidos para este problema. Apresentamos algumas heurísticas que desenvolvemos, todas elas baseadas no uso do algoritmo polinomial para árvores, devido a Perl e Schach, que apresentamos com detalhe. Implementamos quatro heurísticas e um algoritmo de 3/4-aproximação conhecido para o caso q=2. Exibimos os resultados obtidos com os vários testes computacionais conduzidos com instâncias aleatórias, com grafos de diferentes pesos e densidades. Os resultados computacionais indicam que o desempenho dessas heurísticas --- todas elas polinomiais --- é bem satisfatório. No caso especial em que q=2, observamos que a heurística mais onerosa sistematicamente produziu soluções melhores ou iguais às do algoritmo de aproximação / In this dissertation we study algorithmic aspects of the following problem, known as the balanced connected partition. Given a connected graph G with weights defined on its vertices, and an integer q >= 2, find a partition of the vertices of G into q classes such that each class induces a connected graph, and furthermore, when we consider the sum of the weights of the vertices in each class, the smallest sum is as large as possible. In other words, the q classes must have weights that are as balanced as possible. This problem is known to be NP-hard. We mention some computational complexity and algorithmic results that are known for this problem. We present some heuristics that we designed, all of them based on the use of the polynomial algorithm for trees, due to Perl and Schach, which we show in detail. We implemented four heuristics and a 3/4-approximation algorithm that is known for q=2. We run tests on many random instances, of graphs with different weights and densities. The computational results indicate that the performance of these heuristics --- all of polynomial time complexity --- are very satisfactory. For q=2, we observed that the most expensive heuristic produced solutions with values which are systematically better or equal to those produced by the approximation algorithm.

Apresentamos um estudo das álgebras de incidência que são hereditárias por partes, as quais denominamos Phias, piecewise hereditary incidence algebras. Através da aljava com relações, descrevemos as Phias de tipo Dynkin e introduzimos uma nova família de Phias de tipo Dynkin extendido chamada família ANS, em referência a Assem, Nehring e Skowronski. Nessa descrição, o importante método foi o dos cortes em extensões triviais, os quais inspiraram a elaboração de um programa que concebe exatamente os cortes na extensão trivial dada que resultam em álgebras de incidência. Abordamos as Phias &#922\\&#916 de tipo feixes, estudando o &#922\\&#916-módulo sincero canônico M e a álgebra de extensão por um ponto &#922\\&#916[&#924]. Demonstramos que se &#922Q/I é uma álgebra sincera, quase-inclinada canônica de tipo aljava e tipo de representação infinito, então os &#922Q/I-módulos sinceros são excepcionais. Essa conclusão permite construir uma gama de Phias &#922\\&#916[&#924] de tipo selvagem. Exploramos as Phias simplesmente conexas, provando uma resposta positiva para o problema de Skowronski para &#922\\&#916 uma Phia de tipo H, com grafo de objetos inclinantes &#922_D^b (&#919) conexo: o grupo &#919^1(&#922\\&#916) é trivial se, e somente se, a álgebra &#922\\&#916 é simplesmente conexa. Na área homológica, determinamos um limitante superior da dimensão global forte das Phias; mais ainda, ampliamos esse resultado para as álgebras sinceras provando que dada uma álgebra sincera e hereditária por partes, sua dimensão global forte é menor ou igual a três. / We present a study of incidence algebras that are piecewise hereditary, which we denominate Phias. By means of the quiver with relations, we describe Phias of Dynkin type and introduce a new family of Phias of extended Dynkin type, which we call ANS family, in reference to Assem, Nehring, and Skowronski. In this description, the important method was the one of cuts on trivial extensions, inspiring the writing of a program that shows exactly the cuts on the given trivial extension that result on incidence algebras. We approach sheaves type Phias &#922\\&#916, studying the canonical sincere &#922\\&#916-module M and the one-point extension algebra &#922\\&#916[&#924]. We show that if &#922Q/I is a sincere, quasi-tilted canonical algebra of quiver type and infinite representation type, then sincere &#922Q/I-modules are exceptional. This conclusion allows the construction of a wide range of Phias &#922\\&#916[&#924] wild type. We explore the simply conectedeness of Phias, proving a positive answer of the so called Skowronski problem for &#922\\&#916 a Phia H type, with connected quiver of tilting objects &#922_D^b (&#919): the group &#919^1(&#922\\&#916) is trivial if, and only if, &#922\\&#916 is a simply connected algebra. On homology, we determine an upper bound for the strong global dimension of Phias; furthermore, we extend this result for sincere algebras proving that the strong global dimension of a sincere piecewise hereditary algebra is less or equal to three.

Apresentamos um estudo das álgebras de incidência que são hereditárias por partes, as quais denominamos Phias, piecewise hereditary incidence algebras. Através da aljava com relações, descrevemos as Phias de tipo Dynkin e introduzimos uma nova família de Phias de tipo Dynkin extendido chamada família ANS, em referência a Assem, Nehring e Skowronski. Nessa descrição, o importante método foi o dos cortes em extensões triviais, os quais inspiraram a elaboração de um programa que concebe exatamente os cortes na extensão trivial dada que resultam em álgebras de incidência. Abordamos as Phias &#922\\&#916 de tipo feixes, estudando o &#922\\&#916-módulo sincero canônico M e a álgebra de extensão por um ponto &#922\\&#916[&#924]. Demonstramos que se &#922Q/I é uma álgebra sincera, quase-inclinada canônica de tipo aljava e tipo de representação infinito, então os &#922Q/I-módulos sinceros são excepcionais. Essa conclusão permite construir uma gama de Phias &#922\\&#916[&#924] de tipo selvagem. Exploramos as Phias simplesmente conexas, provando uma resposta positiva para o problema de Skowronski para &#922\\&#916 uma Phia de tipo H, com grafo de objetos inclinantes &#922_D^b (&#919) conexo: o grupo &#919^1(&#922\\&#916) é trivial se, e somente se, a álgebra &#922\\&#916 é simplesmente conexa. Na área homológica, determinamos um limitante superior da dimensão global forte das Phias; mais ainda, ampliamos esse resultado para as álgebras sinceras provando que dada uma álgebra sincera e hereditária por partes, sua dimensão global forte é menor ou igual a três. / We present a study of incidence algebras that are piecewise hereditary, which we denominate Phias. By means of the quiver with relations, we describe Phias of Dynkin type and introduce a new family of Phias of extended Dynkin type, which we call ANS family, in reference to Assem, Nehring, and Skowronski. In this description, the important method was the one of cuts on trivial extensions, inspiring the writing of a program that shows exactly the cuts on the given trivial extension that result on incidence algebras. We approach sheaves type Phias &#922\\&#916, studying the canonical sincere &#922\\&#916-module M and the one-point extension algebra &#922\\&#916[&#924]. We show that if &#922Q/I is a sincere, quasi-tilted canonical algebra of quiver type and infinite representation type, then sincere &#922Q/I-modules are exceptional. This conclusion allows the construction of a wide range of Phias &#922\\&#916[&#924] wild type. We explore the simply conectedeness of Phias, proving a positive answer of the so called Skowronski problem for &#922\\&#916 a Phia H type, with connected quiver of tilting objects &#922_D^b (&#919): the group &#919^1(&#922\\&#916) is trivial if, and only if, &#922\\&#916 is a simply connected algebra. On homology, we determine an upper bound for the strong global dimension of Phias; furthermore, we extend this result for sincere algebras proving that the strong global dimension of a sincere piecewise hereditary algebra is less or equal to three.

IN THIS dissertation, we use the Laplacian comparison theorem to prove the comparison of volume Bishop-Gromov s theorem, which assures that if the Ricci curvatures of a complete Riemannian manifold are larger than or equal to (n - 1)k, the volume of a ball with center in p and radius R is smaller than or equal to the volume of a geodesic ball with radius R in the space form of sectional constant curvature k, for all p 2 M and R > 0, where k 2 R. Moreover, equality occurs if all sectional curvature throughout geodesics connecting p and x, for plans which contain the radial vector, is constant and equal to k. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / NESTA DISSERTAÇÃO, usamos o teorema de comparação do Laplaciano para demonstrar o teorema de comparação de volume de Bishop-Gromov, o qual assegura que, se as curvaturas de Ricci de uma variedade Riemanniana completa são maiores ou iguais a (n��1)k, k uma constante real, então, para todo p 2 M e para todo R > 0, o volume de uma bola centrada em p e de raio R é menor ou igual que o volume de uma bola geodésica de raio R na forma espacial de curvatura seccional constante k. Ademais, a igualdade ocorre se toda curvatura seccional ao longo de geodésicas ligando p e x, para planos contendo o vetor radial for constante e igual a k.