This thesis deals with the numerical solution of ordinary differential equations (ODEs) using finite difference (FD) methods. In particular, boundary summation equation (BSE) preconditioning for FD approximations for ODEs with constant coefficients on locally refined meshes is studied. Firstly, the BSE for FD approximations of ODEs with constant coefficients is derived on a locally refined mesh. Secondly, the obtained linear system of equations are solved by the iterative method GMRES. Then, the arithmetic complexity and convergence rate of the iterative solution of the BSE formulation are discussed. Finally, numerical experiments are performed to compare the new approach with the FD approach. The results show that the BSE formulation has low arithmetic complexity and the convergence rate of the iterative solvers is fast and independent of the number of grid points.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / No primeiro capÃtulo da dissertaÃÃo, à apresentada uma breve introduÃÃo do trabalho. Em seguida, no segundo capÃtulo, sÃo demonstradas noÃÃes e propriedades de espaÃos vetoriais topolÃgicos. Dando seguimento ao presente estudo, no terceiro capÃtulo, efetua-se a abordagem da teoria das distribuiÃÃes, onde se proporciona, como exemplo a distribuiÃÃo delta de Dirac, na qual, por conseguinte, sÃo definidas ainda operaÃÃes com distribuiÃÃes, entre elas a convoluÃÃo de uma distribuiÃÃo com uma funÃÃo teste, e por fim, ainda no mesmo capitulo à feito uma anÃlise das distribuiÃÃes com suporte compacto. No capÃtulo quatro, por sua vez, explana-se a transformada de Fourier e suas propriedades, bem como, propriedades de funÃÃes que pertencem ao espaÃo de Schwartz e ainda, à feito um estudo das distribuiÃÃes temperadas. Finalmente, no quinto e Ãltimo capÃtulo à demonstrado o teorema de Malgrange-Ehrenpreis, que à a temÃtica principal do trabalho elaborado, o qual afirma que todo operador diferencial com coeficientes constantes tem uma soluÃÃo fundamental. Destarte, à implementado um estudo de alguns exemplos afins ao teorema. / In the first chapter of the dissertation, is a brief introduction. Then in the second chapter, are shown notions and properties of topological vector spaces. Following the present study, the third chapter, is effected the approach to the theory of distributions, which provides, as an example the Dirac delta distribution, in which, therefore, are dened further distribution operations, including the convolution of a distribution with a test function, and finally, still in same chapter an analysis is made of distributions with compact support. In chapter four, in turn, explains to the Fourier transform and its properties, as well as properties of functions belonging to Schwartz space and also a study is made of tempered distributions. Finally, the fifth and final chapter is shown the Malgrange-Ehrenpreis theorem, which is the main theme of the work done,which states that any differential operator with constant coecients has a fundamental solution. Thus, it implemented a study of some examples related to the theorem.

Submitted by Luanna Matias (lua_matias@yahoo.com.br) on 2015-05-15T18:05:08Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Ricardo da Silva Santos - 2015.pdf: 789332 bytes, checksum: 923307ee147a03d1a874647f6dcf4c9e (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luanna Matias (lua_matias@yahoo.com.br) on 2015-05-15T18:08:48Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Ricardo da Silva Santos - 2015.pdf: 789332 bytes, checksum: 923307ee147a03d1a874647f6dcf4c9e (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-15T18:09:06Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Ricardo da Silva Santos - 2015.pdf: 789332 bytes, checksum: 923307ee147a03d1a874647f6dcf4c9e (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2015-03-27 / This work was divided into three chapters , the rst we have some basic de nitions for the study of di erential equations, and basic results as Euler's formula and Wronskian . In the second chapter, we talked about Di erential Equations of First Order Linear, and commenting on PVI, and the Theorem of Existence and Uniqueness for ODEs. In the third and main chapter, we work with resolution methods Di erential Equations. In particular, we present a unnusual in mathematics literature to solve Linear Di erential Equations, which is by Equation Characteristic. / Este trabalho foi dividido em 3 capítulos. No primeiro temos algumas de finições básicas para o estudo de Equações Diferenciais, e resultados básicos como a fórmula de Euler e Wronskiano. No segundo capítulo, falamos sobre Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem, além de comentarmos sobre o que vem a ser Problema do Valor Inicial (PVI), e o Teorema da Existência e Unicidade para EDO's. No terceiro e principal capítulo, trabalhamos com métodos de resolução de uma Equação Diferencial Ordinária Com Coe ficentes Constantes. Em especial, apresenta-mos um método não tão usual na literatura Matemática pra resolver EDOs Lineares, que é através da Derivação da Equação Caraterística.

In this thesis we will investigate how the SBP-SAT finite difference method behave with and without an interface. As model problem, we consider the heat equation with piecewise constant coefficients. The thesis is split in two main parts. In the first part we look at the heat equation in one-dimension, and in the second part we expand the problem to a two-dimensional domain. We show how the SAT-parameters are chosen such that the scheme is dual consistent and stable. Then, we perform numerical experiments, now looking at the static case. In the one-dimensional case we see that the second order SBP-SAT method with an interface converge with an order of two, while the second order SBP-SAT method without an interface converge with an order of one.

Ačkoliv můžeme v literatuře nalézt řadu příkladů prezentujících evoluční návrh jakožto zajímavou a slibnou alternativu k tradičním návrhovým technikám používaným v oblasti číslicových obvodů, praktické nasazení je často problematické zejména v důsledku tzv. problému škálovatelnosti, který se projevuje např. tak, že evoluční algoritmus je schopen poskytovat uspokojivé výsledky pouze pro malé instance řešeného problému. Vážný problém představuje tzv. problém škálovatelnosti evaluace fitness funkce, který je markantní zejména v oblasti syntézy kombinačních obvodů, kde doba potřebná pro ohodnocení kandidátního řešení typicky roste exponenciálně se zvyšujícím se počtem primárních vstupů. Tato disertační práce se zabývá návrhem několika metod umožňujících redukovat problem škálovatelnosti evaluace v oblasti evolučního návrhu a optimalizace číslicových systémů. Cílem je pomocí několika případových studií ukázat, že s využitím vhodných akceleračních technik jsou evoluční techniky schopny automaticky navrhovat inovativní/kompetitivní řešení praktických problémů. Aby bylo možné redukovat problém škálovatelnosti v oblasti evolučního návrhu číslicových filtrů, byl navržen doménově specifický akcelerátor na bázi FPGA. Tato problematika reprezentuje případ, kdy je nutné ohodnotit velké množství trénovacích dat a současně provést mnoho generací. Pomocí navrženého akcelerátoru se podařilo objevit efektivní implementace různých nelineárních obrazových filtrů. S využitím evolučně navržených filtrů byl vytvořen robustní nelineární filtr implusního šumu, který je chráněn užitným vzorem. Navržený filtr vykazuje v porovnání s konvenčními řešeními vysokou kvalitu filtrace a nízkou implementační cenu. Spojením evolučního návrhu a technik známých z oblasti formální verifikace se podařilo vytvořit systém umožňující výrazně redukovat problém škálovatelnosti evoluční syntézy kombinačních obvodů na úrovni hradel. Navržená metoda dovoluje produkovat komplexní a přesto kvalitní řešení, která jsou schopna konkurovat komerčním nástrojům pro logickou syntézu. Navržený algoritmus byl experimentálně ověřen na sadě několika benchmarkových obvodů včetně tzv. obtížně syntetizovatelných obvodů, kde dosahoval v průměru o 25% lepších výsledků než dostupné akademické i komerční nástroje. Poslední doménou, kterou se práce zabývá, je akcelerace evolučního návrhu lineárních systémů. Na příkladu evolučního návrhu násobiček s vícenásobnými konstantními koeficienty bylo ukázáno, že čas potřebný k evaluaci kandidátního řešení lze výrazně redukovat (defacto na ohodocení jediného testovacího vektoru), je-li brán v potaz charakter řešeného problému (v tomto případě linearita).

Sequences often occur in many branches of applied mathematics. Recurrence relation is a powerful tool to characterize and study sequences. Some commonly used methods for solving recurrence relations will be investigated. Many examples with applications in algorithm, combination, algebra, analysis, probability, etc, will be discussed. Finally, some well-known contest problems related to recurrence relations will be addressed.