Dans cette thèse, nous étudions la synchronisation, qui est un phénomène bien répandu dans la nature. Elle a été observée pour la première fois par Huygens en 1665. En se basant sur les résultats de la contrôlabilité frontière exacte, pour un système couplé d’équations des ondes avec des contrôles frontières de Neumann, nous considérons la synchronisation frontière exacte (par groupes), ainsi que la détermination de l’état de synchronisation. Ensuite, nous considérons la contrôlabilité exacte et la synchronisation exacte (par groupes) pour le système couplé avec des contrôles frontières couplés de Robin. A cause du manque de régularité de la solution, nous rencontrons beaucoup plus de difficultés. Afin de surmonter ces difficultés, on obtient un résultat sur la trace de la solution faible du problème de Robin grâce aux résultats de régularité optimale de Lasiecka-Triggiani sur le problème de Neumann. Ceci nous a permis d’établir la contrôlabilité exacte, et, par la méthode de la perturbation compacte, la non-contrôlabilité exacte du système. De plus, nous allons étudier la détermination de l’état de synchronisation, ainsi que la nécessité des conditions de compatibilité des matrices de couplage. / This thesis studies the widespread natural phenomenon of synchronization, which was first observed by Huygens en 1665. On the basis of the results on the exact boundary controllability, for a coupled system of wave equations with Neumann boundary controls, we consider its exact boundary synchronization (by groups), as well as the determination of the state of synchronization. Then, we consider the exact boundary controllability and the exact boundary synchronization (by groups) for the coupled system with coupled Robin boundary controls. Due to difficulties from the lack of regularity of the solution, we have to face a bigger challenge. In order to overcome this difficulty, we take advantage of the regularity results for the mixed problem with Neumann boundary conditions (Lasiecka and Triggiani) to discuss the exact boundary controllability, and by the method of compact perturbation, to obtain the non-exact controllability for the system.

Le sujet de la thèse porte sur l'étude (existence, unicité, régularité) et le contrôle de problèmes fluide-structure possédant des conditions limites sur la pression. Le système étudié couple une partie fluide, décrite par les équations de Navier-Stokes incompressibles dans un domaine 2D et une partie structure, décrite par une équation 1D de poutre amortie située sur une partie du bord du domaine fluide. Dans le Chapitre 2, on étudie l'existence de solutions fortes pour ce modèle. Nous démontrons des résultats de régularité optimale pour le système de Stokes avec conditions de bord mixtes sur un domaine non régulier. Ces résultats sont ensuite utilisés pour prouver l'existence et l'unicité de solutions fortes, locales en temps, pour le système fluide-structure sans hypothèse de petitesse sur les données initiales. Le Chapitre 3 réutilise l'analyse précédente dans le cadre de solutions périodiques en temps. Nous développons un critère d'existence de solutions périodiques pour un problème parabolique abstrait. Ce critère est ensuite appliqué au système fluide-structure et nous obtenons l'existence de solutions strictes, périodiques et régulières en temps, pour des termes sources périodiques suffisamment petits. Le quatrième volet de la thèse porte sur la stabilisation du système fluide-structure au voisinage d'une solution périodique. Le système linéarisé sous-jacent est décrit à l'aide d'un opérateur A(t) dont le domaine dépend du temps. Nous démontrons l'existence d'un opérateur parabolique d'évolution pour ce système linéaire. Cet opérateur est ensuite utilisé, dans le cadre de la théorie de Floquet, pour étudier le comportement asymptotique du système. Nous adaptons la théorie existante pour des opérateurs à domaine constant au cas de domaine non constant. Nous obtenons la stabilisation exponentielle du système linéaire à l'aide d'un contrôle sur la frontière du domaine fluide. / In this thesis we study the well-posedness (existence, uniqueness, regularity) and the control of fluid-structure system with boundary conditions involving the pressure. The fluid part of the system is described by the incompressible Navier- Stokes equations in a 2D rectangular type domain coupled with a 1D damped beam equation localised on a boundary part of the fluid domain. In Chapter 2 we investigate the existence of strong solutions for this model. We prove optimal regularity results for the Stokes system with mixed boundary conditions in non-regular domains. These results are then used to obtain the local-in-time existence and uniqueness of strong solutions for the fluid-structure system without smallness assumption on the initial data. Chapter 3 uses the previous analysis in the framework of periodic (in time) solutions. We develop a criteria for the existence of periodic solutions for an abstract parabolic system. This criteria is then used on the fluid- structure system to prove the existence of a periodic and regular in time strict solution, provided that the periodic source terms are small enough. In Chapter 4 we study the stabilisation of the fluid-structure system in a neighbourhood of a periodic solution. The underlying linear system involves an operator A(t) with a domain which depends on time. We prove the existence of a parabolic evolution operator for this linear system. This operator is then used to apply the Floquet theory and to describe the asymptotic behaviour of the system. We adapt the known results for an operator with constant domain to the case of operators with non constant domain. We obtain the exponential stabilisation of the linear system with control acting on a part of the boundary of the fluid domain.

Ce travail traite du contrôle des systèmes décrits par des Equations aux Dérivés Partielles. La structure de Commande par Modèle Interne est étendue aux systèmes hyperboliques de dimension infinie, à contrôle frontière. Les EDP considérées sont celles de Saint-Venant, non linéaires, décrivant les écoulements à surface libre. <br />Le modèle utilisé est une linéarisation autour d'un écoulement permanent dont les coefficients dépendent de la variable d'espace. Les pentes et frottements sont non nuls, prenant en compte les phénomènes variables le long du canal. <br />L'analyse et la synthèse du contrôle sont réalisées en considérant le système en boucle fermée comme une perturbation de celui en boucle ouverte. Les perturbations portent sur les opérateurs, les semigroupes et le spectre dans un espace de Hilbert. L'opérateur hyperbolique Ae(x)dx+ Be(x) est caractérisé explicitement sans transformation préalable, en dimension une d'espace, où Ae(x) et Be(x) sont bornés. <br />Pour la synthèse de commande, une structure de contrôle frontière par modèle interne est utilisée, après avoir été ramené sous forme Kalmanienne abstraite. L'analyse de la stabilité en boucle fermée, par la théorie de la perturbation en dimension infinie, permet de donner des conditions suffisantes sur les paramètres de synthèse d'une loi de commande du type intégral et/ou proportionnel. <br />Les résultats en simulation et expérimentaux sur le canal de Valence montrent la faisabilité de l'approche. Elle est testée dans le cas monobief et multibiefs.

L'objet de cette thèse est l'étude de la stabilisation de modèles d'interaction fluide-structure par des contrôles de dimension finie agissant sur la frontière du domaine fluide. L'écoulement du fluide est décrit par les équations de Navier-Stokes incompressibles tandis que l'évolution de la structure, située à la frontière du domaine fluide, satisfait une équation d'Euler-Bernoulli avec amortissement. Dans le chapitre 1, nous étudions le cas où le contrôle est une condition aux limites de Dirichlet sur les équations du fluide (contrôle par soufflage/aspiration). Nous obtenons des résultats de stabilisation locale du système non-linéaire autour d'une solution stationnaire instable de ce système. Dans les chapitres 2 et 3, nous nous intéressons au cas où le contrôle est une force appliquée sur la structure (contrôle par déformation de paroi). Dans le chapitre 2, nous considérons un modèle simplifié, où l'équation d'Euler-Bernoulli pour la structure est remplacée par un système de dimension finie. Nous construisons des lois de contrôle pour les systèmes de dimension infinie, ou pour leurs approximations semi-discrètes, capables de stabiliser les systèmes linéarisés avec un taux de décroissance exponentielle prescrit, et localement les systèmes non-linéaires. Nous présenterons des résultats numériques permettant de vérifier l'efficacité de ces lois de contrôles. / The aim of this thesis is to study the stabilization of fluid-structure interaction models by finite dimensional controls acting at the boundary of the fluid domain. The fluid flow is described by the incompressible Navier-Stokes equations while the displacement of the structure, localized at the boundary of the fluid domain, satisfies a damped Euler-Bernoulli beam equation. First, we study the case where the control is a Dirichlet boundary condition in the fluid equations (control by suction/blowing). We obtain local feedback stabilization results around an unstable stationary solution of this system. Chapters 2 and 3 are devoted to the case where control is a force applied to the structure (control by boundary deformation). We consider, in chapter 2, a simplified model where the Euler-Bernoulli equation for the structure is replaced by a system of finite dimension. We construct feedback control laws for the infinite dimensional systems, or for their semi-discrete approximations, able to stabilize the linearized systems with a prescribed exponential decay rate, and locally the nonlinear systems. We present some numerical results showing the efficiency of the feedback laws.

Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation de certains systèmes distribués avec contrôle frontière de type dynamique. Nous considérons, d’abord, la stabilisation de l’équation de la poutre de Rayleigh avec un seul contrôle frontière dynamique moment ou force. Nous montrons que le système n’est pas uniformément (autrement dit exponentiellement) stable; mais par une méthode spectrale, nous établissons le taux polynomial optimal de décroissance de l’énergie du système. Ensuite, nous étudions la stabilisation indirecte de l’équation des ondes avec un amortissement frontière de type dynamique fractionnel. Nous montrons que le taux de décroissance de l’énergie dépend de la nature géométrique du domaine. En utilisant la méthode fréquentielle et une méthode spectrale, nous montrons la non stabilité exponentielle et nous établissons, plusieurs résultats de stabilité polynomiale. Enfin, nous considérons l’approximation de l’équation des ondes mono-dimensionnelle avec un seul amortissement frontière de type dynamique par un schéma de différence finie. Par une méthode spectrale, nous montrons que l’énergie discrétisée ne décroit pas uniformément (par rapport au pas du maillage) polynomialement vers zéro comme l’énergie du système continu. Nous introduisons, alors, un terme de viscosité numérique et nous montrons la décroissance polynomiale uniforme de l’énergie de notre schéma discret avec ce terme de viscosité. / This thesis is devoted to the study of the stabilization of some distributed systems with dynamic boundary control. First, we consider the stabilization of the Rayleigh beam equation with only one dynamic boundary control moment or force. We show that the system is not uniformly (exponentially) stable. However, using a spectral method, we establish the optimal polynomial decay rate of the energy of the system. Next, we study the indirect stability of the wave equation with a fractional dynamic boundary control. We show that the decay rate of the energy depends on the nature of the geometry of the domain. Using a frequency approach and a spectral method, we show the non exponential stability of the system and we establish, different polynomial stability results. Finally, we consider the finite difference space discretization of the 1-d wave equation with dynamic boundary control. First, using a spectral approach, we show that the polynomial decay of the discretized energy is not uniform with respect to the mesh size, as the energy of the continuous system. Next, we introduce a viscosity term and we establish the uniform (with respect to the mesh size) polynomial energy decay of our discrete scheme.