Cette thèse s'insère dans un projet plus vaste, dont le but est de s'attaquer aux fondements mathématiques du problème inverse en contrôle optimal afin de dégager une méthodologie générale utilisable en neurophysiologie. Les deux questions essentielles sont : (a) l'unicité d'un coût pour une synthèse optimale donnée (injectivité); (b) la reconstruction du coût à partir de la synthèse. Pour des classes de coût générales, le problème apparaît très difficile même avec une dynamique triviale. On a donc attaqué l'injectivité pour des classes de problèmes spéciales : avec un coût quadratique, la dynamique étant soit non-holonome, soit affine en le contrôle. Les résultats obtenus ont permis de traiter la reconstruction pour le problème linéaire-quadratique. / This PhD thesis is part of a larger project, whose aim is to address the mathematical foundations of the inverse problem in optimal control in order to reach a general methodology usable in neurophysiology. The two key questions are : (a) the uniqueness of a cost for a given optimal synthesis (injectivity) ; (b) the reconstruction of the cost from the synthesis. For general classes of costs, the problem seems very difficult even with a trivial dynamics. Therefore, the injectivity question was treated for special classes of problems, namely, the problems with quadratic cost and a dynamics, which is either non-holonomic (sub-Riemannian geometry) or control-affine. Based on the obtained results, we propose a reconstruction algorithm for the linear-quadratic problem.

Cette thèse est réalisée dans le cadre d'un contrat CIFRE avec le centre technique FCBA. Elle pour objet d'élaborer une modélisation économique de la filière bois en France centrée sur la première transformation, par un travail théorique complété par une dimension de recherche appliquée.Nous avons pu bénéficier d'une importante base de données individuelles, dont nous avons tiré une analyse statistique des acteurs de la première transformation de la filière bois entre 1994 et 2004. Nous avons complété cette analyse par une étude économétrique sur l'estimation des structures de production des scieries afin d'évaluer la substituabilité des facteurs de production. Les résultats statistiques montrent l'hétérogénéité de la filière, et la nécessité d'une modélisation afin de mieux comprendre les comportements et d'évaluer les impacts d'éventuels chocs. Le modèle, validé par un comité de pilotage, a été calibré par les données individuelles et différents chocs, notemment la montée en puissance du bois énergie, ont pu être testés.Enfin, le dernier chapitre de la thèse se concentre sur l'arbitrage entre les utilisations proprement dite de bioénergies renouvelables comme le bois et d'énergie non renouvelable comme par exemple le gaz. De nombreuses études s'intéressent à l'arbitrage entre les énergies épuisables et non épuisables, mais le cas de l'énergie issue de la forêt est particulier, car elle peut tout à fait être détruite aussi bien qu'être gérée et donc se renouveler, mais cela impose des contraintes supplémentaires. Nous étudions alors les trajectoires optimales afin de comprendre les impacts d'éventuelles taxes ou subventions sur l'utilisation de ces ressources. / Cette thèse est réalisée dans le cadre d'un contrat CIFRE avec le centre technique FCBA. Elle pour objet d'élaborer une modélisation économique de la filière bois en France centrée sur la première transformation, par un travail théorique complété par une dimension de recherche appliquée.Nous avons pu bénéficier d'une importante base de données individuelles, dont nous avons tiré une analyse statistique des acteurs de la première transformation de la filière bois entre 1994 et 2004. Nous avons complété cette analyse par une étude économétrique sur l'estimation des structures de production des scieries afin d'évaluer la substituabilité des facteurs de production. Les résultats statistiques montrent l'hétérogénéité de la filière, et la nécessité d'une modélisation afin de mieux comprendre les comportements et d'évaluer les impacts d'éventuels chocs. Le modèle, validé par un comité de pilotage, a été calibré par les données individuelles et différents chocs, notemment la montée en puissance du bois énergie, ont pu être testés.Enfin, le dernier chapitre de la thèse se concentre sur l'arbitrage entre les utilisations proprement dite de bioénergies renouvelables comme le bois et d'énergie non renouvelable comme par exemple le gaz. De nombreuses études s'intéressent à l'arbitrage entre les énergies épuisables et non épuisables, mais le cas de l'énergie issue de la forêt est particulier, car elle peut tout à fait être détruite aussi bien qu'être gérée et donc se renouveler, mais cela impose des contraintes supplémentaires. Nous étudions alors les trajectoires optimales afin de comprendre les impacts d'éventuelles taxes ou subventions sur l'utilisation de ces ressources.

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Les organismes vivants puisent leurs ressources de l'environnement pour les allouer aux différentes fonctions biologiques assurant leur développement (croissance, survie, reproduction). La quantité de ressources disponibles dans un environnement étant limitante, les individus doivent faire des compromis lors de l'allocation de ces ressources à leurs différentes fonctions biologiques. Ces compromis contraignent le développement des individus et entraînent d'autres compromis entre leurs traits d'histoire de vie (âge et taille à maturité, nombre de descendants), conditionnant ainsi leurs capacités d'adaptation à l'environnement. Au cours de cette thèse, nous avons étudié par modélisation les stratégies d'allocation des ressources entre la croissance intra-hôte et la production de spores au cours d'une infection par un unique génotype pathogène et déterminé les stratégies optimales dans différentes conditions écologiques. Si le pathogène a un accès limité aux ressources de l'hôte, la stratégie optimale est toujours Bang-bang. Si au contraire l'accès aux ressources de l'hôte est illimité, la stratégie optimale est toujours Bang-mixte. Dans un deuxième volet de ces travaux, des éléments de validation empirique de ces modèles ont été recherchés au travers d'expérimentations menés sur un champignon pathogène nécrotrophe, Magnaporthe oryzae, présentant un accès limité aux ressources de l'hôte et sur un champignon biotrophe, Melampsora larici-populina dont l'accès aux ressources de l'hôte semble plutôt illimité. Les observations réalisées sont en adéquation avec les prédictions théoriques et confirment la pertinence des hypothèses et de la démarche de modélisation / Living organisms extract resources from their environment and invest them toward various biological functions (growth, survival, reproduction). Available resources in an environment are usually limited so that organisms have to trade-off the resources invested in different biological functions. These trade-offs in resource investment reverberate in trade-offs between life-history traits (age and size at maturity, number of offspring) and determine pathogen potential to adapt to their environment.During this work, we have studied resource allocation strategy during infection caused by spore-producing pathogen. We have determined optimal resource allocation strategies between intra-host multiplication and spore production in different ecological settings. The main result of this work is that the optimal strategy is defined by the existence of a latent period, a period of time during which all extracted resources are investing toward within-host multiplication and no spore is produced. After latency, when the pathogen has a limited access to host resources, consumed resources are invested toward spore production only (Bang-bang strategy). On the contrary, when the pathogen has an unlimited access to host resources, a fixed proportion of host resources are invested toward maintenance of within-host multiplication forms (Bang-mixte strategy). A second part of this work presents empirical test of these theoretical assumptions, through experimentations on Magnaporthe oryzae and on Melampsora larici-populina. Our observations on these pathogens seem to agree with our theoretical predictions and corroborate the relevance of our modelling assumptions and approach

L’objectif de cette thèse est d’appliquer la théorie du contrôle optimal à la dynamique d’ensembles inhomogènes de spins. La première partie est dévouée au contrôle d’un ensemble de spins couplé à une cavité. La théorie est introduite en détail, et une méthode générale pour contrôler efficacement les spins est présentée. Plusieurs pulses sont déterminés dans les régimes de bonne et de mauvaise cavité. De même, les fonctions non linéaires généralisées sont utilisées afin de déterminer des approximations simples. Dans un second temps, le problème de la maximisation du Signal-sur-Bruit d’un écho de spin est abordé, et des conditions d’optimisations sont établies. Il est montré que les nouveaux pulses sont supérieurs à ceux de l’état de l’art, en termes de fidélité et d’augmentation du Signal-sur-Bruit. Par ailleurs, ils permettent d’explorer de nouvelles situations (e.g. mesure de FID (Free Induction Decay) en CQED avec un taux de perte de cavité plus long que T2∗). La seconde partie est dévouée à des problèmes de RMN/IRM standard. Deux situations de "sélectivité" sont étudiées. La première consiste à déterminer le pulse le plus court qui produit la transformation la plus sélective par rapport aux offsets. Dans le cas ultra-sélectif, la solution optimale est un arc singulier d’amplitude constante. Cependant, si des contraintes de robustesse sont ajoutées, la solution optimale peut-être un arc régulier. La seconde est celle de l’optimisation de base de données pour des expériences de MR-fingerprinting. Dans ce cas, un champ de contrôle est conçu pour générer une base de données "d’empreinte digitale" qui maximise le processus de reconnaissance entre spins de paramètres différents. / The goal of this thesis is to apply optimal control theory to the dynamics ofinhomogeneous spin ensembles. The first part focuses on the control of a spin ensemble coupled to a cavity. The theory is introduced in detail, and a general method to efficiently control spins ispresented. Several pulses are derived in the bad/good cavity regimes using numerical optimal control techniques. Additionally, non-linear generalized functions are used in order to derivesimple approximated solutions. In a second step, the problem of spin echo Signal to Noise Ratio maximization is investigated, and maximization conditions are derived. It is shown that new pulses are superior to state-of-the-art square pulses in terms of fidelity and SNR maximization. Moreover, they allow us to explore new situations (e.g. Free Induction Decay measurementsin cavity-QED with a cavity damping longer than T2∗). The second part focuses on standard NMR/MRI problems. Two distinct situations of selectivity are investigated. The first one consists of determining the time minimum pulse which produces the most offset-selective transformation. In the ultra-selectivity case, the optimal solution is a singular arc of constant amplitude. However,if additional robustness constraints are taken into account, the optimal solution can be a regular arc. The second situation is the optimization of databases for MR-fingerprinting experiments. In this case, a control field is designed so that it generates a fingerprint database which maximizesthe recognition process between several spins with different parameters.

Cette thèse s'intéresse à une étude des EDSR ergodiques, avec pour principal objectif leur application à l'étude du comportement en temps long de certaines EDP. Dans un premier temps, nous démontrons des résultats (qui sont déjà connus dans le cadre où l'EDS sous-jacente est à bruit additif) dans un cadre de bruit sous-jacent multiplicatif. Par la suite, l'introduction d'un nouvel aléa via un processus de Poisson nous permet de nous intéresser non plus au comportement en temps long d'une seule EDP, mais au comportement en temps long d'un système d'EDP couplées. Enfin, lorsque l'EDS sous-jacente est bruitée par un processus de Lévy, le lien est fait avec des équations intégro-différentielles partielles. L'application de ces équations à la résolution de problèmes de contrôle optimal est également présentée. / In this thesis, we are interested in studying ergodic BSDEs, and our main goal is to apply our results to the large time behaviour of some PDEs. First, we prove some results (already known in the case where the underlying SDE has an additive noise) in the case of an underlying multiplicative noise. Then, we introduce a Poisson process and it leads us to the large time behaviour of a system of coupled PDEs. Finally, when the underlying SDE has a Lévy noise, we make a link with partial integro-differential equations. We also apply these equations to solve some optimal control problems.

L’objectif principal de ce travail est l’étude de la planification de trajectoires pour des drones de type HALE ou MALE. Les modèles cinématiques de ces drones sont étudiés. Les drones HALE sont modélisés par le système de Dubins. Pour les drones MALE, le modèle est construit en étudiant le repère cinématique du drone. Nous considérons les problèmes de planification de trajectoires point-point et point-pattern. Il s’agit, à partir de la position courante du drone, de rejoindre un point ou une figure prédéfinie dans l’espace. La planification point-point est abordée sous forme d’un problème de contrôle optimal. Deux méthodes sont proposées pour résoudre le problème point-pattern. D’abord nous présentons la synthèse en temps minimal pour le système de Dubins. Ensuite, nous développons une méthode basée sur le principe de LaSalle. La première méthode est utilisée au sein d’un algorithme de planification pour des drones HALE. La deuxième permet de stabiliser les deux types de drones considérés vers un pattern. Nous proposons une extension des algorithmes de planification développés, basée sur une discrétisation del’espace grâce aux graphes de Voronoï et une méthode de planification discrète, pour construire des trajectoiresdans des milieux encombrés. Nous étudions également le problème de couplage drone/capteur. Il s’agit de calculer une trajectoire permettant de satisfaire les objectifs du drone et de son capteur (une caméra). L’algorithme proposé est construit à partir de la résolution d’un problème quadratique sous contraintes.Dans une seconde partie, nous analysons un problème de contrôle optimal inverse. Celui-ci permet d’améliorer les résultats des méthodes de planification en s’inspirant du comportement des pilotes. Après avoir posé le problème, les résultats théoriques sont exposés et le cas particulier du système de Dubins est étudié en pratique. / This thesis is about path planning for HALE or MALE UAVs (Unmanned Aircraft Vehicles), possibly under mission constraints. As such, the study is performed at the kinematic level : HALE UAVs are represented as Dubins systems, and a model for MALE UAVs is constructed by studying their kinematic frame. In the first part, we tackle the path planning problem for a UAV that must join a target (a point or a pattern), starting from any position. The point to point path planning problem is addressed as an optimal control problem. Regarding the point to pattern path planning problem, two different methods are proposed. The former consists in solving the minimum time synthesis for the Dubins system, in order to obtain a basis for a HALE UAVs planning algorithm. The latter method relies on the LaSalle principle ; it permits to stabilize a HALE or MALE UAV to a pattern.In addition, extensions of the previously developed algorithms to cluttered environnement are provided. This extension is achieved thanks to a space discretization using Voronoi diagrams and a discrete planning method. Finally, the mission constraints are dealt with as a coupling problem between the UAV and its sensors. The proposed algorithm is presented in the form of a constrained quadratic problem.In the second part of this thesis, we want to refine the planning algorithm to get a result closer to trajectories of pilots. In order to do that, we solve an inverse optimal control problem where the cost to find is computed from the experience of pilots. Theoretical results are presented and applied to the particular case of the Dubins system.

Cette thèse étudie les effets du risque sur l'investissement dans le capital humain. Le chapitre 1 présente les contributions les plus significatives en économie de l'éducation qui placent l'étude de l'accumulation du capital humain dans un contexte d'incertitude. De notre analyse ressort l'importance de différencier les sources d'incertitude car elles peuvent avoir un effet contradictoire. C'est pourquoi, nous développons dans le chapitre 2 un modèle dynamique et stochastique dans lequel plusieurs sources d'incertitude sont prises en compte, concernant à la fois le processus d'accumulation du capital humain et le marché du travail. Nous montrons que l'effet global des différents risques est négatif, sauf pour ceux compensés par un excès de rendement. L'incapacité du modèle à faire apparaître l'éducation comme une protection face au risque, nous conduit dans le chapitre 3, à construire un modèle de décision dans lequel le système de formation produit à la fois des compétences productives (hypothèse de capital humain) mais aussi de l'information sur la véritable productivité des individus (hypothèse de signal). L'éducation apparaît alors comme une stratégie optimale de protection face aux risques, en particulier face au risque de chômage futur. Dans le chapitre 4, la discussion autour des principales contributions économétriques éclaire les difficultés à mesurer empiriquement le risque ; principalement différencier le risque de l'hétérogénéité non observée dans la variance observée des rendements éducatifs. Partant de notre modèle théorique, nous proposons alors les bases d'une stratégie d'estimation permettant d'identifier le sens de la relation éducation-risque.

Euler et Lagrange ont prouvé l'existence de cinq points d'équilibre dans le problème restreint des trois corps, c'est-à-dire le mouvement d'un corps de masse négligeable dans le champ gravitationnel de deux autres corps de masse beaucoup plus importante. Ces points d'équilibre sont appelés points de Lagrange et sont communément notés L1 , ..., L5. Autour de ces points d'équilibre, on peut prouver l'existence d'orbites périodiques, appelées orbites de halo, qui offrent des propriétés vraiment intéressantes tant pour l'exploration spatiale que pour l'observation (la sonde d'observation du Soleil SOHO est située sur une orbite de halo autour du point L1 ). Ces orbites pourraient même servir de site à une future station spatiale (autour de L1 du système Terre-Lune) ou être utilisées comme site pour relayer des transmissions (un satellite orbitant autour de L2 du système Terre-Lune permettrait une communication permanente avec la face cachée de la Lune). Depuis ces orbites de halo, se propagent des variétés invariantes, sorte de tubes, qui créent dans l'espace un réseau entre différentes régions de capture et dans lequel les trajectoires calculées ont un coût énergétique faible. Ceci permet de calculer des missions d'exploration interplanétaire à bas coût d'où l'intérêt croissant du domaine aérospatial pour les trajectoires autour des points de Lagrange.