Ce travail de thèse porte sur l’étude de la propagation d’ondes de volume et d’ondes de surface dans des cristauxphononiques granulaires en régime linéaire. Différents aspects sont développés dans ce manuscrit. L’effet de la prise encompte des degrés de liberté en rotation des particules sur la structure de bande de différents cristaux phononiquesgranulaires est étudié. En effet, l’introduction de ces degrés de liberté additionnels rend possible l’existence de modes derotation qui interagissent fortement avec les modes transverses. Ce travail s’intéresse aussi à l’existence d’ondeslocalisées et d’ondes de surface dans des cristaux phononiques granulaires et en particulier à la comparaison des théoriesdéveloppées avec les prédictions de la théorie de Cosserat. Dans un premier temps, l’étude d’une chaîne phononique granulaire monoatomique est présentée. En considérant lachaîne semi-infinie avec une condition aux limites appliquée à son extrémité, le modèle analytique démontre l’existence demodes localisés, chaque mode étant composé de deux modes évanescents. Ensuite, une description théorique des modes se propageant dans un cristal phononique granulaire en deux dimensions est présentée. Les particules possèdent trois degrés de liberté, deux en translation et un en rotation. L’analyse des interactions entre ondes de translation et ondes de rotation permet de mettre en évidence une grande richesse de structure de bandes ainsi que des phénomènes particuliers (bandes interdites complètes, cône de Dirac, modes non-monotones, phénomène de double réfraction). Dans un dernier temps, une analyse de l’existence d’ondes de Rayleigh et de cisaillement horizontal dans un cristal phononique granulaire en trois dimensions est effectuée. Les limites de la théorie de Cosserat dans la description d’ondes acoustiques de surface dans les milieux micro- et nano-inhomogènes sont établies. / This work is devoted to the analysis of propagating and surface acoustic waves in granular phononic crystals in thelinear regime. First, the propagation and localization of transversal-rotational waves in a two-dimensional granularchain of equal masses are analyzed. By considering the semi-infinite chain with a boundary condition applied at itsbeginning, the analytical study demonstrates the existence of localized modes, each mode composed of two evanescentmodes. Secondly, the phononic properties of a two-dimensional discrete phononic crystal, made of circular cross-section, infinitely long contacting elastic cylinders arranged on a simple cubic lattice, are described analytically. The theoretical analysis provides a clear physical explanation for the existence of a zero-group velocity point of the lowest-energy acoustic mode in particular directions of the phononic crystal and demonstrates the birefraction phenomenon. Finally, the existence of surfaces elastic waves at mechanically free surface of granular phononic crystals is presented. Depending on the degrees of freedom of the particles, different types of surface waves exist in the structure. First, Rayleigh type surface waves aredemonstrated in a granular phononic crystal with particles possessing two translational and one rotational degrees offreedom; and secondly, shear-horizontal surface waves are studied in a granular phononic crystal with particlespossessing two rotational and one translational degrees of freedom. A comparison with surface waves predicted by theCosserat theories is made in order to establish the limitations of the Cosserat theories.

Tato práce se zabývá výpočtovými simulacemi zkoušek jednoosým tahem a tříbodovým ohybem kompozitního vzorku složeného z elastomerové matrice a ocelových výztužných vláken orientovaných pod různými úhly, jakož i jejich experimentální verifikací. Simulace byly provedeny pomocí dvou různých modelů - bimateriálového a unimateriálového výpočtového modelu. Při použití bimateriálového modelu, který detailně zohledňuje strukturu kompozitu, tzn. pracuje s matricí a jednotlivými vlákny, je zapotřebí vytvořit model každého vlákna obsaženého v kompozitu, což přináší řadu nevýhod (pracná tvorba výpočtového modelu, řádově větší množství elementů potřebných k diskretizaci v MKP systémech a delší výpočetní časy). Na druhé straně v unimateriálovém modelu se nerozlišují jednotlivá vlákna, pracuje se pouze s kompozitem jako celkem tvořeným homogenním materiálem a výztužný účinek vláken je zahrnut v měrné deformační energii. Porovnání experimentů se simulacemi ukázalo, že bimateriálový model je v dobré shodě s experimenty, na rozdíl od unimateriálového modelu, který je schopen poskytnou odpovídající výsledky pouze v případě tahového namáhání. Z tohoto důvodu byl hledán způsob, který by umožnil rozšířit unimateriálový model o ohybovou tuhost výztužných vláken. V roce 2007 Spencer a Soldatos publikovali rozšířený unimateriálový model, který je schopen pracovat nejen s tahovou, ale i ohybovou tuhostí vlákna. Představený obecný model je však založen na Cosseratově teorii kontinua a jeho praktické využití je pro jeho složitost nemožné. Proto byl vytvořen zjednodušený model (částečně podle Spencera a Soldatose) s vlastní navrženou formou měrné deformační energie. Za účelem ověření nového unimateriálového modelu s ohybovou tuhostí vláken byly odvozeny všechny potřebné rovnice a byl napsán vlastní konečno-prvkový řešič. Tento řešič je založen na Cosseratově teorii kontinua a obsahuje zmíněný anizotropní hyperelastický unimateriálový model zahrnující ohybovou tuhost vláken. Vzhledem k tomu, že v případě Cosseratovy teorie jsou při výpočtu potřebné i druhé derivace posuvů, bylo nutné použít tzv. C1 prvky, které mají spojité jak pole posuvů, tak jejich prvních derivací. Nakonec byly provedeny nové simulace s využitím vlastního řešiče, které ukazují, že tuhost vláken lze u nového unimateriálového modelu řídit odpovídající materiálovou konstantou. V závěru práce je pak diskutováno, zda je nový unimateriálový model s ohybovou tuhostí schopen poskytnout stejné výsledky jako model bimateriálový, a to jak při tahovém tak i ohybovém namáhání kompozitního vzorku.

Le travail présenté dans cette thèse est consacré à la modélisation de la dynamique de locomotion des "soft robots", i.e. les systèmes multi-corps mobiles compliants. Ces compliances peuvent être localisées et considérées comme des liaisons passives du système,ou bien introduites par des flexibilités distribuées le long des corps. La dynamique de ces systèmes est modélisée en adoptant une approche Lagrangienne basée sur les outils mathématiques développés par l’école américaine de mécanique géométrique. Du point de vue algorithmique, le calcul de ces modèles dynamiques s’appuie sur un algorithme récursif et efficace de type Newton-Euler, ici étendu aux robots locomoteurs munis d’organes compliants. Poursuivant des objectifs de commande et de simulation rapide pour la robotique, l’algorithme proposé est capable de résoudre la dynamique externe directe ainsi que la dynamique inverse des couples internes. Afin de mettre en pratique l’ensemble de ces outils de modélisation, nous avons pris le vol battant des insectes comme exemple illustratif. Les équations non-linéaires qui régissent les déformations passives de l’aile sont établies en appliquant deux méthodes différentes. La première consiste à séparer le mouvement de l’aile en une composante rigide dite de "repère flottant" et une composante de déformation. Cette dernière est paramétrée dans le repère flottant par la méthode des modes supposés ici appliquée à l’aile vue comme une poutre d’Euler-Bernoulli soumise à la flexion et à la torsion. Quant à la seconde approche, les mouvements de l’aile n’y sont pas séparés mais directement paramétrés par les transformations finies rigides et absolues d’une poutre Cosserat. Cette approche est dite Galiléenne ou "géométriquement exacte" en raison du fait qu’elle ne requiert aucune approximation en dehors des inévitables discrétisations spatiale et temporelle imposées parla résolution numérique de la dynamique du vol. Dans les deux cas,les forces aérodynamiques sont prises en compte via un modèle analytique simplifié de type Dickinson. Les modèles et algorithmes résultants sont appliqués à la conception d’un simulateur du vol, ainsi qu’à la conception d’un prototype d’aile, dans le contexte du projet coopératif (ANR) EVA. / The objective of the present work is to model the locomotion dynamics of "soft robots", i.e. compliant mobile multi-body systems. These compliances can be either localized and treated as passive joints of the system, or introduced by distributed flexibilities along the bodies. The dynamics of these systems is modeled in a Lagrangian approach based on the mathematical tools developed by the American school of geometric mechanics. From the algorithmic viewpoint, the computation of these dynamic models is based on a recursive and efficient Newton-Euler algorithm which is extended here to the case of robots equipped with compliant organs. The proposed algorithm is compatible with control, fast simulation and real time robotic applications. It is able to solve the direct external dynamics as well as the inverse internal torque dynamics. The modeling tools and algorithms developed in this thesis are applied to one of the most advanced cases of compliante locomotion i.e. the flapping flight MAVs bio-inspired by insects. The nonlinear equations governing the passive deformations of the wing are derived using two different methods. In the first method, we separate the wing movement into a rigid component (which corresponds to the movements of a "floating frame"), and a deformation component. The latter one is parameterized in the floating frame using the assumed modes approach where the wing is considered as an Euler-Bernoulli beam undergoing flexion and torsion deformations. Regarding the second method, the wing movements are no longer separated but directly parameterize dusing rigid finite absolute transformations of a Cosserat beam. This method is called Galilean or "geometrically exact" because it does not require any approximation apart from the unavoidable spatial and temporal discretizations imposed by numerical resolution of the flight dynamics. In both cases, the aerodynamic forces are taken into account through a simplified analytical model. The resulting models and algorithms are used in the context of the collaborative project (ANR) EVA to develop a flight simulator, and to design wing prototype.

La première partie du mémoire est consacrée à une étude bibliographique. Après un rapide aperçu historique des travaux portant sur les milieux à microstructure, une étude de la théorie des matériaux simples de W. Noll est présentée, ainsi qu'un exposé des travaux de G. Capriz sur les matériaux à microstructure. On introduit ensuite les notions d'univers d'observation "profond", de microplacement et de macroplacement dans cet univers d'un ensemble de particules. Les propriétés de ces placements conditionnent les définitions des milieux monoparticulaires, multiparticulaires, multiconstituants ou multiphasiques que l'on donne. On décrit les propriétés cinématiques et dynamiques de ces milieux. On propose l'introduction d'un champ de fonctions de phase pour traiter les problèmes de changements de phases. Deux approches complémentaires pour obtenir les équations d'équilibre d'un milieu multiparticulaire à microstructure sont ensuite mises en oeuvre, en s'intéressant plus particulièrement aux milieux de Cosserat multiparticulaires (distribution continue d'orientation de trièdres au même point de l'espace physique). Le chapitre IV consiste en un exposé complet d'une méthode de changement d'échelle apparentée aux outils classiques de l'homogénéisation que nous nommons globalisation. Cette méthode permet, par défocalisation d'un milieu à microstructure "classique", de déduire les équations d'équilibre macro des équations d'équilibre du milieu initial. L'intérêt réside dans l'identification physique des grandeurs constitutives du milieu macro à partir des grandeurs constitutives du milieu micro. La démarche est menée à terme dans le cadre général des microstructures sur lesquelles l'action du groupe des rotations de IR3 est transitive. La fin du mémoire apporte quelques indications sur l'ébauche d'une méthode de détermination du comportement d'un milieu multiparticulaire à partir de la globalisation des principales équations de bilan du milieu micro.

Práca sa zaoberá mechanikou kontinua. Konkrétne je zameraná na lineárnu elasticitu homogénnych izotropných pevných telies. Pre dve rôzne kontinuá – klasické kontinuum a mikropolárne je odvodená silná aj slabá formulácia. Cosseratovo (mikropolárne) kontinuum predstavuje rozšírenie ku klasickému, kde je uvažovaný ďalší stupeň voľnosti - nezávislá rotácia. Mikropolárne kontinuum definuje ďalšie dve materiálové konštanty, ktoré súvisia s rotáciou. V súčasnosti je metóda konečných prvkov veľmi populárny spôsob približného riešenia rovníc lineárnej elasticity. Pre účely diplomovej práce bol vyvinutý program pre MKP riešenie 2D rovinných úloh. Pre lepšiu predstavu o vplyvu rôznych parametrov na správanie sa oboch kontinuí analyzujeme jednoduchý príklad konzolového nosníka. Riešenia analyzujeme s využitím 4-uzlového štvorhranného elementu, ktorý je jedným z najpoužívanejších pre MKP. V Cosseratovom kontinue by mali byť rotácie previazené skrz parameter vnútornej dĺžky, čo by sa malo odzrkadliť zvýšenou tuhosťou telesa. Úlohou práce je porovnať výsledky z oboch kontinuí a potvrdiť tento predpoklad.

L'interaction entre un renforcement linéaire (clou) et un sol granulaire (sable) est étudiée à plusieurs échelles en vue de réaliser des calculs en déformation de murs en sol cloué. L'interaction entre un clou et un sol à l'échelle des grains est étudiée à l'aide d'un milieu continu généralisé avec microstructure rigide (milieu de Cosserat). Trois lois de comportement du sol : élastique anisotrope, rigide parfaitement plastique et élastoplastique avec écrouissage, ainsi que deux jeux de conditions aux limites microscopiques : statiques et cinématiques, sont considérés pour modéliser la formation des couches d'interfaces. Le lien entre les phénomènes de localisation surfacique (couche d'interface) et volumique (bande de cisaillement) est établi. L'interaction entre un lit de clous et la tranche de sol afférente du mur en sol cloué est étudiée dans le cas d'un chargement thermique (gel). Un modèle couplant les effets thermiques (pénétration du gel), hydrauliques (gonflements du sol gelé) et mécaniques (interaction sol-clou) est développé et validé à partir des mesures réalisées sur les soutènements en vraie grandeur de La Clusaz durant l'hiver 1980/1981. Des dispositions constructives innovantes sont proposées pour limiter les effets du gel. L'interaction entre les clous et le sol à l'échelle d'un ouvrage de soutènement est analysée afin de développer une correspondance entre le mur 3D et le modèle numérique calculé en déformations planes (calcul 2D). Les méthodes de détermination des paramètres mécaniques des matériaux à partir des essais in situ et en laboratoire sont analysées et comparées. Le calcul en déformation de la construction du mur expérimental en vraie grandeur CLOUTERRE-CEBTP no. 1 est réalisé à l'aide de deux logiciels (CESAR et FLAC) pour valider l'approche proposée.

The classical Cauchy-Boltzmann theory of continuum mechanics requires that the dimension, over which macroscopic gradients occur, are much larger than characteristic length scales of the microstructure. For this reason, the classical continuum theory comes to its limits for very small specimens or if material degradation leads to a localisation of deformations into bands, whose width is determined by the microstructure itself. Deviations from the predictions of the classical theory of continuum mechanics are referred to as size effects. It is well-known, that generalised continuum theories can describe size effects in principle. Especially micromorphic theories gain increasing popularity due its favorable numerical implementation. However, the formulation of the additionally necessary constitutive equations is a problem. For linear-elastic behavior, the number of material parameters increases considerably compared to the classical theory. The experimental determination of these parameters is thus very difficult. For nonlinear and history-dependent processes, even the qualitative structure of the constitutive equations can hardly be assessed solely on base of phenomenological considerations. Homogenisation methods are a promising approach to solve this problem. The present thesis starts with a critical review on the classical theory of homogenisation and the approaches on micromorphic homogenisation which are available in literature. On this basis, a theory is developed for the homogenisation of a classical Cauchy-Boltzmann continuum at the microscale towards a micromorphic continuum at the macroscale. In particular, the micro-macro-relations are specified for all macroscopic kinetic and kinematic field quantities. On the microscale, the corresponding boundary-value problem is formulated, whereby kinematic, static or periodic boundary conditions can be used. No restrictions are imposed on the material behavior, i. e. it can be linear or nonlinear. The special cases of the micropolar theory (Cosserat theory), microstrain theory and microdilatational theorie are considered. The proposed homogenisation method is demonstrated for several examples. The simplest example is the uniaxial case, for which the exact solution can be specified. Furthermore, the micromorphic elastic properties of a porous, foam-like material are estimated in closed form by means of Ritz' method with a cubic ansatz. A comparison with partly available exact solutions and FEM solutions indicates a qualitative and quantitative agreement of sufficient accuracy. For the special cases of micropolar and microdilatational theory, the material parameters are specified in the established nomenclature from literature. By means of these material parameters the size effect of an elastic foam structure is investigated and compared with corresponding results from literature. Furthermore, micromorphic damage models for quasi-brittle and ductile failure are presented. Quasi-brittle damage is modelled by propagation of microcracks. For the ductile mechanism, Gurson's limit-load approach on the microscale is extended by microdilatational terms. A finite-element implementation shows, that the damage model exhibits h-convergence even in the softening regime and that it thus can describe localisation.:1 Introduction 2 Literature review: Micromorphic theory and strain-gradient theory 2.1 Variational approach 2.1.1 Cauchy-Boltzmann continuum 2.1.2 Second gradient theory / Strain gradient theory 2.1.3 Micromorphic theory 2.1.4 Method of virtual power 2.2 Homogenisation approaches 2.2.1 Classical theory of homogenisation 2.2.2 Strain-gradient theory by Gologanu, Kouznetsova et al. 2.2.3 Micromorphic theory by Eringen 2.2.4 Average field theory by Forest et al. 2.3 Scope of the present thesis 3 Homogenisation towards a micromorphic continuum 3.1 Thermodynamic considerations and generalized Hill-Mandel lemma 3.2 Surface operator and kinetic micro-macro relations 3.3 Kinematic micro-macro relations 3.4 Porous material 3.5 Kinematic and periodic boundary conditions 3.6 Special cases 3.6.1 Strain-gradient theory / Second gradient theory 3.6.2 Micropolar theory 3.6.3 Microstrain theory 3.6.4 Microdilatational theory 4 Elastic Behaviour 4.1 Uniaxial case 4.2 Upper bound estimates by Ritz' Method 4.3 Isotropic porous material 4.4 Micropolar theory 4.5 Microdilatational theory 4.6 Size effect in simple shear 5 Damage Models 5.1 Quasi-brittle damage 5.2 Microdilatational extension of Gurson’s model of ductile damage 5.2.1 Limit load analysis for rigid ideal-plastic material 5.2.2 Phenomenological extensions 5.2.3 FEM implementation 5.2.4 Example 6 Discussion / Die klassische Cauchy-Boltzmann-Kontinuumstheorie setzt voraus, dass die Abmessungen, über denen makroskopische Gradienten auftreten, sehr viele größer sind als charakteristische Längenskalen der Mikrostruktur. Aus diesem Grund stößt die klassische Kontinuumstheorie bei sehr kleinen Proben ebenso an ihre Grenzen wie bei Schädigungsvorgängen, bei denen die Deformationen in Bändern lokalisieren, deren Breite selbst von der Längenskalen der Mikrostruktur bestimmt wird. Abweichungen von Vorhersagen der klassischen Kontinuumstheorie werden als Größeneffekte bezeichnet. Es ist bekannt, dass generalisierte Kontinuumstheorien Größeneffekte prinzipiell beschreiben können. Insbesondere mikromorphe Theorien erfreuen sich auf Grund ihrer vergleichsweise einfachen numerischen Implementierung wachsender Beliebtheit. Ein großes Problem stellt dabei die Formulierung der zusätzlich notwendigen konstitutiven Gleichungen dar. Für linear-elastisches Verhalten steigt die Zahl der Materialparameter im Vergleich zur klassischen Theorie stark an, was deren experimentelle Bestimmung sehr schwierig macht. Bei nichtlinearen und lastgeschichtsabhängigen Prozessen lässt sich selbst die qualitative Struktur der konstitutiven Gleichungen ausschließlich auf Basis phänomenologischer Überlegungen kaum erschließen. Homogenisierungsverfahren stellen einen vielversprechenden Ansatz dar, um dieses Problem zu lösen. Die vorliegende Arbeit gibt zunächst einen kritischen Überblick über die klassische Theorie der Homogenisierung sowie die im Schrifttum verfügbaren Ansätze zur mikromorphen Homogenisierung. Auf dieser Basis wird eine Theorie zur Homogenisierung eines klassischen Cauchy-Boltzmann-Kontinuums auf Mikroebene zu einem mikromorphen Kontinuum auf der Makroebene entwickelt. Insbesondere werden Mikro-Makro-Relationen für alle makroskopischen kinetischen und kinematischen Feldgrößen angegebenen. Auf der Mikroebene wird das entsprechende Randwertproblem formuliert, wobei kinematische, statische oder periodische Randbedingungen verwendet werden können. Das Materialverhalten unterliegt keinen Einschränkungen, d. h., dass es sowohl linear als auch nichtlinear sein kann. Die Sonderfälle der mikropolaren Theorie (Cosserat-Theorie), Mikrodehnungstheorie und mikrodilatationalen Theorie werden erarbeitet. Das vorgeschlagene Homogenisierungsverfahren wird für eine Reihe von Beispielen demonstriert. Als einfachstes Beispiel dient der einachsige Fall, für den die exakte Lösung angegebenen werden kann. Weiterhin werden die mikromorphen, elastischen Eigenschaften eines porösen, schaumartigen Materials mittels des Ritz-Verfahrens mit einem kubischen Ansatz in geschlossener Form abgeschätzt. Ein Vergleich mit teilweise verfügbaren exakten Lösungen sowie FEM-Lösungen weist eine qualitative und quantitative Übereinstimmung hinreichender Genauigkeit aus. Für die Sonderfälle mikropolaren und mikrodilatationalen Theorien werden die Materialparameter in der im Schrifttum üblichen Nomenklatur angegebenen. Mittels dieser Materialparameter wird der Größeneffekt in einer elastischen Schaumstruktur untersucht und mit entsprechenden Ergebnissen aus dem Schrifttum verglichen. Desweiteren werden mikromorphe Schädigungsmodelle für quasi-sprödes und duktiles Versagen vorgestellt. Quasi-spröde Schädigung wird durch das Wachstum von Mikrorissen modelliert. Für den duktilen Mechanismus wird der Ansatz von Gurson einer Grenzlastanalyse auf Mikroebene um mikrodilatationale Terme erweitert. Eine Finite-Elemente-Implementierung zeigt, dass das Schädigungsmodell auch im Entfestigungsbereich h-Konvergenz aufweist und die Lokalisierung beschreiben kann.:1 Introduction 2 Literature review: Micromorphic theory and strain-gradient theory 2.1 Variational approach 2.1.1 Cauchy-Boltzmann continuum 2.1.2 Second gradient theory / Strain gradient theory 2.1.3 Micromorphic theory 2.1.4 Method of virtual power 2.2 Homogenisation approaches 2.2.1 Classical theory of homogenisation 2.2.2 Strain-gradient theory by Gologanu, Kouznetsova et al. 2.2.3 Micromorphic theory by Eringen 2.2.4 Average field theory by Forest et al. 2.3 Scope of the present thesis 3 Homogenisation towards a micromorphic continuum 3.1 Thermodynamic considerations and generalized Hill-Mandel lemma 3.2 Surface operator and kinetic micro-macro relations 3.3 Kinematic micro-macro relations 3.4 Porous material 3.5 Kinematic and periodic boundary conditions 3.6 Special cases 3.6.1 Strain-gradient theory / Second gradient theory 3.6.2 Micropolar theory 3.6.3 Microstrain theory 3.6.4 Microdilatational theory 4 Elastic Behaviour 4.1 Uniaxial case 4.2 Upper bound estimates by Ritz' Method 4.3 Isotropic porous material 4.4 Micropolar theory 4.5 Microdilatational theory 4.6 Size effect in simple shear 5 Damage Models 5.1 Quasi-brittle damage 5.2 Microdilatational extension of Gurson’s model of ductile damage 5.2.1 Limit load analysis for rigid ideal-plastic material 5.2.2 Phenomenological extensions 5.2.3 FEM implementation 5.2.4 Example 6 Discussion