This dissertation is devoted to the study of some aspects of the theory of stochastic partial differential equations. More precisely, we mainly focus on the study of a stochastic wave equation perturbed by some random noise. The contents of the thesis may be split in two parts: firstly, we deal with a stochastic wave equation in spatial dimension three with a random perturbation given by a Gaussian noise. In this case, the main objective is to study the existence and smoothness properties of the density of the solution of the equation. Secondly, we handle a one-dimensional stochastic wave equation controlled by the so called space-time white noise. The main aim here corresponds to discretise the equation with respect to space and then study the convergence of the discretised process to the real solution.In the very first part of the dissertation, we introduce the subject of study, give the main mathematical motivations and summarise the goals that we have been able to attain. For this, as a preliminary part, we give the main definitions and state the main results concerning the theory of stochastic partial differential equations driven by Gaussian noises. We give also the main definitions and state the main criteria concerning the stochastic calculus of variations or Malliavin calculus. After a summary of their contents, the main results of the dissertation are included in several appendices. Indeed, the first work is devoted to the existence of density for the solution to a three-dimensional stochastic wave equation driven by a spatially homogeneous Gaussian noise. The main techniques used to prove this result are given by the Malliavin calculus' theory. Moreover, in order to give sense to the evolution equations satisfied by the Malliavin derivatives, we extend the theory of integration with respect to martingale measures to a Hilbert-valued setting. On the other hand, the main difficulty with respect to the studied cases, where the space dimension is one or two, is the fact that in the three-dimensional case the fundamental solution of the wave equation is no more a function but a distribution.The second work extends the results of the first one in the sense that we prove that the density of the solution at any fixed point not only exists but also is a smooth function. For this, again the techniques of the Malliavin calculus are applied, but with much more effort.In the framework of existence and smoothness of densities of solutions to stochastic partial differential equations, we have also devoted a small part of the thesis in extending some of the known results for the stochastic heat equation to general equations of parabolic type.We jump now to the third and last work that forms the body of the dissertation. Namely, we consider discretisation schemes of a stochastic Dirichlet problem given by a stochastic wave equation in spatial dimension one and driven by the space-time white noise. More precisely, the equation is discretised by means of a finite difference method in space and the random perturbation is formally discretised using an Euler scheme. Then, the main idea is to find out an evolution equation satisfied by the approximation process so as to be able to deal with mean and almost sure convergence to the real solution. Furthermore, we get suitable bounds for the rate of convergence that are tested numerically to be optimal.Eventually, the dissertation concludes with a summary of the contents in Catalan and the bibliography.

El presente trabajo tuvo su origen durante el transcurso de los estudios monográficos de Doctorado, correspondientes al curso académico 1952-1953 de la Sección de Matemáticas, en que nos fue propuesta en la Asignatura de Doctorado “Ecuaciones en derivadas parciales de tipo hiperbólico”, por el Prof. Dr. Augé, la clasificación y reducción a formas canónicas de las ecuaciones cuasilineales en derivadas parciales de 3er. orden con dos variables independientes. Resuelto este problema, se nos sugirió la posibilidad de obtener un teorema de existencia para las ecuaciones lineales de 3er. Orden con dos variables independientes de tipo hiperbólico, por el método de aproximaciones sucesivas en el campo real, que fuese, por decirlo así, una prolongación de los resultados obtenidos por Picard en las ecuaciones en derivadas parciales de 2º orden. En la actualidad, la teoría de las distribuciones ha contribuído poderosamente a la sistematización de los procedimientos empleados en la resolución de los problemas de contorno adeucados a distintos tipos de ecuaciones diferenciales, dando lugar a los llamados “métodos operacionales”, los cuales constituyen los intrrumentos de cálculo de soluciones de dichas ecuaciones, preferidos por la mayoría de los especialistas a ellos consagrados. Por lo que a nuestro trabajo se refiere, no nos hemos aparato del clásico método constructivo, de la solución en el campo real, mediante aproximaciones sucesivas de la misma, iniciado por Picard y seguido por otros autores, por creer que su eficacia podía extenderse todavía a ecuaciones de orden superior a las estudiadas por Picard, y aún incluso a las por nosotros consideradas. Concretando, el problema que nos hemos planteado y resuelto puede resumirse en los Apartados siguientes: a) Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales de 3er. orden con dos variables independientes y separación de los casos hiperbólicos. b) En los casos hiperbólicos, construcción y cálculo de la solución al problema de Cauchy, por el método de aproximaciones sucesivas en el campo real. c) Teorema de unicidad. d) Generalización a ecuaciones no lineales. De acuerdo con dichas ideas, hemos creído conveniente subdividir nuestro trabajo en cuatro Capítulos para la mejor metodización y exposición del mismo. - En el Capítulo I, hemos clasificado las ecuaciones en derivadas parciales cuasi-lineales de 3er. orden con dos variables independientes, hallando los cambios de variables que permiten reducirlas a las formas canónicas más sencillas separando los casos hiperbólicos de los demás. - En el Capítulo II, planteamos y resolvemos en el campo real al problema de Cauchy para toda ecuación hierbólica determinando los dominios de dependencia de cada punto y prolongación del arco de curva sobre el que son dadas las condiciones iniciales, obteniendo fórmulas resolutivas, demostrativas de que al problema de Cauchy considerado es adecuado a la ecuación dada. - En el Capítulo III, demostramos el teorema de existencia y unicidad para toda ecuación lineal de tipo hiperbólico, reduciada a su forma canónica. - Finalmente, en el IV y último Capítulo, planteamos y resolvemos localmente el problema de Cauchy para toda ecuación cuasi-lineal de 3er. orden de tipo hiperbólico, con dos variables independientes, previamente reducida a su forma canónima, con el mismo sistema de condiciones iniciales que el de las ecuaciones consideradas en los anteriores Capítulos, supuestas verificiadas ciertas condiciones de continuidad y derivabilidad, El método que hemos seguido para la construcción de las soluciones de las ecuaciones en derivadas parciales de 3er. orden con dos variables, de tipo hiperbólico, no se aparta pues, esencialmente, del empleado por Picard y otros en la demostración de los teoremas de existencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden cualquiera, y las de derivadas parciales de 2º orden, y la creencia, por parte nuestra, de que el mismo no había agotado todas sus posibilidades, así como de que es todavía de ser susceptible de ser aplicado al cálculo de soluciones en el campo real de ecuaciones de más de dos variables independientes, y de orden superior al tercero, es la principal razón que nos ha impulsado a redactar el presente trabajo