DE LA TESI DOCTORAL:Aquesta memòria estudia bàsicament el comportament asimptòtic de la densitat de diferents famílies de vectors aleatoris. Al començament es dóna una introducció on es comenten diversos treballs anteriors que tracten sobre estudis asimptòtics de densitats, es pot observar el gran lligam que hi ha entre les estimacions de Varadhan i l'anomenat desenvolupament de Taylor de la densitat. Les estimacions són un primer pas cap a un estudi més extens del comportament asimptòtic.Un cop feta l'introducció general (Capítol 1), el Capítol 2 de la memòria està dedicat a l'estudi de les anomenades estimacions de Varadhan. Al tercer Capítol realitzarem un estudi més acurat i exhaustiu del comportament asimptòtic de la densitat. Al Capítol 4, sota les mateixes condicions que s'utilitzen per demostrar l'existència i regularitat d'una densitat "pe(y)", nosaltres trobarem el desenvolupament asimptòtic amb d = 1, on ara els coeficients "c-1" dependran de les derivades del procés solució de l'equació estocàstica pertorbada avaluades en e >> 0; a més a més, aquestes derivades satisfarán equacions d'evolució que seran descrites. Finalment, al Capítol 5, estudiarem el comportament densitat que al Capítol 4, però per a tot "y" pertanyent a R.Els Capítols 2, 3, 4 i 5 contenen una introducció on s'explica la metodologia que nosaltres hem seguit en aquell capítol, donant les idees més importants. Les Seccions d'aquests Capítols constaran quasi sempre de tres parts. Una primera, anomenada Objectiu, està dedicada a explicar el propòsit de la Secció. Una segona, dita Preliminars, on es donaran els prerequisits necessaris, quan s'escaigui, per poder portar a terme la demostració dels Objectius. A l'última es provaran els resultats.

Es presenten diversos mètodes per a la obtenció de solucions exactes estacionàries i amb simetria axial de les equacions d'Einstein de la relativitat general. Aquests mètodes són aplicats per obtenir algunes solucions que també s'estudien.

En aquesta tesi es realitza l'estudi de les propietats de dues equacions diferencials estocàstiques: una en derivades parcials per processos hiparamètrics que convertim en una equació integral estocàstica en el pla, i una difusió amb condició inicial anticipativa. Sobre la primera s'estudia el suport topòlogic de la llei de la solució, s'estableix un principi de grans desviacions quan considerem petites pertorbacions del soroll que governa l'equaciói es demostra l'existència i regulantat de la llei de la solució. L'estudi de l'equació anticipativa es centra en l'existencia i regularitat de la llei de la solució sota hipòtesis de diferents graus de degeneració. Finalment també s'estudia el cas en que l'equació anticipativa està governada per un moviment brownià de dimensió infinita.El primer capítol està dedicat a estudiar l'equació diferencial estocàstica en derivades parcials (1). Aquesta equació ja va ser estudiada per Farré i Nualart, que van donar sentit a la solució dins la classe de les semimartingales representables. Utilitzant aquesta representació van demostrar l'existència de densitat.En aquest capítol es presenta una nova visió de la solució de l'equació. Com en altres casos estudiats a la literatura sobre equacions diferencials estocàstiques parabòliques i el.líptiques, ens plantejem la solució a partir del mètode de Riemann per l'equació determinista anàloga a (1). Es considera I'operador diferencial de segon ordre "L" i s'indica la funció de Green associada a aquest operador (2). Es defineix aleshores la solució de l'equació(1), com el procés continu i adaptat que satisfa l'equació integral (3). Es demostra l'existència i unicitat de la solució de l'equació integral (3). Es comprova que aquesta solució es la solució feble de (1), en el sentit de distribucions, i que coincideix amb la solució proposada per Farré i Nualart.Utilitzant la representació (3) es demostren diverses propietats del proces solució. Aquests resultats estan basats en un estudi en profunditat de la funció de Green. Aquesta funció no la podem obtenir de manera explícita, però sí a partir d'una série. Es demostren així diverses propietats de la funció de Green, com l'afitació o la derivabilitat respecte "u", "v", "s", "r".S'estableix pnmer un resultat d'aproximacions de la solució. A partir d'aquest resultat d'aproximacions, utilitzant un mètode desenvolupat per Millet i Sanz basat en l'utilització d'esquelets, obtenim un teorema del suport pel procés solució.Posteriorment, s'apliquen les eines del calcul de Malliavin per deduir I'existència i regularitat de la llei de X(n), si s-r = 0. Aquest resultat s'obté tant per condicions equivalents a la condició de Hormander restringida com per condicions equivalents a la condició de Hormander no restringida. Finalment s'estableix un principi de grans desviacions per la familia {X(n), epsilon més gran que 0} de solucions de (3) obtingudes per pertorbacions del soroll blanc. El mètode utilitzat està basat en el principi de quasi-continuitat desenvolupat per Azencott. En el segon capítol es determinen condicions suficients per l'existència de densitat regular per la llei de probabilitat de la solució de l'equació diferencial estocàstica anticipativa en un instant de temps epsilon > 0 fixat. L'existència i regulantat de la densitat sota condicions semblants ja han estat estudiades anteriorment. A més, en el segon capitol s'estén aquest últim resultat en les direccions següents. Per unabanda, s'elimina la hipotesi d'afitació sobre la condició inicial. Després s'obté un resultat anàleg amb condicions de Hormander no restringides. Finalment, s'estudien les condicions necessàries per un cas degenerat, sota el punt de vista presentat per Bell i Mohammed, que permet que la hipotesi de Hormander no es satisfaci. de manera controlada, en una col.lecció de superfícies.Les condicions de Hormander que s'utilitzen es presenten amb una formulació alternativa a la clàssica, fent apareixer la condició inicial "X(n)". S'utilitzen les eines del càlcul de Malliavin, de manera que cal desenvolupar versions del lema de Norris adients, tant pel cas restringit com pel cas no restringit.El tercer capitol està dedicat a estudiar l'equació anticipativa governada per un moviment brownià de dimensió infinita (4). En aquest capitol es demostra l'existència i regulantat de la densitat a un instant de temps "t" fixat.El cas no anticipatiu ja va ser estudiat per Minh Duc, Nualart i Sanz. Es demostra pnmer que podem obtenir una solució de l'equació composant el flux associat a (4) amb la condició inicial "X(n)". Després s'estudia la regulantat de la densitat per aquesta solució. El mètode emprat es basa en transferir el resultat conegut per l'equació governada per un moviment brownià de dimensió finit per mitjà d'una convergència apropiada. / In Chapter 1, we study the hyperbolic stochastical partial differential equation (1). We analyze (1) using a new approach, inspired bv Riemann's method for solving the deterministic analogue of (1). using a Green function. The result is expressed as a (2).We have proved existence and uniqueness of solution to the stochastic equation (2), and we state the equivalence between our approach and the approach presented by Farre and Nualart. We have established a result on approximation of this solution and a suport theorem in Hölder norm for the solution to (1). We apply the tools of Malliavin calculus to deduce the existence and smoothness of density. We also establish a large deviations principle for the family of solutions to (2) obtained by a penurbation of the noise.In Chapter 2, we obtain sufficient conditions for the existence of a smooth density for the probability law of the solution to the anticipating stochastic differential equation at a fixed time t > 0 , where X(o) is an arbitrary random variable. We extend the results of Caballero, Fernandez and Nualart. We remove the boundedness assumption on "X(n)" and we deal with restricted and unrestricted Hörmander's tvpe conditions.We also study, using the point of view introduced by Bell and Mohammed, a degenerate case where Hörmander's condition is not satisfied.Finally, in Chapter 3, we obtain sufficient conditions for the smoothness of the density for the probability law of the solution to the anticipating stochastic differential equation driven by an infinite dimensional brownian.

El teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser no asegura la estabilidad cerca de los toros m-dimensionales que se conservan para hamiltonianos casi integrables con "m" grados de libertad. Puede aparecer una difusión de trayectorias llamada difusión de Arnold que es posible detectar a través del mecanismo de las cadenas de transición. En esta memoria se demuestra que la existencia de cadenas de transición genérica dentro de la categoría de sistemas hamiltonianos infinitamente derivables sobre una variedad compacta. La demostración es constructiva, introduciéndose una forma normal casi resonante cerca de puntos elípticos de cuyo estudio resulta la existencia de dichas cadenas de transicion al considerar tecnicas de conservacion de variedades normalmente hiperbolicas junto con la integral DE Melnikov asociada.

En esta tesis se presentan aplicaciones del Análisis Intervalar Modal al estudio de problemas diferenciales aplicados básicamente a la resolución de problemas del ámbito de la ingeniería, precedidos de una sucinta revisión de la teoría básica del sistema de intervalos modales y un estudio exhaustivo de la optimalidad parcial de las funciones racionales, incorporando los conceptos de optimalidad equivalente y optimalidad condicionada, que representan una ampliación a la teoría del Análisis Intervalar Modal ya existente.Definiremos los intervalos identificándolos con el conjunto de predicados que aceptan o rechazan predicados sobre la recta real, hecho desde luego, que permite corregir deficiencias estructurales y semánticas del Análisis Intervalar Clásico, pero que sobretodo funda la teoría intervalar en la función básica de los intervalos como referencias al sistema de los números reales compatibles con la inevitable necesidad de truncación que acompaña a cualquier valor numérico experimental. Revisada la teoría básica del análisis intervalar modal, nos proponemos aplicarla a la resolución de problemas del ámbito de la ingeniería. Así, al plantearnos la resolución de problemas incluso elementales, como el de propagación del calor en una dimensión, nos encontramos con problemas de planteo en la aplicación de la teoría intervalar debido a las restricciones que impone la posibilidad de cálculos optimales. Esta situación lleva al estudio de la optimalidad condicionada que se ha presentado en el tercer capítulo de la tesis.Admitiendo restricciones sobre las modalidades de los argumentos de las funciones racionales se obtienen conceptos nuevos como el de modalidad partida o el de optimalidad lateral, que finalmente permiten introducir el concepto de función racional sintácticamente c-conmutativa, que permite obtener un conjunto más amplio de funciones a las que se les puede asociar un cálculo optimal. Sobre el conjunto de los intervalos podemos definir diversos sistemas de operaciones obteniendo por ejemplo el sistema de los intervalos modales dotados de su aritmética fundamental o bien dotados de una aritmética lineal o paralela. Esta última aritmética se introduce en el cuarto capítulo de la tesis. Desde el punto de vista del análisis intervalar modal hemos estudiado ecuaciones en diferencias definidas como solución numérica a ecuaciones diferenciales. El modelo intervalar y los métodos de cálculo numérico son objetivamente distintos: mientras que el cálculo numérico calcula trayectorias singulares aproximadas, el cálculo intervalar calcula haces de trayectorias asociadas a una estrategia determinada por las modalidades de los intervalos. Además, el cálculo intervalar está basado en la inclusividad de las soluciones intervalares y por ello da lugar esencialmente a modelos exactos desde el punto de vista de las semánticas asociadas a la inclusión; frente al caso del cálculo numérico que se apoya esencialmente en el concepto de aproximación.Una propiedad estructuralmente básica del Análisis intervalar es que no es adecuado aprovechar los algoritmos de los métodos numéricos clásicos como algoritmos intervalares, puesto que la estructura intervalar es esencialmente "mayor" que la de los números reales y por lo tanto debemos plantear cada problema intervalar siempre ab initio, en el interior del propio contexto intervalar. Fundamentalmente esto está determinado por el hecho de que no tiene sentido plantear las relaciones de inclusividad en el conjunto de los números reales, por reducirse a la identidad, y no tiene sentido prescindir de ellas en el contexto intervalar.Los capítulos 5, 6, y 7 estudian distintos problemas que plantean las ecuaciones en diferencias intervalares, distinguiendo las situaciones que necesitan un contexto lineal y en consecuencia el soporte aritmético de los intervalos de marcas (comentados en el apéndice B). Se han estudiado también problemas de contorno que se plantean en el cálculo numérico clásico, esencialmente sobre un contexto geométrico lineal. Dado que las operaciones aritméticas básicas de los intervalos modales no son operaciones lineales, no serán las operaciones adecuadas para modelos que pidan linealidad global. Los sistemas con operaciones lineales obligarán a un uso más elaborado de la modalidad, pero mantienen la geometría lineal que usualmente está exigida por el planteo experimental del problema. En la misma consideración de un modelo lineal, sin embargo, y tal como se ha estudiado en el capítulo 6, aparece un problema lógico con la truncación de los intervalos, cuya solución lleva inevitablemente a la aritmética de marcas. En el apéndice A se presenta una biblioteca C++ que implementa la aritmética intervalar modal soportada por los coprocesadores Intel.

El presente trabajo tuvo su origen durante el transcurso de los estudios monográficos de Doctorado, correspondientes al curso académico 1952-1953 de la Sección de Matemáticas, en que nos fue propuesta en la Asignatura de Doctorado “Ecuaciones en derivadas parciales de tipo hiperbólico”, por el Prof. Dr. Augé, la clasificación y reducción a formas canónicas de las ecuaciones cuasilineales en derivadas parciales de 3er. orden con dos variables independientes. Resuelto este problema, se nos sugirió la posibilidad de obtener un teorema de existencia para las ecuaciones lineales de 3er. Orden con dos variables independientes de tipo hiperbólico, por el método de aproximaciones sucesivas en el campo real, que fuese, por decirlo así, una prolongación de los resultados obtenidos por Picard en las ecuaciones en derivadas parciales de 2º orden. En la actualidad, la teoría de las distribuciones ha contribuído poderosamente a la sistematización de los procedimientos empleados en la resolución de los problemas de contorno adeucados a distintos tipos de ecuaciones diferenciales, dando lugar a los llamados “métodos operacionales”, los cuales constituyen los intrrumentos de cálculo de soluciones de dichas ecuaciones, preferidos por la mayoría de los especialistas a ellos consagrados. Por lo que a nuestro trabajo se refiere, no nos hemos aparato del clásico método constructivo, de la solución en el campo real, mediante aproximaciones sucesivas de la misma, iniciado por Picard y seguido por otros autores, por creer que su eficacia podía extenderse todavía a ecuaciones de orden superior a las estudiadas por Picard, y aún incluso a las por nosotros consideradas. Concretando, el problema que nos hemos planteado y resuelto puede resumirse en los Apartados siguientes: a) Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales de 3er. orden con dos variables independientes y separación de los casos hiperbólicos. b) En los casos hiperbólicos, construcción y cálculo de la solución al problema de Cauchy, por el método de aproximaciones sucesivas en el campo real. c) Teorema de unicidad. d) Generalización a ecuaciones no lineales. De acuerdo con dichas ideas, hemos creído conveniente subdividir nuestro trabajo en cuatro Capítulos para la mejor metodización y exposición del mismo. - En el Capítulo I, hemos clasificado las ecuaciones en derivadas parciales cuasi-lineales de 3er. orden con dos variables independientes, hallando los cambios de variables que permiten reducirlas a las formas canónicas más sencillas separando los casos hiperbólicos de los demás. - En el Capítulo II, planteamos y resolvemos en el campo real al problema de Cauchy para toda ecuación hierbólica determinando los dominios de dependencia de cada punto y prolongación del arco de curva sobre el que son dadas las condiciones iniciales, obteniendo fórmulas resolutivas, demostrativas de que al problema de Cauchy considerado es adecuado a la ecuación dada. - En el Capítulo III, demostramos el teorema de existencia y unicidad para toda ecuación lineal de tipo hiperbólico, reduciada a su forma canónica. - Finalmente, en el IV y último Capítulo, planteamos y resolvemos localmente el problema de Cauchy para toda ecuación cuasi-lineal de 3er. orden de tipo hiperbólico, con dos variables independientes, previamente reducida a su forma canónima, con el mismo sistema de condiciones iniciales que el de las ecuaciones consideradas en los anteriores Capítulos, supuestas verificiadas ciertas condiciones de continuidad y derivabilidad, El método que hemos seguido para la construcción de las soluciones de las ecuaciones en derivadas parciales de 3er. orden con dos variables, de tipo hiperbólico, no se aparta pues, esencialmente, del empleado por Picard y otros en la demostración de los teoremas de existencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden cualquiera, y las de derivadas parciales de 2º orden, y la creencia, por parte nuestra, de que el mismo no había agotado todas sus posibilidades, así como de que es todavía de ser susceptible de ser aplicado al cálculo de soluciones en el campo real de ecuaciones de más de dos variables independientes, y de orden superior al tercero, es la principal razón que nos ha impulsado a redactar el presente trabajo

This dissertation is devoted to the study of some aspects of the theory of stochastic partial differential equations. More precisely, we mainly focus on the study of a stochastic wave equation perturbed by some random noise. The contents of the thesis may be split in two parts: firstly, we deal with a stochastic wave equation in spatial dimension three with a random perturbation given by a Gaussian noise. In this case, the main objective is to study the existence and smoothness properties of the density of the solution of the equation. Secondly, we handle a one-dimensional stochastic wave equation controlled by the so called space-time white noise. The main aim here corresponds to discretise the equation with respect to space and then study the convergence of the discretised process to the real solution.In the very first part of the dissertation, we introduce the subject of study, give the main mathematical motivations and summarise the goals that we have been able to attain. For this, as a preliminary part, we give the main definitions and state the main results concerning the theory of stochastic partial differential equations driven by Gaussian noises. We give also the main definitions and state the main criteria concerning the stochastic calculus of variations or Malliavin calculus. After a summary of their contents, the main results of the dissertation are included in several appendices. Indeed, the first work is devoted to the existence of density for the solution to a three-dimensional stochastic wave equation driven by a spatially homogeneous Gaussian noise. The main techniques used to prove this result are given by the Malliavin calculus' theory. Moreover, in order to give sense to the evolution equations satisfied by the Malliavin derivatives, we extend the theory of integration with respect to martingale measures to a Hilbert-valued setting. On the other hand, the main difficulty with respect to the studied cases, where the space dimension is one or two, is the fact that in the three-dimensional case the fundamental solution of the wave equation is no more a function but a distribution.The second work extends the results of the first one in the sense that we prove that the density of the solution at any fixed point not only exists but also is a smooth function. For this, again the techniques of the Malliavin calculus are applied, but with much more effort.In the framework of existence and smoothness of densities of solutions to stochastic partial differential equations, we have also devoted a small part of the thesis in extending some of the known results for the stochastic heat equation to general equations of parabolic type.We jump now to the third and last work that forms the body of the dissertation. Namely, we consider discretisation schemes of a stochastic Dirichlet problem given by a stochastic wave equation in spatial dimension one and driven by the space-time white noise. More precisely, the equation is discretised by means of a finite difference method in space and the random perturbation is formally discretised using an Euler scheme. Then, the main idea is to find out an evolution equation satisfied by the approximation process so as to be able to deal with mean and almost sure convergence to the real solution. Furthermore, we get suitable bounds for the rate of convergence that are tested numerically to be optimal.Eventually, the dissertation concludes with a summary of the contents in Catalan and the bibliography.

Molts sistemes físics tenen la propietat que la seva dinàmica ve definida per algun tipus de difussió espaial en competició amb un fenòmen de reacció, com per exemple en el cas de dos components químics que reaccionen al mateix temps que es difon l'un en el si de l'altre. La presència d'aquests dos fenòmens, la difusió i la reacció, sovint dóna lloc a patrons no homogenis de gran riquesa. Els models matemàtics que descriuen aquest tipus de comportament són normalment equacions en derivades parcials les solucions de les quals representen aquests patrons. En aquesta tesi s'analitza l'equació de Ginzburg-Landau complexa general, que és una equació en derivades parcials de reacció-difusió que s'utilitza sovint com a model matemàtic per a descriure sistemes oscil·latoris en dominis extensos. En particular estudiem els patrons que sorgeixen en el pla quan s'imposa que el grau de Brouwer de la solució no sigui nul. Aquests patrons estan formats per ones de rotació en forma d'espirals, és a dir, les corbes de nivell de la solució formen espirals que emanen dels punts on la funció s'anul·la. Quan la solució s'anul·la només en un punt i per tant només hi ha una espiral, tota la dependència temporal apareix en el terme de freqüència. Així doncs, la funció solució es pot expressar com a funció del radi polar i en termes del seu grau topològic i la freqüència de l'ona. Per tant, aquestes solucions es poden expressar en termes d'un sistema d'equacions diferencials ordinàries. Aquestes solucions només existeixen per una certa freqüència que depèn unívocament dels paràmetres de l'equació i, com a conseqüència i degut a la relació de dispersió entre el nombre d'ones i la freqüència, el nombre d'ones a l'infinit, l'anomenat nombre d'ones asimptòtic, ve també determinat unívocament pels paràmetres. Quan les solucions tenen més d'un zero aïllat la condició sobre el grau de la funció fa que de cada zero sorgeixi una espiral diferent i aquestes es mouen en el pla mantenint la seva estructura local. En aquest treball s'usen tècniques d'anàlisi asimptòtica per trobar equacions del moviment per als centres de les espirals i es troba que aquesta evolució temporal és lenta. En concret, per la distàncies relatives grans entre els centres de les espirals, l'escala de temps per a la seva dinàmica ve donada pel logaritme de l'invers d'aquesta distància. Es demostra que aquestes equacions del moviment són diferents en funció de la relació entre els paràmetres de l'equació de Ginzburg-Landau complexa i la separació entre els centres de les espirals, i que la forma com es passa d'unes equacions a les altres és molt singular. També es demostra que el nombre d'ones asimptòtic per al cas de sistemes amb diverses espirals també està unívocament determinat pels paràmetres però no obstant, el cas de sistemes amb diverses espirals es diferencia del cas d'una única ona en què deixa de ser constant i evoluciona al mateix ritme que la velocitat dels centres de les espirals. / Many physical systems have the property that its dynamics is driven by some kind of spatical diffusion that is in competition with a reaction, like for instance two chemical species that react at the same time that there is a diffusion of each of them into the other. This interplay between reaction and diffusion produce non-homogeneous patterns that can sometimes be very rich. The mathematical models that describe this kind of behaviours are usually nonlinear partial differential equations whose solutions represent these patterns. In this thesis we focus on an especific reaction-diffusion equation that is the so-called general complex Ginzburg-Landau equation that is used as a model for oscillatory systems in extended domains. In particular we are interested in the type of patterns in the plane that arise when the solutions have a non-vanishing Brouwer degree. These patterns have the property that they exhibit rotating waves in the shape of spirals, which means that the contour lines arrange in the shape of spirals that emerge from the points where the solution vanishes. When the solution vanishes only at one point all the time dependence appears as a frequency term so the solutions can be expressed as a function of the polar radius and in terms of the topological degree of the solution and the frequency of the wave. Therefore, these solutions can be expressed in terms of a system of ordinary differential equations. These solutions do only exist with a given frequency, and as a consequence and due to the existence of a dispresion relation, the wavenumber far from the origin, the so-called asymptotic wavenumber, is also unique. When the solutions have more than one isolated zero, the condition on the degree of the function has the effect of producing several spirals that emerge from the different zeros of the solution. These spirals evolve in time keeping their structure but moving around on the plane. In this work we use asymptotic analysis techniques to derive laws of motion for the centres of the spirals and we show that the time evolution of these patterns is slow and, for large relative separations of the centres of the spirals, the time scale for the their dynamics is logarithmic in the inverse of this distance. These laws of motion are different depending on the relation between the parameters of the complex Ginzburg-Landau equation and the relative separation of the spirals. We show that the way these laws change as the spirals separate or approach is highly singular. We also show that the asymptotic wavenumber in the case of multiple spirals is as well unique and that it evolves in time at the same rate as the velocity of the centres.

The study of the electromagnetic phenomena along the last two centuries has brought about outstanding contributions for the human progress. The electromagnetism represents still now, at the beginning of the third millenium, a very important research area. The radiation pattern of particular types of antennas -for example, fractal or microstrip-, the analysis of the effect of the cellular communications on human beings or the detection of buried mines represent specific examples of the wide variety of problems of great interest nowadays. The study of such a variety of problems relies on the application of the Maxwell equations, which rule all the electromagnetic behaviour. Since the analytical solution can only be obtained for very particular cases of canonical forms, to tackle the analysis of an arbitrary problem, one makes use of the numerical methods. The discretization of electromagnetic integral equations by the Method of Moments -MoM- excels as a powerful and reliable tool for analysing bodies composed of locally homogeneous regions -penetrable or perfectly conducting- immerse in a wide and nearly uniform medium -typically the ground or the free-space-. These integral methods result from the surface equivalence theorem, which allows in general two different formulations, the Electric Field Integral Equation (EFIE) and the Magnetic Field Integral Equation (MFIE). For the case of penetrable bodies, the Poggio, Miller, Chang, Harrington and Wu (PMCHW) formulation, that results from the subtraction of the EFIE and MFIE at both sides of the surfaces, can also be employed.The Method of Moments is based on the full expansion of the physical magnitudes, field and current, over the interface surfaces between the regions. In consequence, the solution of the problem is obtained through the inversion of a full-matrix, which, for electrically large problems, requires excessive memory resources and computation time. That is why the MoM is widely considered a brute-force method. The expansion of the magnitudes is carried out through the discretization of the surface; that is, patches spreading over the interface. The first half of this dissertation Thesis tackles the development of the MoM applied to problems with bodies with symmetry of revolution -BoR-. Since in this case the physical magnitudes present an azimuthal periodicity, they can be expressed as a Fourier series. The orthogonality between the different modes enables to obtain separately each azimuthal mode of the solution. It is thus only required to spread the patches along the generating arc of the bodies for each mode, which is very advantageous because the electromagnetic analysis can be carried out indeed for dimensionally large problems. A well-known PeC-EFIE BoR formulation is developed. Accordingly, PeC-MFIE and PMCHW formulations are developed from scratch. Furthermore, it is commented in detail and corrected to some extent the numerical error associated to the fastest-varying part of the PeC-MFIE BoR operator. The BoR-codes are particularly useful in modelling the electromagnetic behaviour of buried mines, which very often show revolution symmetry. The most outstanding contribution of this dissertation Thesis is the study of the appropriate conditions to develop correctly the 3D operators so as to yield accurate results for any structure. Since the discretization implies a break on the continuity properties of the physical magnitudes -field and current- the valid 3D-operators must ensure the physical electromagnetic requirements in the discretized surface. In mathematical terms, these requirements set the rank -field- and domain- -current- spaces, which essentially require the enforcement of the continuity across the edges of either the tangential or the normal component of the expanded magnitudes.For the case of an arbitrary perfectly conducting -PeC- body, it is recommended in this work the use of the divergence-conforming and of the curl-conforming functions respectively in the development of the PeC-EFIE and the PeC-MFIE operators. Low-order sets over triangular facets -RWG and unxRWG- are chosen to develop the PeC-operators. Furthermore, it is reasoned theoretically the inherent misbehaviour of the PeC-MFIE in case the current expansion relies on a divergence-conforming set. A heuristic correction is provided. The better behaviour of PeC-EFIE(RWG) and PeC-MFIE(unxRWG) is confirmed with examples. In view of the results, it is reasoned the suitability of PeC-EFIE(RWG) for the analysis of physical polyhedrons, which makes PeC-MFIE(unxRWG) excel as a more appropriate operator for curved bodies. A procedure for improving the performance of PeC-EFIE(RWG) for coarsely meshed spheres is given.For the case of arbitrary penetrable bodies, the same low-order sets are used to expand the operators EFIE, MFIE and PMCHW. It is shown their compatibility with the combination of the right PeC-operators. In the dielectric case, in addition to the required continuity of the magnitudes across the edges at each region, the fields at both sides of the surface must satisfy the interface continuity, which is ignored in the conducting case -the fields are null inside the conductor-. The impossibility of meeting both continuity requirements at the same time justifies the apparition of inherent and different errors in the dual EFIE-MFIE and in PMCHW. It is thoroughly reasoned and confirmed with examples the suitability of PMCHW for problems with only penetrable regions. It is also shown and discussed in detail the robustness of EFIE-MFIE since its behaviour is appropriate for electrically not too small structures with perfectly conducting or penetrable regions. The analysis of composite structures -very useful to model microstrip antennas- can be considered as a group of disjoint bodies with null distances of separation. For this type of problems, it is recommended in this work the use of EFIE-MFIE since, unlike PMCHW, they can ensure the continuous transition to zero of a distance of separation increasingly small. Finally, efficient methods -IE-MEI and MLFMM- relying on the previous 3D-operators. The development of the PeC 3D IE-MEI cannot maintain the advantages present in the 2D case since the harmonic metrons are not valid in the 3D general case. A new set of metrons that ensures little discontinuity of the current across the edges is presented. It is confirmed with examples how these metrons, so-called quasi-continuous, reduce the number of required coefficients per row for a certain current error. Some examples of penetrable spheres with moderate electrical dimensions analysed under a MLFMM implementation are shown and commented.

En aquesta memòria presentem tres treballs dedicats a l'estudi d'equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Bromnià fraccionari.La primera equació diferencial estocàstica que estudiarem és una equació amb retard i amb restriccions de positivitat. Com que el retard (R) és en aquest cas un valor positiu, hem de donar com a condició inicial la solució de l'equació a l'interval [-r; 0], que serà X(t) = ni(t), on la funció "mi" serà una funció determinista no negativa. El terme Y és el que ens permetrà assegurar que la solució de l'equació sigui sempre positiva.La metodologia utilitzada per provar els resultats per a aquesta equaciói per a la següent que presentarem és similar, encara que amb dificultats tècniques diferents. Considerem equacions deterministes i demostrem els resultats per aquest tipus d'equacions. Llavors com que entenem la integral estocàstica que apareix com una integral de Riemann-Stieltjes és fàcil aplicar els resultats obtinguts a les nostres equacions diferencials estocà tiques. Es tracta de la metodologia utilitzada per Nualart i Răşcanu a [3].La segona equació que treballarem és una equació diferencial estocàstica de Volterra a R(d). Per aquesta equació demostrarem l'existència i la unicitat de solució, i provarem que la solució té moments finits. Observem que els nostres resultats inclouen com a cas particular els resultats obtinguts per Nualart i Răşcanu a [3].L'interès d'aquesta part recau en l'obtenció d'estimacions per a les integrals de Lebesgue i Riemann-Stieltjes. Amb aquestes estimacions, obtenim les mateixes cotes que les de [3], i la demostració de l'existència i unicitat s'aconsegueix seguint els mateixos passos que fan Nualarti Rascanu per la seva equació.Finalment, l'últim treball fa referència a l'estudi d'aquesta equació diferencial d-dimensional dx(t )= f(x(t))dy(t) on la funció de control y no és diferenciable però és B-Holder contínua. Una manera d'estudiar aquestes equacions si la funci_o de control és B-Holder contínua d'ordre B>1/2 , és la desenvolupada per Nualart i Răşcanu a [3]. Aquest mètode ha sigut estès en un treball recent de Hu i Nualart [2] pel cas que B pertanguès a (1/3, ½). El propòsit del nostre treball és obtenir estimacions precises per a la norma del suprem per a la soluci_o de l'equació utilitzant la metodologia introduïda a [2]. Com a aplicació d'aquests resultats, deduïrem l'existència de moments per a les solucions d'equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Brownià fraccionari amb paràmetre de Hurst H pertany a (1/3, ½).Obtindrem, finalment, una estimació per la norma del suprem de la derivada de Malliavin de la solució de l'equació anterior. Aquests resultats generalitzen el treball de Hu i Nualart [1] pel cas H > 1/2.REFERÈNCIES:[1] Hu, Y.; Nualart, D. "Differential equations driven by Hölder continuous functions of order greater than ½. Stochastic analysis and applications", 399-413, Abel Symp., 2, Springer, Berlin, 2007.[2] Hu, Y.; Nualart, D. "Rough path analysis via fractional calculus". Transactions of the American Mathematical Society 361, (2009), 2689-2718.[3] Nualart, D.; Răşcanu, A. "Differential equations driven by fractional Brownian motion". Collect. Math. 53 (2002) 55-81. / "Stochastic Differential Equations driven by a fractional Brownian Motion"By Mireia Besaló i MayolTEXT:This dissertation is devoted to the presentation of three contributions to the study of differential stochastic equations driven by a fractional Brownian motion.The first equation we study is an stochastic delay differential equation with reflection and non-negativity constraints. The second equation we work with is an stochastic Volterra equation on R(d). For that equation, like for the first one, we will prove the existence and uniqueness of solution, and we also prove the solution has finite moments. Our results include as a particular case the results obtained by Nualart and Răşcanu in [2].Finally, the last contribution it is about this d-dimensional differential equation dx(t) = f(x(t))dy(t), where the control function "y" is non-differenciable but is B-Hölder continuous. If B>1/2, one way to study these equations is the one used in [2]. That method has been extended by Hu and Nualart [1] to the case B belongs to (1/3, ½)For that equation we obtain precise estimates of the supremum norm of the solution of the equation. As an application of these results, we deduce the existence of moments and an estimate of the supremum norm of the Malliavin derivative of the solution of stochastic differential equations driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter H belongs to (1/3, ½). REFERENCES:[1] Hu, Y.; Nualart, D. "Rough path analysis via fractional calculus". Transactions of the American Mathematical Society 361, (2009), 2689-2718.[2] Nualart, D.; Răşcanu, A. "Differential equations driven by fractional Brownian motion". Collect. Math. 53 (2002) 55-81.