Neste trabalho, fazemos um estudo das correntes e das medidas transversas invariantes por holonomia, e mostraremos o resultado de D. Sullivan [23] sobre a correspondência biunívoca entre estes dois objetos. Em particular mostraremos um resultado conhecido de J. Plante [17] sobre a existência de medidas transversas invariantes sob a hipótese de crescimento sub-exponencial. Apresentamos também, o resultado devido a Ruelle-Sullivan [19] de que a medida de máxima entropia de um difeomorfismo topologicamente mixing pode-se expressar como o produto de duas medidas transversas invariantes para as folheações estáveis e instáveis. Por último, mostramos que os difeomorfismos de Anosov topologicamente mixing, que preservam a orientação das folhas estáveis e folhas instáveis induzem elementos da cohomologia de DeRham / In this work, we make a study of currents and holonomy invariant transverse measure, and we will show the result of D. Sullivan [23] about the biunivocal correspondence between these two objects. In particular we show a known result of J. Plante [17] about the existence of invariant transverse measures under the hypothesis of sub-exponential growth. Also we will present, the result due to Ruelle-Sullivan [19] that the maximum entropy measure of a diffeomorphism topologically mixing can be expressed as the product of two invariant transverse measures for stable and unstable foliations. Finally, we show that the Anosov diffeomorphisms topologically mixing, which preserve the orientation of the leaves stable and unstable induce elements DeRham cohomology

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-23T01:07:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Villapouca_MarianaGesualdi_D.pdf: 1687322 bytes, checksum: 9557d400e3eadbf12a6a305e0219b2cb (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Este trabalho tem como foco o estudo do índice de Conley discreto e do par de matrizes de conexão para difeomorfismos fitted Smale em variedades compactas. Foi estabelecido um teorema que apresenta o cálculo do índice de Conley de conjuntos básicos zero - dimensionais usando a informação dinâmica contida nas matrizes de estrutura associadas. A classificação do índice de Conley homológico reduzido de conjuntos básicos zero - dimensionais, utilizando a sua forma de Jordan real foi apresentada. Estabelecemos uma caracterização de pares de matrizes de conexão para decomposições de Morse em conjuntos básicos zero - dimensionais para uma classe de difeomorfismos fitted Smale / Abstract: Our focus in this thesis was on the further development of the discrete Conley index theory with the aim of addressing questions on the pair of connection matrices for fitted Smale diffeomorphisms on compact manifolds. A theorem was established where the computation of the discrete Conley index for zero dimensional basic sets was given with respect to the dynamical information contained in the associated structure matrices. A classification of the reduced homology Conley index of a zero dimensional basic set in terms of its Jordan real form is presented. A characterization of a pair of connection matrices for a Morse decomposition of zero dimensional basic sets of a class of fitted Smale diffeomorphisms is established / Doutorado / Matematica / Doutora em Matemática

Orientadores: Alcibiades Rigas, Carlos Eduardo Duran Fernandez / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-20T13:56:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Speranca_LlohamDallagnol_D.pdf: 994466 bytes, checksum: 472919d7eec0f563b673a0307450dc49 (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Nesse trabalho estudaremos a geometria e a topologia de algumas variedades homeomorfas, porém não difeomorfas, à esfera padrão Sn, chamadas esferas exóticas. Realizaremos duas dessas variedades como quocientes isométricos de fibrados principais com métricas de conexão sobre esferas de curvatura constante. Através disso, apresentaremos simetrias desses espaços e exemplos explícitos de difeomorfismos não isotópicos a identidade, usando-os para o cálculo de grupos de homotopia equivariante. Como mais uma aplicação dessa construção, provaremos que, se uma esfera homotópica de dimensão 15 é realizável como um fibrado linear sobre S8, então a mesma esfera é realizável como um fibrado linear sobre a esfera exótica de dimensão 8 com as mesmas funções de transição. No ultimo capítulo lidaremos com a geometria de fibrados induzidos, deduzindo uma condição necessária sobre a função indutora para que a métrica da conexão induzida tenha curvatura seccional não-negativa / Abstract: In this work we study the geometry and topology of manifolds homemorphic, but not diffeomorphic, to the standard sphere Sn, the so called exotic spheres. We realize two of these manifolds as isometric quotients of principal bundles with connection metrics over the constant curved sphere. Through this, we present symmetries in these spaces and explicit examples of diffeomorphisms not isotopic to the identity, using them for the calculation of equivariant homotopy groups. As another application, we prove that, if a homotopy 15-sphere is realizeble as the total space of a linear bundle over the standard 8-sphere, then, it is realizeble as the total space of a linear bundle over the exotic 8-sphere with the same transition maps. In the last chapter we deal with the geometry of pull-back bundles, deducing a necessary condition on the pull-back map for nonnegative curvature of the induced connection metric / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

We address the problem of existence and uniqueness (or finiteness) of ergodic equilibrium states for a natural class of partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to Anosov. We propose to study the disintegration of equilibrium states along the central foliation as a tool to develop the theory of equilibrium states for partially hyperbolic dynamics. For a large class of low variational potentials we obtain existence and uniqueness of the equilibrium state and we also obtain a dichotomy between finiteness of ergodic equilibrium states and hyperbolicity of such measures. We also prove that the measure of maximal entropy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-manifold having compact center leaves can be written locally as the product of three measures defined on the local stable, central and unstable foliations provided that such measure is unique. We verify that the local product structure does not hold when the number of measures of maximal entropy is larger than one. / Abordamos o problema de existência e unicidade (ou finitude) dos estados de equilíbrio ergódicos para uma classe natural de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos homotópicos a um Anosov. Propomos estudar a desintegração dos estados de equilíbrio ao longo da folheação central como uma ferramenta para desenvolver a teoria de estados de equilíbrio para sistemas parcialmente hiperbólicos. Para uma classe de potenciais com variação pequena obtemos existência e unicidade de estados de equilíbrio e também obtemos uma dicotomia entre finitude dos estados de equilíbrio ergódicos e hiperbolicidade de tais medidas. Obtemos também que as medidas de máxima entropia para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos acessíveis definidos numa 3-variedade tendo folhas centrais compactas podem ser escritas localmente como o produto de três medidas definidas nas folheações stável, central e instável locais sempre que tal medida é única. Verificamos que a estrutura de produto local não é valida quando o número de medidas de máxima entropia é maior que um.

We address the problem of existence and uniqueness (or finiteness) of ergodic equilibrium states for a natural class of partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to Anosov. We propose to study the disintegration of equilibrium states along the central foliation as a tool to develop the theory of equilibrium states for partially hyperbolic dynamics. For a large class of low variational potentials we obtain existence and uniqueness of the equilibrium state and we also obtain a dichotomy between finiteness of ergodic equilibrium states and hyperbolicity of such measures. We also prove that the measure of maximal entropy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-manifold having compact center leaves can be written locally as the product of three measures defined on the local stable, central and unstable foliations provided that such measure is unique. We verify that the local product structure does not hold when the number of measures of maximal entropy is larger than one. / Abordamos o problema de existência e unicidade (ou finitude) dos estados de equilíbrio ergódicos para uma classe natural de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos homotópicos a um Anosov. Propomos estudar a desintegração dos estados de equilíbrio ao longo da folheação central como uma ferramenta para desenvolver a teoria de estados de equilíbrio para sistemas parcialmente hiperbólicos. Para uma classe de potenciais com variação pequena obtemos existência e unicidade de estados de equilíbrio e também obtemos uma dicotomia entre finitude dos estados de equilíbrio ergódicos e hiperbolicidade de tais medidas. Obtemos também que as medidas de máxima entropia para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos acessíveis definidos numa 3-variedade tendo folhas centrais compactas podem ser escritas localmente como o produto de três medidas definidas nas folheações stável, central e instável locais sempre que tal medida é única. Verificamos que a estrutura de produto local não é valida quando o número de medidas de máxima entropia é maior que um.