Aquesta tesi es situa en el marc de la teoria qualitativa dels sistemes diferencials en el pla. Cada capítol conté un aspecte diferent. A la introducció, es dóna un resum dels resultats més coneguts i s'hi introdueix la notació que es fa servir al llarg de la tesi. En particular, descrivim el problema de la integrabilitat i alguns resultats sobre la determinació de l'estabilitat d'un punt singular o d'una òrbita periòdica a fi de presentar els darrers capítols. El problema de la integrabilitat es defineix com el problema de trobar la integral primera d'un sistema d'equacions diferencials en el pla i determinar la classe funcional a la qual pertany. Els Capítols 2 i 3 tracten el problema de la integrabilitat.En el Capítol 2 donem un resultat que permet trobar una expressió explícita per a una integral primera d'un cert tipus de sistemes polinomials. Mitjançant un canvi racional de variables, fem correspondre a una equació diferencial lineal homogènia de segon ordre: A2(x) w'(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, els coeficients de la qual són polinomials, a un sistema diferencial polinomial pla. Provem que aquest sistema té un invariant per a cada solució arbitrària no nul·la w(x) de l'edo de segon ordre, que, quan w(x) és un polinomi, dóna lloc a una corba algebraica invariant. A més, donem una expressió explícita per a una integral primera del sistema construïda a partir de dues solucions independents de l'edo de segon ordre. Aquesta integral primera no és, en general, una funció Liouvilliana. Finalment, verifiquem que tots els exemples coneguts de famílies de sistemes quadràtics amb una corba algebraica invariant de grau arbitràriament alt es poden descriure mitjançant aquesta construcció (mòdul transformacions birracionals).En el Capítol 3, les corbes algebraiques invariants d'un sistema diferencial polinomial pla juguen el paper fonamental. Si un sistema diferencial polinomial pla té una corba algebraica invariant irreductible, aleshores els valors del seu cofactor en cadascun dels punts singulars no degenerats estan determinats. De fet, aquest valor es una combinació lineal a coeficients naturals dels valors propis associats al punt singular no degenerat. Aquests coeficients naturals es poden determinar completament en alguns casos depenent de la natura del punt singular. Així mateix, els punts de l'infinit també es poden tenir en compte. Un cop considerem el sistema en el pla projectiu complex, el grau d'una corba algebraica invariant esdevé un paràmetre del seu cofactor. Si considerem un sistema de grau d, aleshores té d^2 + d + 1 punts singulars (comptats amb la seva multiplicitat) i el cofactor d'una corba algebraica invariant té grau pel cap alt d-1. Procedim de la manera següent: prenem un polinomi de grau d-1 amb els seus d(d+1)/2 coeficients arbitraris i suposem que és el cofactor d'una corba algebraica invariant irreductible de grau n. Aleshores, imposem totes les condicions que ens donen els punts singulars no degenerats. En el cas general, imposem d^2 + d +1 condicions i, així, podem determinar completament el cofactor i el grau de la corba, l'existència de la qual es pot determinar resolent un sistema d'equacions lineal, o trobem una condició d'incompatibilitat. D'aquesta manera, en general, podem determinar l'existència de totes les corbes algebraiques invariants d'un sistema.El Capítol 4 tracta sobre l'estabilitat d'una òrbita periòdica d'un sistema diferencial pla. Suposem que f(x,y)=0 és una corba invariant irreductible amb cofactor que conté l'òrbita periòdica. Provem que les integrals sobre l'òrbita periòdica de la divergència i del cofactor coincideixen. Així, podem decidir sobre l'estabilitat de l'òrbita periòdica mitjançant la integració del cofactor sobre aquesta. En el Capítol 5, donem una aplicació dels resultats descrits en els Capítols 3 i 4. Considerem els sistemes quadràtics amb un cicle límit algebraic coneguts fins al moment de la redacció d'aquesta tesi. Aquest cicles límit algebraics estan continguts en corbes algebraiques invariants de graus 2, 4, 5 i 6 i algunes d'aquestes famílies de sistemes quadràtics son birracionalment equivalents. Aplicant el mètode descrit en el Capítol 3, mostrem que la corba algebraica invariant que conté el cicle límit es l'única corba algebraica invariant del sistema. Aprofitem aquest resultat per provar que aquests sistemes no tenen integral primera Liouvilliana. I aplicant la formula donada en el Capítol 4, provem que aquests cicles límit algebraics son hiperbòlics. El Capítol 6 tracta sobre l'estudi i les propietats de la funció període associada a un punt singular amb part lineal de tipus centre-focus. Com que el punt singular és sempre monodròmic, donada una secció transversal al flux amb el punt singular com a extrem, podem definir l'aplicació de Poincaré i la funció període associades a la secció. Diem que el punt és isòcron si podem trobar una secció tal que la seva funció període associada és constant. Aquesta definició generalitza la definició usual donada per centres a punts singulars qualssevol amb part lineal de tipus centre-focus. Caracteritzem aquesta propietat mitjançant simetries de Lie i formes normals, tot generalitzant els procediments coneguts per centres. Així mateix, donem un exemple d'una família de sistemes depenent d'un paràmetre real, tals que el seu origen és un punt singular amb part lineal de tipus centre-focus i que mai no és un punt isòcron. / Esta tesis se sitúa en el marco de la teoría cualitativa de los sistemas diferenciales en el plano. Cada capítulo contiene un aspecto distinto. En la introducción, se da un resumen de los resultados conocidos y se presenta la notación usada durante el resto de la tesis. En particular, se describe el problema de la integrabilidad y algunos resultados referentes a la determinación de la estabilidad de un punto singular o una órbita periódica con el fin de introducir los últimos capítulos. Definimos el problema de la integrabilidad como el problema de encontrar una integral primera para un sistema diferencial plano y determinar la clase funcional a la cual ésta debe pertenecer. Los Capítulos 2 y 3 tratan sobre el problema de la integrabilidad. En el Capítulo 2, obtenemos un resultado que permite encontrar una expresión explícita para una integral primera para un cierto tipo de sistema polinomial. Mediante un cambio racional de variable, hacemos corresponder una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: A2 (x) w'(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, cuyos coeficientes son polinomios, a un sistema diferencial polinomial en el plano. Probamos que dicho sistema tiene un invariante para cada solución arbitraria no nula w(x) de la edo de segundo orden, que, en caso que w(x) sea un polinomio, da lugar a una curva algebraica invariante. Además, damos una expresión explícita de una integral primera para el sistema construida a partir de dos soluciones independientes de la edo de segundo orden. Esta integral primera no es, en general, una función Liouvilliana. Finalmente, verificamos que todos los ejemplos conocidos de familias de sistemas cuadráticos con una curva algebraica invariante de grado arbitrariamente alto se pueden describir mediante esta construcción (módulo transformaciones birracionales).En el Capítulo 3, las curvas algebraicas invariantes de un sistema diferencial plano polinomial juegan un papel fundamental. Si una curva algebraica invariante e irreducible existe para un sistema polinomial plano, entonces los valores de su cofactor en cada punto singular no degenerado están determinados. De hecho, este valor es una combinación lineal a coeficientes naturales de los valores propios asociados al punto singular no degenerado. Estos coeficientes naturales se pueden determinar completamente según la naturaleza del punto singular. Además, también podemos considerar los puntos del infinito. Una vez que el sistema se considera en el plano proyectivo complejo, el grado de una curva algebraica invariante deviene un parámetro de su cofactor. Si consideramos un sistema de grado d, entonces tiene d^2 + d + 1 puntos singulares (contados con su multiplicidad) y el cofactor de una curva algebraica invariante es un polinomio de grado a lo sumo d-1. Procedemos de la manera siguiente: tomamos un polinomio de grado d-1 con sus d(d+1)/2 coeficientes arbitrarios y suponemos que es el cofactor de una curva algebraica invariante e irreducible de grado n. Entonces, imponemos todas las condiciones dadas por los puntos singulares no degenerados. En el caso general, imponemos d^2 + d + 1 condiciones y, en consecuencia, determinamos completamente el cofactor y el grado de la curva, cuya existencia puede ser determinada resolviendo un sistema lineal de ecuaciones, o mostramos una condición de incompatibilidad. Por tanto, podemos determinar la existencia de todas las curvas algebraicas invariantes para un sistema general. El Capítulo 4 trata sobre la estabilidad de una órbita periódica de un sistema diferencial plano. Suponemos que f(x,y)=0 es una curva invariante e irreducible con cofactor que contiene la órbita periódica. Probamos que las integrales sobre la órbita periódica de la divergencia y del cofactor coinciden. De aquí que podamos deducir la estabilidad de una órbita periódica mediante la integración del cofactor sobre ésta. En el Capítulo 5, describimos una aplicación de los resultados dados en los Capítulos 3 y 4. Consideramos los sistemas cuadráticos con un ciclo límite algebraico conocidos hasta la redacción de esta tesis. Estos ciclos límite algebraicos están contenidos en curvas algebraicas invariantes de grados 2, 4, 5 y 6 y algunas de estas familias de sistemas cuadráticos son birracionalmente equivalentes. Aplicando el método descrito en el Capítulo 3, mostramos que no existe ninguna curva algebraica invariante excepto la que contiene el ciclo límite. Aprovechamos este resultado para mostrar que estos sistemas no tienen integral primera Liouvilliana. Y, aplicando la formula dada en el Capítulo 4, probamos que estos ciclos límite algebraicos son hiperbólicos. El Capítulo 6 trata sobre el estudio de las propiedades de la función periodo asociada a un punto singular con parte lineal de tipo centro-foco. Dada una sección transversal al flujo con dicho punto singular por extremo, podemos definir la aplicación de Poincaré y la función periodo asociadas a esta sección puesto que este punto es siempre monodrómico. Decimos que este punto es isócrono si podemos encontrar una sección tal que la función periodo asociada a ella sea constante. Esta definición generaliza la definición usual dada para centros a cualquier punto singular con parte lineal de tipo centro-foco. Caracterizamos esta propiedad mediante simetrías de Lie y formas normales, generalizando los procedimientos conocidos para centros. Además, damos un ejemplo de una familia de sistemas que dependen de un parámetro real, tales que el origen es un punto singular con parte lineal de tipo centro-foco y que nunca es un punto isócrono. / This thesis is situated in the framework of the qualitative theory of differential systems in the plane. Each chapter contains a different topic. In the introduction, a summary of known results is given and the notation used through the rest of the memory is presented. In particular, we describe the integrability problem and some results concerning the determination of the stability of a singular point or a periodic orbit in order to introduce the latest chapters. We define the integrability problem as the problem of finding a first integral for a planar differential system and determining the functional class it must belong to. Chapters 2 and 3 are concerned with the integrability problem. In Chapter 2, we obtain a result which allows to find an explicit expression for a first integral of a certain type of polynomial system. By means of a rational change of variable, we make correspond the homogenous second order linear differential equation: A2 (x) w'(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, whose coefficients are polynomials, to a planar polynomial differential system. We prove that this system has an invariant for each arbitrary nonnull solution w(x) of the second-order ode, which, in case w(x) is a polynomial, gives rise to an invariant algebraic curve. In addition, we give an explicit expression of a first integral for the system constructed from two independent solutions of the second order ode. This first integral is not, in general, a Liouvillian function. Finally, we verify that all the known examples of families of quadratic systems with an invariant algebraic curve of arbitrarily high degree can be described by this construction (modulus birrational transformations). In Chapter 3, invariant algebraic curves of a planar polynomial differential system play the fundamental role. If an irreducible invariant algebraic curve for a planar polynomial differential system exists, then the values of its cofactor at each non-degenerate singular point are determined. In fact, this value is a linear combination with natural coefficients of the eigenvalues associated to the non-degenerate singular point. These natural coefficients can be completely determined in some cases depending on the nature of the singular point. Moreover, the points at infinity can also be taken into account. Once the system is considered in the projective complex plane, the degree of an invariant algebraic curve becomes a parameter of its cofactor. If we consider a system of degree d, then it has d^2 + d + 1 singular points (counted with multiplicity) and the cofactor of an invariant algebraic curve is a polynomial of degree at most d-1. We proceed as follows: we take a polynomial of degree d-1 with its d(d+1)/2 arbitrary coefficients and we assume that it is the cofactor of an irreducible invariant algebraic curve of degree n. Then, we impose all the conditions given by the non-degenerate singular points. In the general case, we impose d^2 + d + 1 conditions and, hence, we completely determine the cofactor and the degree of the curve, whose existence can be determined by solving a linear system of equations, or we show an incompatibility condition. Therefore, we can determine the existence of all the invariant algebraic curves of a general system.Chapter 4 is about the stability of a periodic orbit of a planar differential system. We assume that f(x,y)=0 is a real irreducible invariant curve with cofactor which contains the periodic orbit. We prove that the integrals over the periodic orbit of the divergence and the cofactor coincide. Hence, we can decide the stability of a periodic orbit by means of the integration of the cofactor over it. In Chapter 5, we describe an application of the results given in Chapters 3 and 4. We consider the quadratic systems with an algebraic limit cycle known until the composition of this thesis. These algebraic limit cycles are contained in invariant algebraic curves of degrees 2, 4, 5 and 6 and there are some of these families of quadratic systems which are birrationally equivalent one to the other. Applying the method given in Chapter 3, we show that there is no other irreducible invariant algebraic curve that the one which contains the limit cycle. We take profit from this result to show that these systems have no Liouvillian first integral. And applying the formula given in Chapter 4, we prove that these algebraic limit cycles are hyperbolic.Chapter 6 is devoted to the study of the properties of the period function associated to a singular point with linear part of centre-focus type. Given a section through the flow with such a singular point as endpoint, we can define the Poincaré map and the period function associated to this section since this point is always monodromic. We say that this point is isochronous if we can find a section such that the period function associated to it is constant. This definition generalizes the usual definition given for centres to any singular point with linear part of centre-focus type. We characterize this property by means of Lie symmetries and normal forms, generalizing the known procedures for centres. Moreover, we provide an example of a family of systems depending on a real parameter, such that the origin is a singular point with linear part of centre-focus type and which is never an isochronous point. / Cette thèse de doctorat traite sur la théorie qualitative des systèmes différentiels planaires. Chaque chapitre contient un sujet différent. Dans l'introduction, un sommaire des résultats connus est donné et la notation utilisée dans le reste du mémoire est présentée. En particulier, nous décrivons le problème de l'intégrabilité et quelques résultats concernant la détermination de la stabilité d'un point singulier ou d'une orbite périodique afin de présenter les derniers chapitres. Nous définissons le problème de l'intégrabilité comme le problème de trouver une intégrale première pour un système différentiel planaire et de déterminer la classe fonctionnelle à la quelle elle doit appartenir. Les Chapitres 2 et 3 traitent du problème de l'intégrabilité. Au Chapitre 2, nous obtenons un résultat permettant de trouver une expression explicite pour une intégrale première d'un certain type de système polynomial. Au moyen d'un changement rationnel de variables, nous faisons correspondre l'équation linéaire du deuxième degré: A2(x) w''(x) + A1(x) w'(x) + A0(x) w(x) = 0, dont les coefficients sont des polynômes, à un système différentiel polynomial planaire. Nous montrons que ce système a un invariant pour chaque solution arbitraire w(x) différent de zéro de l'équation considérée, qui, dans le cas où le w(x) serait un polynôme, est une courbe algébrique invariante. De plus, nous donnons une expression explicite d'une intégrale première pour le système construite à partir de deux solutions indépendantes de l'edo du deuxième degré. Cette intégrale première n'est pas, en général, une fonction de Liouville. En conclusion, nous vérifions que tous les exemples connus des familles des systèmes quadratiques avec une courbe algébrique invariante de degré arbitrairement élevé peuvent être décrits par cette construction (modulo des transformations birationnelles). Au Chapitre 3, les courbes algébriques invariantes d'un système différentiel polynomial planaire jouent le rôle fondamental. Si une courbe algébrique invariante et irréductible existe pour un système différentiel polynomial planaire, alors les valeurs de son cofacteur à chaque point singulier non dégénéré sont déterminées. En fait, cette valeur est une combinaison linéaire avec des coefficients naturels des valeurs propres associées au point singulier non dégénéré. Ces coefficients naturels peuvent être complètement déterminés dans certains cas selon la nature du point singulier. De plus, les points à l'infini peuvent également être pris en considération. Une fois que le système est considéré dans le plan projectif complexe, le degré d'une courbe algébrique invariante devient un paramètre de son cofacteur. Si nous considérons un système de degré d, alors il y a d^2 + d + 1 points singuliers (comptés avec sa multiplicité) et le cofacteur d'une courbe algébrique invariante est un polynôme de degré au plus d-1. Nous opérons comme suit: nous prenons un polynôme de degré d-1 avec ses d(d+1)/2 coefficients arbitraires et nous supposons que c'est le cofacteur d'une courbe algébrique invariante et irréductible de degré n. Nous imposons alors toutes les conditions données par les points singuliers non dégénérés. Dans le cas général, nous imposons d^2 + d + 1 conditions et, par conséquent, nous déterminons complètement le cofacteur et le degré de la courbe, dont l'existence peut être déterminée en résolvant un système linéaire d'équations, ou bien nous prouvons l'incompatibilité d'une condition. Par conséquent, nous pouvons déterminer l'existence de toutes les courbes algébriques invariantes d'un système général. Le sujet du Chapitre 4 est la stabilité d'une orbite périodique d'un système différentiel planaire. Nous supposons que f(x,y)=0 est une courbe invariante irréductible réelle avec cofacteur qui contient l'orbite périodique. Nous montrons que les intégrales sur l'orbite périodique de la divergence et le cofacteur coïncident. Par conséquent, nous pouvons déterminer la stabilité d'une orbite périodique en intégrant le cofacteur sur celle-ci.Dans le Chapitre 5, nous décrivons une application des résultats donnés aux Chapitres 3 et 4. Nous considérons les systèmes quadratiques avec un cycle limite algébrique connus jusqu'alors. Ces cycles limites algébriques sont contenus dans des courbes algébriques invariantes de degrés 2, 4, 5 et 6 et il existe certaines de ces familles de systèmes quadratiques qui sont birationnellement équivalentes. Appliquant la méthode exposée au Chapitre 3, nous prouvons qu'il n'y a aucune autre courbe algébrique invariante et irréductible différente à celle qui contient le cycle limite. Ceci nous permet de prouver que ces systèmes n'ont aucune intégrale première de Liouville. En appliquant la formule donnée au Chapitre 4, nous montrons que ces cycles limites algébriques sont hyperboliques. Le Chapitre 6 est consacré à l'étude des propriétés de la fonction de période associée à un point singulier dont la partie linéaire est de type centre-foyer. Etant donnée une section du flux avec tel point singulier comme point final, nous pouvons définir l'application de Poincaré et la fonction de période associée à cette section puisque ce point est toujours monodromique. Nous disons que ce point est isochronique si nous pouvons trouver une section telle que la fonction de période associée à elle est constante. Cette définition généralise la définition habituelle donnée pour des centres à n'importe quel point singulier dont la partie linéaire est de type centre-foyer. Nous caractérisons cette propriété au moyen des symétries de Lie et des formes normales, généralisant les procédures connues pour des centres. De plus, nous donnons un exemple d'une famille de systèmes avec un paramètre réel, telle que l'origine est un point singulier dont la partie linéaire est de type centre-foyer et qui n'est jamais un point isochronique.

<p>A GL(2,R)-structure on a smooth manifold of dimension n+1 corresponds to a distribution of non-degenerate rational normal cones over the manifold. Such a structure is called k-integrable if there exist many foliations by submanifolds of dimension k whose tangent spaces are spanned by vectors in the cones.</p><p>This structure was first studied by Bryant for n=3 and k=2. The work included here (n=4 and k=2,3) was suggested by Ferapontov, et al., who showed that the cases (n=4,k=2) and (n=4, k=3) can arise from integrability of second-order PDEs via hydrodynamic reductions.</p><p>Cartan--Kahler analysis for n=4 and k=3 leads to a complete classification of local structures into 54 equivalence classes determined by the value of an essential 9-dimensional representation of torsion for the GL(2,R)-structure. These classes are described by the factorization root-types of real binary octic polynomials. Each of these classes must arise from a PDE, but the PDEs remain to be identified. </p><p>Also, we study the local problem for n >= 5 and k=2,3 and conjecture that similar classifications exist for these cases; however, the interesting integrability results are essentially unique to degree 4. The approach is that of moving frames, using Cartan's method of equivalence, the Cartan--Kahler theorem, and Cartan's structure theorem.</p> / Dissertation

Calculus of variation on finite dimensional manifolds via exterior differential systems were expounded in the books of Sternberg, Bryant and Griffiths. Here we plan to extend the theory of exterior differential systems and study the applications to calculus of variation on Hilbert manifolds.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第20880号 / 理博第4332号 / 新制||理||1622(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 堤 誉志雄, 教授 上 正明, 教授 宍倉 光広 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Nesta tese estudamos um dos principais problemas na teoria qualitativa das equações diferenciais planares: o problema de determinar a bacia de atração de um ponto de equilíbrio. Damos uma prova rigorosa de que para sistemas lineares por partes de costura com duas zonas no plano, definidas por matrizes Hurwitz o único ponto de equilíbrio na reta de separação é globalmente assintoticamente estável. Por outro lado, provamos que nesta classe de sistemas, podemos ter um ponto de equilíbrio instável na origem quando uma curva poligonal separa as zonas, levando a um resultado contra-intuitivo do comportamento dinâmico de sistemas lineares por partes no plano. Além disso, estudamos os ciclos limites em perturbações suaves por partes de centros Hamiltonianos. Neste cenário, é comum adaptar resultados clássicos de sistemas suaves, como funções de Melnikov, para sistemas não-suaves. No entanto, existe pouca justificativa para este procedimento na literatura. Ao utilizar o método de regularização damos uma prova que suporta o uso de funções de Melnikov diretamente do problema não-suave original. / In this thesis we study one of the main problems in the qualitative theory of planar differential equations: the problem of determining the basin of attraction of an equilibrium point. We give a rigorous proof that for planar sewing piecewise linear systems with two zones, defined by Hurwitz matrices the unique equilibrium point in the separation straight line is globally asymptotically stable. On the other hand, we prove that sewing piecewise linear systems with two zones in the plane, defined by Hurwitz matrices can have one unstable equilibrium point at the origin allowing a broken line to separate the zones, leading to counterintuitive dynamical behaviors of simple piecewise linear systems in the plane. Furthermore, we study limit cycles in piecewise smooth perturbations of Hamiltonians centers. In this setting it is common to adapt classical results for smooth systems, like Melnikov functions, to non-smooth ones. However, there is little justification for this procedure in the literature. By using the regularization method we give a proof that supports the use of Melnikov functions directly from the original non-smooth problem.

Nesta tese estudamos um dos principais problemas na teoria qualitativa das equações diferenciais planares: o problema de determinar a bacia de atração de um ponto de equilíbrio. Damos uma prova rigorosa de que para sistemas lineares por partes de costura com duas zonas no plano, definidas por matrizes Hurwitz o único ponto de equilíbrio na reta de separação é globalmente assintoticamente estável. Por outro lado, provamos que nesta classe de sistemas, podemos ter um ponto de equilíbrio instável na origem quando uma curva poligonal separa as zonas, levando a um resultado contra-intuitivo do comportamento dinâmico de sistemas lineares por partes no plano. Além disso, estudamos os ciclos limites em perturbações suaves por partes de centros Hamiltonianos. Neste cenário, é comum adaptar resultados clássicos de sistemas suaves, como funções de Melnikov, para sistemas não-suaves. No entanto, existe pouca justificativa para este procedimento na literatura. Ao utilizar o método de regularização damos uma prova que suporta o uso de funções de Melnikov diretamente do problema não-suave original. / In this thesis we study one of the main problems in the qualitative theory of planar differential equations: the problem of determining the basin of attraction of an equilibrium point. We give a rigorous proof that for planar sewing piecewise linear systems with two zones, defined by Hurwitz matrices the unique equilibrium point in the separation straight line is globally asymptotically stable. On the other hand, we prove that sewing piecewise linear systems with two zones in the plane, defined by Hurwitz matrices can have one unstable equilibrium point at the origin allowing a broken line to separate the zones, leading to counterintuitive dynamical behaviors of simple piecewise linear systems in the plane. Furthermore, we study limit cycles in piecewise smooth perturbations of Hamiltonians centers. In this setting it is common to adapt classical results for smooth systems, like Melnikov functions, to non-smooth ones. However, there is little justification for this procedure in the literature. By using the regularization method we give a proof that supports the use of Melnikov functions directly from the original non-smooth problem.

Ce travail présente des modèles d'écoulement en temps continu de flux de trafic routier. En premier lieu, il s'agit de modèles microscopiques de poursuite. Un modèle par systèmes d'équations différentielles couplées est proposé, basé sur le temps inter-véhiculaire. Ce modèle intègre un temps de réaction et des possibilités d'anticipation pour chaque véhicule. Les paramètres sont estimés par maximum de vraisemblance dans un modèle statistique à deux niveaux. Des simulations permettent de caractériser le comportement d'une file de véhicules. Dans une approche stochastique, un modèle d'évolution de la distance inter-véhiculaire est étudié à l'aide du processus Markovien de saut zero-range. L'introduction d'un temps de réaction tend à produire des ondes cinématiques. D'autre part, un modèle d'écoulement de trafic par le processus Markovien de saut des misanthropes est proposé. Il s'agit d'une modélisation au niveau mésoscopique, adaptée à la simulation de flux de trafic sur un réseau / This work presents different continuous-time traffic flow models. Microscopic models are considered first. A model by coupled differential equation system is proposed, based on the time gap. It incorporates a reaction time parameter and some anticipation possibilities, for each vehicle. The parameters are estimated by maximum likelihood over a two-level statistical model. Simulations allow to characterise the behaviour of a vehicles line. In a stochastic approach, a model of the distance gap evolution is studied with a zero-range process. The introduction of a reaction time parameter produces kinematics waves. On the other hand, traffic flow model by a misanthropes process is proposed. It is a mesoscopic approach, adapted to the simulation of traffic flow on a network

Este trabalho apresenta três sistemas de controle distintos para a atuação em sistemas de tração elétrica traseira em veículos de passeio convencionais convertidos em VEHs (Veículos Elétricos Híbridos) 4x4, enfocando o desenvolvimento de um sistema diferencial eletrônico (SDE). As principais arquiteturas de veículos híbridos são apresentadas. O SDE, que atua em tempo de execução nas velocidades angulares dos pneumáticos traseiros em manobras variadas, depende dos sinais de esterçamento e aceleração impostos pelo condutor, considerando as modelagens cinemática e dinâmica do veiculo no cálculo dos valores de referência para o controlador. Controladores PID modificado, neurofuzzy baseado em inteligência artificial e um H-Infinito ótimo são projetados e detalhados. Uma nova arquitetura para o SDE é proposta e apresentada, visando a utilização de sistemas de controle robustos no problema do SDE, traçando-se um paralelo entre o seu desempenho e das arquiteturas convencionais quando o controlador H-Infinito ótimo assume o controle do SDE. O projeto e o desenvolvimento de um mini-VEH, a plataforma HELVIS (Hybrid ELectric Vehicle In low Scale), são apresentados. A implementação de um simulador veicular denominado HELVIS-SIM, inspirado na plataforma HELVIS, é também apresentada. O SDE, que compreende a arquitetura proposta e os controladores, são embarcados e também implementados no HELVIS-SIM. Resultados simulados obtidos no HELVIS-SIM são analisados. Testes experimentais do SDE na plataforma HELVIS são apresentados, considerando apenas testes de bancada sem o contato dos pneumáticos com o solo. / This work presents the development of three distinct control systems to rear electric traction control on conventional touring vehicles converted on 4WD (four-wheel drive) hybrid electric vehicles (HEVs), focusing on the design of a EDS (Electronic Differential System). Main HEV architectures are presented. The EDS controls the rear wheels angular speeds as the driver inputs steering and acceleration commands, considering both dynamic and kinematic models of the vehicle and so the actuators on the calculus of the desired rear angular speeds. One modied PID controller, one AI (Articial Intelligence) based controller and one robust optimal H \'infinite\' controller are designed and outlined. A new EDS architecture is proposed and presented, aimming the use of robust controllers to the EDS problem, comparing the use of the H \'infinite\' optimal controller to conventional EDS architectures. The design of a mini-HEV, the HELVIS (Hybrid ELectric Vehicle In low Scale) platform is also presented. The implementation of a parametric vehicular simulator, the HELVIS-SIM, is discussed. The EDS, which represents the controllers and the proposed architecture, is evaluated on the HELVIS platform and on the HELVIS-SIM. Simulated results are rst run in the HELVIS-SIM. Experimental results of the EDS tests are presented exclusively considering the evaluation on a bench test, without any contact of the platform with the pavement.

Este trabalho apresenta três sistemas de controle distintos para a atuação em sistemas de tração elétrica traseira em veículos de passeio convencionais convertidos em VEHs (Veículos Elétricos Híbridos) 4x4, enfocando o desenvolvimento de um sistema diferencial eletrônico (SDE). As principais arquiteturas de veículos híbridos são apresentadas. O SDE, que atua em tempo de execução nas velocidades angulares dos pneumáticos traseiros em manobras variadas, depende dos sinais de esterçamento e aceleração impostos pelo condutor, considerando as modelagens cinemática e dinâmica do veiculo no cálculo dos valores de referência para o controlador. Controladores PID modificado, neurofuzzy baseado em inteligência artificial e um H-Infinito ótimo são projetados e detalhados. Uma nova arquitetura para o SDE é proposta e apresentada, visando a utilização de sistemas de controle robustos no problema do SDE, traçando-se um paralelo entre o seu desempenho e das arquiteturas convencionais quando o controlador H-Infinito ótimo assume o controle do SDE. O projeto e o desenvolvimento de um mini-VEH, a plataforma HELVIS (Hybrid ELectric Vehicle In low Scale), são apresentados. A implementação de um simulador veicular denominado HELVIS-SIM, inspirado na plataforma HELVIS, é também apresentada. O SDE, que compreende a arquitetura proposta e os controladores, são embarcados e também implementados no HELVIS-SIM. Resultados simulados obtidos no HELVIS-SIM são analisados. Testes experimentais do SDE na plataforma HELVIS são apresentados, considerando apenas testes de bancada sem o contato dos pneumáticos com o solo. / This work presents the development of three distinct control systems to rear electric traction control on conventional touring vehicles converted on 4WD (four-wheel drive) hybrid electric vehicles (HEVs), focusing on the design of a EDS (Electronic Differential System). Main HEV architectures are presented. The EDS controls the rear wheels angular speeds as the driver inputs steering and acceleration commands, considering both dynamic and kinematic models of the vehicle and so the actuators on the calculus of the desired rear angular speeds. One modied PID controller, one AI (Articial Intelligence) based controller and one robust optimal H \'infinite\' controller are designed and outlined. A new EDS architecture is proposed and presented, aimming the use of robust controllers to the EDS problem, comparing the use of the H \'infinite\' optimal controller to conventional EDS architectures. The design of a mini-HEV, the HELVIS (Hybrid ELectric Vehicle In low Scale) platform is also presented. The implementation of a parametric vehicular simulator, the HELVIS-SIM, is discussed. The EDS, which represents the controllers and the proposed architecture, is evaluated on the HELVIS platform and on the HELVIS-SIM. Simulated results are rst run in the HELVIS-SIM. Experimental results of the EDS tests are presented exclusively considering the evaluation on a bench test, without any contact of the platform with the pavement.