Sub-Riemannian geometry is the natural setting for studying dynamical systems, as noise often has a lower dimension than the dynamics it enters. This makes sub-Riemannian geometry an important field of study. In this thesis, we analysis some of the aspects of sub-Riemannian diffusion processes on manifolds. We first focus on studying the small-time asymptotics of sub-Riemannian diffusion bridges. After giving an overview of recent work by Bailleul, Mesnager and Norris on small-time fluctuations for the bridge of a sub-Riemannian diffusion, we show, by providing a specific example, that, unlike in the Riemannian case, small-time fluctuations for sub-Riemannian diffusion bridges can exhibit exotic behaviours, that is, qualitatively different behaviours compared to Brownian bridges. We further extend the analysis by Bailleul, Mesnager and Norris of small-time fluctuations for sub-Riemannian diffusion bridges, which assumes the initial and final positions to lie outside the sub-Riemannian cut locus, to the diagonal and describe the asymptotics of sub-Riemannian diffusion loops. We show that, in a suitable chart and after a suitable rescaling, the small-time diffusion loop measures have a non-degenerate limit, which we identify explicitly in terms of a certain local limit operator. Our analysis also allows us to determine the loop asymptotics under the scaling used to obtain a small-time Gaussian limit for the sub-Riemannian diffusion bridge measures by Bailleul, Mesnager and Norris. In general, these asymptotics are now degenerate and need no longer be Gaussian. We close by reporting on work in progress which aims to understand the behaviour of Brownian motion conditioned to have vanishing $N$th truncated signature in the limit as $N$ tends to infinity. So far, it has led to an analytic proof of the stand-alone result that a Brownian bridge in $\mathbb{R}^d$ from $0$ to $0$ in time $1$ is more likely to stay inside a box centred at the origin than any other Brownian bridge in time $1$.

Yes / This paper compares several widely-used and recently-developed methods to extract risk-neutral densities (RND) from option prices in terms of estimation accuracy. It shows that positive convolution approximation method consistently yields the most accurate RND estimates, and is insensitive to the discreteness of option prices. RND methods are less likely to produce accurate RND estimates when the underlying process incorporates jumps and when estimations are performed on sparse data, especially for short time-to-maturities, though sensitivity to the discreteness of the data differs across different methods.

Dans cette thèse, on étudie des liens entre processus d'exploration et arbres aléatoires avec ou sans interaction, pour en déduire des extensions du théorème de Ray Knight. Dans la première partie nous décrivons une certaine bijection entre l'ensemble des processus d'exploration et l'ensemble des arbres binaires. On montre que l'arbre associé à un processus d'exploration défini avec les paramètres mu et lambda décrivant les taux de ses minimas et maximas locaux respectivement à n'importe quel instant considéré, est un arbre binaire aléatoire de taux de naissance mu et de taux de mort lambda. De cette correspondance, nous déduisons une représentation discrète d'un processus de branchement linéaire en terme de temps local d'un processus d'exploration. Après renormalisation des paramètres, nous en déduisons une preuve du théorème de Ray Knight généralisé donnant une représentation en loi d'un processus de Feller linéaire en terme du temps local du mouvement brownien réfléchi en zéro avec une dérive. Dans la deuxième partie, nous considérons un modèle de population avec compétition définie par une fonction polynomiale f(x) = x^{alpha}, alpha>0 et partant de m ancêtres à l'instant initial 0. On étudie l'effet de la compétition sur la hauteur et la longueur de la forêt d'arbres généalogiques quand m tend vers l'infini. On montre que la hauteur est d'espérance finie si alpha> 1, et est infinie dans le cas contraire, tandis que la longueur est d'espérance finie si alpha > 2, et est infinie dans le cas contraire. / In this thesis, we study connections between explorations processes and random trees, from which we deduce Ray Knight Theorem. In the first part, we describe a bijection between exploration processes and Galton Watson binary trees. We show that the tree we obtain under the curve of an exploration process whose maxima and minima rates are respectively lambda and mu, is a Galton Watson binary tree with birth rate mu and death rate lambda. From this correspondence, we establish a discrete Ray Knight representation of the process population size of a Galton Watson tree in term of local time of exploration process associated to this tree. After some renormalization, we deduce from this discrete approximation with a limiting argument, a generalized Ray Knight theorem giving a representation of a Feller branching process in term of local time of a reflected Brownian motion with a linear drift. In the second part, we consider a population model with competition defined with a function f(x) = x^{alpha}. We study the effect of the competition on the height and the length of the genealogical trees of a large population. We show that the expectation of the height has a finite expectation stays finite if alpha> 1 and is infinite almost surely if alpha le 1, while the length has a finite expectation if alpha > 2, and is infinite almost surely if alpha le 2. In the last part, we consider a population model with interaction defined with a more general non linear function f.

Cette thèse est consacrée à l’étude de théorèmes limites : grandes déviations et déviations modérées pour des estimateurs liés à des modèles financiers. Dans une première partie, nous nous sommes intéressés à l’étude des déviations grandes et modérées des estimateurs de la covariation et de la (co)volatilité réalisée issus des fonctionnelles associées à deux processus de diffusion couplés de manière synchronisée. Les techniques utilisées dans ces travaux sont basées d’une part sur celles utilisées dans Djellout-Guillin-Wu et sur la sous additivité et sur la notion d’approximation exponentielle inspirées des travaux de J. Najim d’autre part. Dans une deuxième partie, on considère que les deux processus de diffusion sont observés de manière non synchronisée et on établit des déviations modérées pour l’estimateur de la variation généralisée et pour celui de Hayashi-Yoshida. Les résultats sont obtenus par l’utilisation d’une nouvelle approche sur les déviations modérées des variables aléatoires m−dépendantes vérifiant des conditions de type "Chen-Ledoux". Dans la troisième et dernière partie, on s’intéresse à l’étude processus autorégressif d’ordre p dont le bruit est un processus autorégressif d’ordre q. On montre des déviations modérées pour certains estimateurs associés à notre modèle dont la statistique de Durbin-Watson. Les résultats sont donnés dans le cas où le bruit est gaussien puis dans le cas de condition de type "Chen-Ledoux" portant sur le bruit. / This thesis is devoted to the study of the limits theorem : large and moderate déviations for some financial mathematicals estimators. In the first part, we studied the large and moderate deviations of the estimators of covariation and the realized (co)volatility obtained from the functional associated to two diffusion processes coupled in synchronous manner. The techniques used in this work are based, on the one hand, on those used in Djellout-Guillin-Wu and the subadditivity and the exponential approximation notion inspired by J. Najim results on the other hand. In the second part, we consider that ours two diffusion processes are observed in a nonsynchronized manner and on the establish the moderate deviations for the generalised bipower variation estimator and the Hayashi-Yoshida estimator. The results are obtained by using a new approach on the moderate deviations of the m−dependent random variables based on the Chen-Ledoux type condition. In the third and last part, we study the stable autoregressive process of order p where the driven noise is also given by a q-order autoregressive process. We prove the moderate deviations for some estimators associated with our model such as the Durbin-Watson statistic. The results are given in the case where the driven noise is the normally distributed then in the case where the driven noise satisfy a Chen-Ledoux type condition.

La tomographie d'émission par positrons (TEP) occupe une place de choix dans le domaine de l'imagerie moléculaire par sa capacité d'obtenir des informations ultrasensibles et quantitatives sur des processus métaboliques, physiologiques ou cellulaires. De plus, grâce à la similitude des génomes de l'homme et de petits rongeurs comme la souris, elle attire un grand intérêt dans le domaine de la recherche médicale, allant de la détection précoce de différentes formes de cancers jusqu'au développement de nouveaux médicaments. Toutefois, pour tirer profit des images acquises lors d'études animales, des scanners de plus en plus performants sont nécessaires. Le LabPETTM, le scanner TEP petit animal conçu par les efforts unis du Groupe de recherche en appareillage médicale de Sherbrooke (GRAMS) et du Centre d'imagerie moléculaire de Sherbrooke (CIMS) se démarque des autres scanners d'une part par son couplage individuel des photodiodes à avalanche à une paire de cristaux scintillateurs et d'autre part par une numérisation hâtive des signaux et un traitement numérique parallèle. Cela permet d'y implanter des algorithmes de traitement de signaux puissants. Le filtre de Wiener est une des techniques utilisées dans le LabPETTM pour optimiser à la fois le rendement et la capacité d'identification du cristal (IC) excité par le rayonnement émis dans le scanner par les radioisotopes. Les travaux de cette thèse portent, dans une première partie, sur le développement et l'implantation d'une version plus complète et ajustée de la méthode d'IC basée sur le filtre de Wiener. L'amélioration de cette technique porte sur l'utilisation des deux caractéristiques élémentaires des cristaux, soit leur constante de temps et leur rendement lumineux pour une IC plus précise et rapide. Une telle IC peut être réalisée même avec des cristaux possédant des caractéristiques très similaires, et pour des énergies très basses - jusqu'à 100 keV. Dans une deuxième partie, les performances de la méthode d'IC Wiener ont été évaluées en tenant compte de la contribution des différentes sources de bruit de la chaîne d'acquisition d'un scanner TEP. L'influence du bruit de multiplication de la photodiode à avalanche (un bruit non-stationnaire et poissonien), le bruit électronique (un bruit stationnaire et gaussien), ainsi que l'effet de l'utilisation des filtres de mise en forme rapide CR-RC n sur les résultats de l'algorithme d'IC ont été étudiés grâce au développement d'un simulateur de TEP qui imite les signaux de sortie du LabPETTM. Finalement, la possibilité d'utiliser la méthode d'IC Wiener pour discriminer des détecteurs multicouches, composés de trois et quatre cristaux, a été étudiée. L'implantation de cet algorithme dans un scanner TEP permettra à court terme d'améliorer les performances de démultiplexage des détecteurs et, de ce fait, la résolution spatiale axiale du système. Des techniques de modélisations du bruit non-stationnaire sont proposées pour rehausser les résultats de l'algorithme d'IC. En se basant sur les résultats de l'algorithme d'IC, il est possible de développer des techniques pour mesurer l'énergie déposée dans les cristaux et parvenir à une séparation des évènements Compton diffusés entre les cristaux d'un même détecteur comparativement aux autres diffusions Compton. A plus long terme, ceci permettra de bonifier la sensibilité du scanner.

Barrier options have become increasingly popular financial instruments due to the lower costs and the ability to more closely match speculating or hedging needs. In addition, barrier options play a significant role in modeling and managing risks in insurance and finance as well as in refining insurance products such as variable annuities and equity-indexed annuities. Motivated by these immediate applications arising from actuarial and financial contexts, the thesis studies the pricing of barrier options and some exotic variations, assuming that the underlying asset price follows the Black-Scholes model or jump-diffusion processes. Barrier options have already been well treated in the classical Black-Scholes framework. The first part of the thesis aims to develop a new valuation approach based on the technique of exponential stopping and/or path counting of Brownian motions. We allow the option's boundaries to vary exponentially in time with different rates, and manage to express our pricing formulas properly as combinations of the prices of certain binary options. These expressions are shown to be extremely convenient in further pricing some exotic variations including sequential barrier options, immediate rebate options, multi-asset barrier options and window barrier options. Many known results will be reproduced and new explicit formulas will also be derived, from which we can better understand the impact on option values of various sophisticated barrier structures. We also consider jump-diffusion models, where it becomes difficult, if not impossible, to obtain the barrier option value in analytical form for exponentially curved boundaries. Our model assumes that the logarithm of the underlying asset price is a Brownian motion plus an independent compound Poisson process. It is quite common to assign a particular distribution (such as normal or double exponential distribution) for the jump size if one wants to pursue closed-form solutions, whereas our method permits any distributions for the jump size as long as they belong to the exponential family. The formulas derived in the thesis are explicit in the sense that they can be efficiently implemented through Monte Carlo simulations, from which we achieve a good balance between solution tractability and model complexity.

Durch Weiterentwicklungen der MR-Technologie hat die diffusionsgewichtete MRT in der Bildgebung des Abdomens zunehmend an Bedeutung gewonnen. Einige wenige Studien zeigten bereits vielversprechende Ergebnisse für den Einsatz der DWI in der Diagnostik und Verlaufsbeurteilung des Morbus Crohn. Ziel dieser Arbeit war es, zu untersuchen, ob die DWI zur Detektion entzündlicher Darmwandläsionen und extraluminaler Komplikationen bei pädiatrischen Patienten mit Morbus Crohn ebenso geeignet ist wie die kontrastmittelverstärkte MRT. Hierzu wurden retrospektiv die klinischen und MR-tomographischen Daten von 48 Kindern, Jugendlichen und jungen Erwachsenen mit Morbus Crohn sowie von 42 Kontrollpatienten ausgewertet, bei denen im Zeitraum zwischen Juli 2008 und Mai 2013 eine MRT-Untersuchung durchgeführt wurde. Aktuelle Befunde einer Ileokoloskopie waren als Referenz bei 60% der Morbus Crohn Patienten und bei etwa einem Drittel der Patienten der Kontrollgruppe vorhanden. Das Bestehen eines Morbus Crohn konnte bei 47 der insgesamt 48 Patienten anhand der diffusionsgewichteten Sequenzen und in 46 Fällen mittels der kontrastverstärkten T1w-Aufnahmen korrekt nachgewiesen werden. Extramurale Komplikationen wie Abszesse oder Fisteln konnten sowohl mittels DWI als auch durch die KM-MRT detektiert werden. Da die DWI weder eine intravenöse Kontrastmittelapplikation noch Atemanhaltetechniken erfordert, ist sie gerade bei pädiatrischen Patienten ein geeignetes Bildgebungsverfahren. Wegen der relativ geringen Ortsauflösung der diffusionsgewichteten Sequenzen sollte jedoch zusätzlich eine Standardsequenz, wie die T2-gewichtete HASTE-Sequenz, akquiriert werden. Nach den Ergebnissen dieser Studie ist die diffusionsgewichtete MRT zur Beurteilung der entzündlichen Veränderungen des Morbus Crohn sehr gut geeignet und besitzt das Potenzial, nicht nur ergänzend, sondern als Alternative zur KM-MRT zum Einsatz zu kommen. / The purpose of this retrospective study was to evaluate the detectability of inflammatory bowel lesions and of extramural complications with diffusion-weighted MRI (DWI), compared to contrast-enhanced MRI (CE-MRI), in pediatric patients with Crohn disease. The study included 48 children and young adults with Crohn disease and 42 matched controls who underwent routine MRI with DWI and contrast-enhanced T1-weighted sequences during a 5-year-period. Colonoscopy as reference standard was available in about two-thirds of the children with Crohn disease and in about one-third of controls. Overall diagnostic accuracy for identifying pediatric patients with inflammatory bowel lesions among patients and controls in our study was 99% (89/90) for DWI and 98% (88/90) for CE-MRI. In conclusion, the results suggest that free-breathing DWI has potential as an alternative to standard CE-MRI protocols in pediatric patients with known or suspected Crohn disease, without a substantial loss of diagnostic information and without the need for intravenous administration of contrast medium.

Ce document présente une synthèse des travaux de recherche effectués après la thèse, soutenue à l'université Toulouse III en décembre 2001. <br /><br /><br />Une large partie de ces recherches est consacrée aux inégalités fonctionnelles, dont les inégalités de Poincaré ou de Sobolev logarithmique sont deux représentantes emblématiques. De façon générale, les inégalités fonctionnelles sont à la frontière de l'analyse et des probabilités et sont utilisées dans de nombreux problèmes mathématiques. On pourra citer par exemple l'étude de la convergence à l'équilibre d'équations différentielles ou de chaîne de Markov, l'étude des ensembles convexes en grande dimension, l'étude de la concentration de mesures produits ou corrélées, l'étude de la convergence de systèmes de particules, ou l'étude de l'existence d'une unique mesure de Gibbs en mécanique statistique. La résolution de chacun de ces problèmes repose sur l'établissement d'une inégalité fonctionnelle adaptée au modèle. <br /><br /><br />Dans ce mémoire, nous traitons ces problèmes de deux façons. D'une part, nous nous intéressons directement aux inégalités fonctionnelles, en cherchant à établir des hiérarchies entre elles, à trouver des critères simples permettant d'établir leur existence. D'autre part, à partir de problèmes de convergence à l'équilibre d'équations d'évolutions, nous élaborons et utilisons des inégalités fonctionnelles appropriées permettant d'obtenir des taux de convergence à l'équilibre.<br /><br /><br />Ce document est divisé en 5 chapitres. Les 4 premiers chapitres traitent des inégalités fonctionnelles et leurs implications pour des équations d'évolutions linéaires, non-linéaires, locales ou non-locales. <br /><br />Le dernier chapitre traite quant à lui un tout autre problème. Nous essayons de montrer la convergence à l'équilibre d'un algorithmique génétique utilisé pour des problèmes de filtrage non-linéaire.

L'enthousiasme de la communauté scientifique pour l'étude des oscillations<br />de neutrinos n'a d'égal que les masses de leurs détecteurs. L'expérience<br />MINOS détermine et compare les spectres proches et lointains des neutrinos<br />muoniques du faisceau NuMI, afin de mesurer deux paramètres d'oscillation:<br />$\Delta m_{23}^2$ et $sin^2(2\theta_{23})$. Les spectres sont obtenus par<br />l'analyse des interactions par courant chargés dont la difficulté réside<br />dans l'identification des produits des interactions (e.g. muons). Une<br />méthode alternative permettant d'identifier les traces de muons courbées par<br />le champ magnétique des détecteurs, ainsi que de déterminer leurs énergies<br />est présentée dans ce manuscrit. La sensibilité des détecteurs est optimale<br />pour les interactions quasi-élastiques dont une méthode de sélection est<br />proposée, afin d'étudier leur oscillation. Bien que réduisant la<br />statistique, une telle étude introduit moins d'erreur systématique,<br />constituant la méthode idéale à long terme.

We consider an SDE driven by a Lévy noise on a foliated manifold, whose trajectories stay on compact leaves. We determine the effective behavior of the system subject to a small smooth transversal perturbation of positive order epsilon. More precisely, we show that the average of the transversal component of the SDE converges to the solution of a deterministic ODE, according to the average of the perturbing vector field with respect to the invariant measures on the leaves (of the unpertubed system) as epsilon goes to 0. In particular we give upper bounds for the rates of convergence. The main results which are proved for pure jump Lévy processes complement the result by Gargate and Ruffino for Stratonovich SDEs to Lévy driven SDEs of Marcus type.