Ingeniero Civil Matemático / Este trabajo consiste principalmente en dos resultados matemáticos, basados en el estudio de ecuaciones dispersivas no lineales, la estabilidad de ciertas soluciones de las mismas, como así también la posible explosión en tiempo finito. En una primera parte, Capítulo 1, presentamos una breve introducción a los tópicos tratados en esta memoria. Se hace especial énfasis en la descripción de los conceptos de ecuación dispersiva, buen colocamiento, 2-solitones, estabilidad y explosión. En el Capítulo 2 probaremos que las soluciones de tipo 2-soliton de la ecuación de sine-Gordon (SG) son orbitalmente estables en el espacio de energía, el espacio natural para resolver este problema. Las soluciones que estudiamos son los 2-kink, kink-antikink y breather de SG. Con el objetivo de probar este resultado, utilizaremos las transformaciones de Bäcklund implementadas gracias al Teorema de la Función Implícita. Estas transformaciones nos permitirán reducir el problema de estabilidad para cada una de la soluciones, al caso de la solución cero. Probaremos estos resultados siguiendo el espíritu de un paper de M. A. Alejo y C. Muñoz, que trata el caso de la ecuación de Korteweg-de Vries modificada. Sin embargo, más adelante veremos que el caso de la ecuación de SG presenta varias nuevas dificultades dado el carácter vectorial de sus soluciones. Este resultado mejora los anteriores probados por M. A. Alejo et al., y entrega una primera demostración rigurosa de la estabilidad de los 2-solitones de la ecuación de SG en el espacio de energía. En el Capítulo 3 nuestro principal objetivo será estudiar nuevas propiedades de blow-up dispersivo para el sistema de Schrödinger-Korteweg-de Vries. Más precisamente, probaremos explosión para datos iniciales en H^2-(R)xH^{3/2-}(R), como consecuencia de mostrar previamente una nueva propiedad de persistencia del flujo asociado al sistema, establecida sobre ciertos espacios de Sobolev con pesos fraccionarios cuidadosamente escogidos. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por los proyectos Fondecyt Regular 1150202 y CMM Conicyt PIA AFB170001

Submitted by Marco Antônio de Ramos Chagas (mchagas@ufv.br) on 2017-02-06T12:56:24Z No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1584058 bytes, checksum: 5e071cb146eefe82d5c5094d09bc1b28 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-06T12:56:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1584058 bytes, checksum: 5e071cb146eefe82d5c5094d09bc1b28 (MD5) Previous issue date: 2001-12-05 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Um modelo realístico determinístico dinâmico foi desenvolvido para simular o transporte unidimensional de água e solutos no solo sob condições de escoamento não permanente e considerando a presença do sistema radicular da cultura. A equação de Richards, que permite obter a distribuição do potencial matricial, e a equação do transporte dispersivo-convectivo, que descreve a mobilidade de solutos no solo, foram resolvidas numericamente pelo método de diferenças finitas. Após o desenvolvimento matemático, implementou-se um programa computacional denominado SIMASS-C (SImulação do Movimento de Água e Soluto no Solo considerando a presença de Cultura). O modelo foi analisado inicialmente por meio da realização de simulações de diferentes problemas, quando verificou-se que os resultados gerados pelo modelo eram compatíveis com a realidade física dos problemas simulados. Posteriormente, o desempenho do modelo foi testado usando dados obtidos em ensaios experimentais conduzidos em colunas de solo, em ambiente protegido, nas quais sementes de milho foram semeadas. Após o plantio, foram realizadas irrigações e aplicações de KNO 3 . Os resultados obtidos demostraram que o modelo SIMASS-C descreveu eficientemente o transporte de água e soluto no solo, sob condições não saturadas, uma vez que os perfis de umidade do solo e de concentração do ion nitrato simulados pelo SIMASS-C ficaram dentro da faixa de variação da umidade e concentração de nitrato determinadas experimentalmente. Simulações adicionais, usando-se resultados de pesquisa obtidos por CORRÊA (1996) com o inseticida aldicarbe, permitiram verificar que o modelo SIMASS-C apresentou um bom desempenho quando comparado ao modelo CXTFIT. As curvas de eluição geradas pelos dois modelos apresentaram-se bem próximas em todos os cenários analisados. Foi possível, também, testar a sensibilidade do modelo SIMASS-C ao coeficiente de partição do produto no solo (K d ) demonstrando ser este coeficiente um importante parâmetro em estudos de transporte de solutos no solo, principalmente em condições de umidade acima da capacidade de campo do solo. / Committee Members:: Hugo Alberto Ruiz and Luiz Cláudio Costa. A mathematical model was developed to simulate the of water and solute transport in the soil under transient conditions and considering the root intake. The Richards’ equation and the dispersive-convective transport equation were solved numerically using the finite difference method. After the mathematical development, a software denominated SIMASS-C was implemented (SImulation of the Movement of wAter and Solute in the Soil considering the presence of Culture). Initially, the model was analyzed by perfoming the simulations for different problems, which allow to verify that the results generated by the model were compatible with the physical reality of the simulate problems. Later on, the model was tested by using data obtainned from assays in soil columns under protected environment, where the maize seeds were sowed. After planting, the irrigations were applied as well as the KNO 3 . The results obtained show that the model SIMASS-C described efficiently the transport of water and solute in the soil, under unsaturated conditions, since that the profiles of water content of the soil and concentration of the ion nitrate simulated by the model were with the interval of the data observed experimentally. Additional simulations, based on research results obtained in the literature with the insecticide aldicarb, allowed to verify that the model SIMASS- C had a good performance when compared to the model CXTFIT. The Breakthrough curves generated by the two models came very close in all the analyzed problems. It was possible, also, to verify the sensibility of the model SIMASS-C to the coefficient of partition (Kd) of the product in the soil. This coefficient was shown to be an important parameter in studies on soil solute transport, mainly under a moisture level above the soil field capacity. / Tese importada do Alexandria

En este artículo estudiamos la buena formulación local del problema de valor inicial asociado a un sistema de ecuaciones de Korteweg-de Vries acopladas a través de los efectos dispersivos y no lineales. Utilizando el método de regularización parabólica probamos la existencia y unicidad de solución local, y las estimaciones de Bona-Smith para demostrar la dependencia continua de la solución respecto de los datos iniciales.

O comportamento da condutividade induzida por radiação-X (RIC) em copolímeros P(VDF/TrFE) de razões molares 60/40 e 70/30 em suas fases ferroelétrica (temperatura ambiente) e paraelétrica (acima de 110°C), foi estudado para diferentes condições ambientais. Foi observado que a RIC depende fortemente sobre a conformação molecular do polímero. Variaram-se parâmetros experimentais como campo elétrico aplicado, taxa de dose, atmosfera ambiente e, principalmente a temperatura. Medidas auxiliares como correntes termoestimuladas, calorimetria diferencial, espectroscopias infravermelho, ressonância eletrônica paramagnética, difração de raios-X, etc..., deram contribuições no sentido de entender modificações estruturais e morfológicas do material devido à radiação. Para análise dos resultados da condutividade induzida (RIC), foi usado o modelo de transporte em meios dispersivos desenvolvido por Arkhipov e colaboradores. Por meio de ajustes teórico-experimentais obtivemos parâmetros importantes do material como, a mobilidade dos portadores gerados, o coeficiente de recombinação, o parâmetro dispersivo, bem como a energia de geração de pares. / The behavior of the radiation induced conductivity (RIC) by X-rays in P(VDF/TrFE) copolymers of 70:30 and 60:40 molar ratios, in their ferro and paraelectric phases, were studied in different environments. It was observed that the RIC depends strongly on the molecular conformation of the polymer. For the experiments several parameters were varied as the external applied field, the dose rate, the atmosphere and mainly the temperature. Auxiliar measurements as thermal stimulated currents, differential scanning calorimetry, EPR and IR spectroscopy, X-ray diffraction, etc..., were used in the sense to supply additional information about morphological and structural variations of the material due to the irradiation. For a complete analysis of the radiation induced conductivity results a dispersive transport model developed by Arkhipov et al was used. From the theoretical experimental fitting we obtained important parameters of the material: carrier mobility, recombination coefficient, dispersive parameter Q, as well as the pair-generation energy.

O contínuo Tempo Randon Walk desenvolvido por Scher e Montroll é generalizado a fim de incluir as transições de taxas de espaço e o tempo. Tomando o limite contínuo, no passeio de equações aleatórias, uma equação geral de uma carga espacial transportada é obtida. A equivalência entre hopping e transporte através de estados expandidos com armadilhas é mostrado para realizar no espaço uma carga caso. Uma análise dos transportes um processo com dois processos simultâneos condução, por um armadilhagem e alargado a outros estados e por hopping através de armadilhas, é realizada. O Método Substituição Funcional (EFM) é introduzida a fim de obter resultados semi-markofian de Markofian soluções. Soluções específicas são obtidas em campo caso o alto e aproximadas queridos no espaço cobrar caso. Uma aproximação analítica de solução para o potencial superficial de decadência de uma sólida com armadilhas cobrado pela Corona é dada pela utilização do FSM. / The continuous Time Randon Walk developed by Scher and Montroll is generalized in order t o include space and time transitions rates. Taking the continuum limit in the random walk equations a general equation for space charge transport is obtained. The equivalence between hopping and transport via extended states with traps is shown to hold in the space charge case. An analysis of a transport process with two simultaneous conduction process, one by trapping and extended states and the other by hopping via traps, is carried out. The Functional Substitution Method (FSM) is introduced in order to get semi-markofian results from Markofian solutions. Specific exact solutions are obtained in the high field case and approximated ones in the space charge case. An approximated analytical solution for the superficial potential decay of a solid with traps charged by Corona is given by use of FSM.

O comportamento da condutividade induzida por radiação-X (RIC) em copolímeros P(VDF/TrFE) de razões molares 60/40 e 70/30 em suas fases ferroelétrica (temperatura ambiente) e paraelétrica (acima de 110°C), foi estudado para diferentes condições ambientais. Foi observado que a RIC depende fortemente sobre a conformação molecular do polímero. Variaram-se parâmetros experimentais como campo elétrico aplicado, taxa de dose, atmosfera ambiente e, principalmente a temperatura. Medidas auxiliares como correntes termoestimuladas, calorimetria diferencial, espectroscopias infravermelho, ressonância eletrônica paramagnética, difração de raios-X, etc..., deram contribuições no sentido de entender modificações estruturais e morfológicas do material devido à radiação. Para análise dos resultados da condutividade induzida (RIC), foi usado o modelo de transporte em meios dispersivos desenvolvido por Arkhipov e colaboradores. Por meio de ajustes teórico-experimentais obtivemos parâmetros importantes do material como, a mobilidade dos portadores gerados, o coeficiente de recombinação, o parâmetro dispersivo, bem como a energia de geração de pares. / The behavior of the radiation induced conductivity (RIC) by X-rays in P(VDF/TrFE) copolymers of 70:30 and 60:40 molar ratios, in their ferro and paraelectric phases, were studied in different environments. It was observed that the RIC depends strongly on the molecular conformation of the polymer. For the experiments several parameters were varied as the external applied field, the dose rate, the atmosphere and mainly the temperature. Auxiliar measurements as thermal stimulated currents, differential scanning calorimetry, EPR and IR spectroscopy, X-ray diffraction, etc..., were used in the sense to supply additional information about morphological and structural variations of the material due to the irradiation. For a complete analysis of the radiation induced conductivity results a dispersive transport model developed by Arkhipov et al was used. From the theoretical experimental fitting we obtained important parameters of the material: carrier mobility, recombination coefficient, dispersive parameter Q, as well as the pair-generation energy.

O contínuo Tempo Randon Walk desenvolvido por Scher e Montroll é generalizado a fim de incluir as transições de taxas de espaço e o tempo. Tomando o limite contínuo, no passeio de equações aleatórias, uma equação geral de uma carga espacial transportada é obtida. A equivalência entre hopping e transporte através de estados expandidos com armadilhas é mostrado para realizar no espaço uma carga caso. Uma análise dos transportes um processo com dois processos simultâneos condução, por um armadilhagem e alargado a outros estados e por hopping através de armadilhas, é realizada. O Método Substituição Funcional (EFM) é introduzida a fim de obter resultados semi-markofian de Markofian soluções. Soluções específicas são obtidas em campo caso o alto e aproximadas queridos no espaço cobrar caso. Uma aproximação analítica de solução para o potencial superficial de decadência de uma sólida com armadilhas cobrado pela Corona é dada pela utilização do FSM. / The continuous Time Randon Walk developed by Scher and Montroll is generalized in order t o include space and time transitions rates. Taking the continuum limit in the random walk equations a general equation for space charge transport is obtained. The equivalence between hopping and transport via extended states with traps is shown to hold in the space charge case. An analysis of a transport process with two simultaneous conduction process, one by trapping and extended states and the other by hopping via traps, is carried out. The Functional Substitution Method (FSM) is introduced in order to get semi-markofian results from Markofian solutions. Specific exact solutions are obtained in the high field case and approximated ones in the space charge case. An approximated analytical solution for the superficial potential decay of a solid with traps charged by Corona is given by use of FSM.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O praziquantel (PZQ) à um medicamento anti-helmÃntico de alto espectro utilizado no tratamento de todos os tipos de esquistossomose. No Brasil a mistura racÃmica à utilizada na fabricaÃÃo do medicamento. Sabe-se que a espÃcie enantiomÃrica R-PZQ à a que possui efeito anti-helmÃntico e que esta espÃcie possui sabor menos amargo. Sendo assim formulaÃÃes baseadas no R-PZQ somente teriam metade da dose necessÃria da formulaÃÃo sÃlida da mistura racÃmica e as formulaÃÃes lÃquidas teriam sabor menos amargo. Para obtenÃÃo de enantiÃmeros puros a cromatografia quiral à uma tÃcnica promissora por produzir enantiÃmeros com grau de pureza bastante elevada. Neste trabalho a separaÃÃo dos enantiÃmeros do fÃrmaco praziquantel foi realizada em uma fase estacionÃria quiral (FEQ) celulose tris(3-cloro-4- metilfenilcarbamato), comercialmente conhecida como Lux Celulose-2, por cromatografia lÃquida de alta eficiÃncia (CLAE). Ensaios em soluÃÃo diluÃda (1 g/L) e soluÃÃes concentradas (5, 10, 15 e 20 g/L) foram realizados em laboratÃrio. Em todos estes experimentos foram estudados os efeitos da variaÃÃo da vazÃo da fase fluida (0,5, 1 e 2 mL/min) e do volume de injeÃÃo (20, 60 e 100ÂL). Nestes foram alcanÃadas separaÃÃes por linha de base indicando alta eficiÃncia da coluna para a separaÃÃo requerida. Experimentos com soluÃÃo de PZQ de 40 g/L e com vazÃo de fase fluida de 1 mL/min foram realizados objetivando encontrar as condiÃÃes em que ocorreria sobreposiÃÃo dos picos. Os enantiÃmeros foram separados satisfatoriamente nos volumes de injeÃÃo testados (100, 140 e 180 ÂL), com indicaÃÃo de sobreposiÃÃo no volume injetado de 250 ÂL obtendo-se uma produÃÃo de 533 mg/dia no limite de separaÃÃo por linha de base. Pelos resultados obtidos pode-se prever um comportamento nÃo linear da isoterma de equilÃbrio de adsorÃÃo. Foram estimados parÃmetros da isoterma de Langmuir competitivo a partir dos experimentos nas concentraÃÃes de 5 g/L a 20 g/L por um mÃtodo hÃbrido entre o mÃtodo dos tempos de retenÃÃo e o mÃtodo inverso a partir de uma soluÃÃo analÃtica do modelo ideal. Esses parÃmetros foram utilizados em um programa computacional desenvolvido no Fortran objetivando a simulaÃÃo para prediÃÃo dos perfis cromatogrÃficos pelo modelo do equilÃbrio dispersivo. Os perfis obtidos na simulaÃÃo representaram bem os dados experimentais quando comparados os tempos de retenÃÃo da frente de massa de ambos os enantiÃmeros. Os parÃmetros estimados tambÃm foram utilizados na prediÃÃo dos perfis cromatogrÃficos para as condiÃÃes de 40 g/L e apresentaram resultados satisfatÃrios quando os erros de prediÃÃo foram levados em consideraÃÃo. / Praziquantel is a high spectrum anthelmintic drug used in the treatment of all types of schistosomiasis. In Brazil, the racemic mixture is used on the drug manufacture. It is known that the R-PZQ enantiomeric species is the one which has the anthelmintic effect and a less bitter taste. Thus, the solid formulations based on R-PZQ only, would have half of the dosage and the liquid formulations would have a less bitter taste. To obtain pure enantiomers chiral chromatography is a promising technique which produces high purity enantiomers. In this work the praziquantel enantiomers separation was obtained on a cellulose tris(3-chlorine-4-methyl-phenyl-carbamate) chiral stationary phase (CSP), commercially known as Lux Cellulose-2, by high performance liquid chromatography (HPLC). Experiments with diluted solution (1 g/L) and concentrated solutions (5, 10, 15 and 20 g/L) were carried out. On these experiments the effects of the mobile phase flow rate variation (0,5, 1 e 2 mL/min) and the injection volume (20, 60 e 100ÂL) have been studied. On these baseline separations were achieved indicating high column efficiency for the required separation. Experiments with 40 g/L PZQ solution and a mobile phase flow rate of 1 mL/min were performed aiming to find conditions on which overlapping peaks occur. The enantiomers were well separated on the tested injection volumes (100, 140 and 180 ÂL), indicating an overlapping on the injection volume of 250 ÂL yielding a production of 533 mg per day at the limit of baseline separation. From the results one can predict a nonlinear adsorption equilibrium isotherm behavior. Parameters of the competitive Langmuir isotherm were estimated from experiments in the concentration range 5g/L to 20 g/L by a hybrid method between the retention time method and the inverse method by an analytical solution of the ideal model. These parameters were used on a computer program developed in Fortran aiming at the prediction of the chromatographic profiles by the Equilibrium Dispersive Model. The profiles obtained from the simulation represent well the experimental data when comparing the front mass retention times of both enantiomers. The estimated parameters were also used on the prediction of the chromatographic profiles obtained for 40 g/L conditions and showed satisfactory results when prediction errors were taken into account.

O câncer de mama é o tipo de câncer mais frequente entre as mulheres, sendo a mamografia a técnica mais utilizada para sua detecção. No entanto, essa técnica possui algumas limitações, como o baixo contraste, o qual pode ser associado, dentre outros fatores, a radiação espalhada. Apesar desse fato, novas técnicas baseadas na detecção do espalhamento vêm sendo empregadas em um vasto campo de aplicação, como na caracterização de materiais e tecidos biológicos. Há na literatura diversos estudos sobre perfil de espalhamento para a caracterização de tecidos mamários, porém ainda são poucos os estudos sobre imagem por espalhamento de mama e de otimização de contraste. Além disso, essas imagens são realizadas apenas em pequenas amostras de mama. Uma das possibilidades para o estudo de mamas de dimensões reais é a aplicação do método Monte Carlo (MC). Neste trabalho, foi estudado e otimizado um sistema de difração de raios X dispersivo em energia (SDRXDE) para medidas de perfis de espalhamento e um sistema para formação de imagens por espalhamento utilizando estas informações. O SDRXDE foi caracterizado experimentalmente, analiticamente e por simulação Monte Carlo, enquanto que o segundo sistema foi caracterizado analiticamente e por simulação Monte Carlo. Os resultados obtidos mostraram que as principais correções para o SDRXDE foram auto-atenuação, o espectro incidente, eficiência de detecção e múltiplo espalhamento. Outro fator importante que afeta o perfil de espalhamento resultante é a resolução de momento do sistema, o qual depende dos parâmetros geométricos (abertura dos colimadores, distâncias, ângulo de espalhamento e espessura da amostra) e da resolução de energia do detector. Os resultados para o sistema de imagem mostram claramente a capacidade dessas imagens na detecção de um nódulo no interior da mama. A respeito da otimização das condições de irradiação da mama e detecção da radiação espalhada, os resultados alcançados demostram a viabilidade experimental da geração destas imagens num ambiente clínico. / Breast cancer is the most frequent type of cancer among women, being mammography the technique more used for its detection. However, this technique presents some limitations, such as low contrast, which may be associated with scattered radiation. Thus, new scatterinng detection techniques have been employed in different fields such as characterization of biological materials and tissues, such as characterization of scattering profile for breast tissue, although there are still few studies on breast image and contrast optimization. Moreover, the images are originated from small breast samples. In this context, one of the possibilities for the study of actual breast dimensions is the application of the Monte Carlo method. Thus, this work studied optimized an energy X ray diffraction system (EDXRD) for measures of scattering profile and developed a system for imaging using this information. The EDXRD system was studied and optimized by experimentally, analytically and Monte Carlo simulation, while the image system was studied analytically and simulated by Monte Carlo. The results showed that the main corrections for the EDXRD system are self-attenuation, incident spectrum, detection eficiency and multiple scattering. Another important factor that affects scattering profile is the system momentum resolution, which depends on geometric parameters (collimator aperture, distances, scattering angle and sample thickness) and detector energy resolution. The results for the imaging system showed that a nodule could be detected within the breast. Finaly the optimizations of breast radiation conditions and radiation detection showed the viability of generating experimental scattering images in clinical environment.

Made available in DSpace on 2014-12-17T14:55:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 JoabsonNC.pdf: 1023745 bytes, checksum: 5c279305bf7356a4d77b64ca8e0c6261 (MD5) Previous issue date: 2005-12-19 / This work presents a theoretical and numerical analysis using the transverse resonance technique (TRT) and a proposed MTRT applied in the analysis of the dispersive characteristics of microstrip lines built on truncated isotropic and anisotropic dielectric substrates. The TRT uses the transmission lines model in the transversal section of the structure, allowing to analyze its dispersive behavior. The difference between TRT and MTRT consists basically of the resonance direction. While in the TRT the resonance is calculated in the same direction of the metallic strip normal axis, the MTRT considers the resonance in the metallic strip parallel plane. Although the application of the MTRT results in a more complex equivalent circuit, its use allows some added characterization, like longitudinal section electric mode (LSE) and longitudinal section magnetic mode (LSM), microstrips with truncated substrate, or structures with different dielectric regions. A computer program using TRT and MTRT proposed in this work is implemented for the characterization of microstrips on truncated isotropic and anisotropic substrates. In this analysis, propagating and evanescent modes are considered. Thus, it is possible to characterize both the dominant and higher order modes of the structure. Numerical results are presented for the effective permittivity, characteristic impedance and relative phase velocity for microstrip lines with different parameters and dimensions of the dielectric substrate. Agreement with the results obtained in the literature are shown, as well as experimental results. In some cases, the convergence analysis is also performed by considering the limiting conditions, like particular cases of isotropic materials or structures with dielectric of infinite size found in the literature. The numerical convergence of the formulation is also analyzed. Finally, conclusions and suggestions for the continuity of this work are presented / Este trabalho apresenta os fundamentos te?ricos da t?cnica da resson?ncia transversa (TRT) e da t?cnica da resson?ncia transversa modificada (MTRT) aplicada na an?lise das caracter?sticas dispersivas de uma microfita considerando substratos diel?tricos isotr?picos e anisotr?picos truncados. A TRT utiliza o modelo da linha de transmiss?o na se??o transversal da estrutura, permitindo analisar o seu comportamento dispersivo. A diferen?a entre a TRT e MTRT consiste basicamente na dire??o da resson?ncia. Enquanto na TRT a resson?ncia ? calculada ao longo do eixo normal ? fita met?lica, a MTRT considera a resson?ncia no plano paralelo ? fita met?lica. Embora a aplica??o da MTRT resulte num circuito equivalente mais complexo, sua utiliza??o permite a caracteriza??o mais precisa, incluindo modo el?trico de se??o longitudinal (LSE) e modo magn?tico de se??o longitudinal (LSM), microfitas com substrato truncado, ou estruturas planares com multiplas regi?es diel?tricas. Um programa computacional utilizando a TRT e MTRT ? discutido e desenvolvido para caracteriza??o de microfitas sobre substratos isotr?picos e anisotr?picos truncados. Na an?lise, consideram-se modos propagantes e evanescentes. Assim, ? poss?vel caracterizar n?o somente o modo fundamental, mas tamb?m os modos de ordem superior da estrutura. S?o apresentados resultados num?ricos para as diversas grandezas, ou seja, permissividade efetiva, imped?ncia caracter?stica e velocidade de fase relativa para microfita com diferentes par?metros e dimens?es do substrato. S?o feitas compara??es com outros resultados dispon?veis na literatura e, tamb?m, com resultados determinados experimentalmente. Em alguns casos, os resultados s?o comparados como casos particulares de materiais isotr?picos ou de estruturas com diel?tricos de tamanho infinito encontradas na literatura, tendo sido observada uma excelente concord?ncia. Apresenta-se, ainda, um estudo de converg?ncia da formula??o proposta e, finalmente, conclus?es e sugest?es para continuidade do trabalho