Cette thèse est consacrée à l'étude d'une classe d'équations différentielles à retard dépendant de l'état -- ces équations provenant d'un modèle structuré en taille. La principale motivation de cette thèse provient de la volonté d'ajuster les paramètres du système d'équations étudiées vis-à-vis des données générées par un simulateur de forêts, appelé SORTIE. Deux types de forêts sont étudiés ici: d'une part une forêt ne comportant qu'une seule espèce d'arbre, et d'autre part une forêt comportant deux espèces d'arbres (au chapitre 2). Les simulations numériques du système d'équations correspondent relativement bien aux données générées par SORTIE, ce qui montre que le système considéré peut être utilisé afin d'écrire la dynamique de populations d'une forêt. De plus, un modèle plus étendu prenant en compte la position spatiale des arbres est proposé dans le chapitre 2, dans le cas de forêts possédant deux espèces d'arbres. Les simulations numériques de ce modèle permettent de visualiser la propagation spatiale des forêts. Les chapitres 3 et 4 se concentrent sur l'analyse mathématique des équations différentielles à retard considérées. Les propriétés du semi-flot associé au système sont étudiées au chapitre 3, où l'on démontre en particulier que ce semi-flot n'est pas continu en temps. Le caractère dissipatif et borné du semi-flot, pour des modèles de forêts comportant une ou deux espèces d'arbres, est étudié dans le chapitre 4. En outre, afin d'étudier la dynamique de population d'une forêt (d'une seule espèce d'arbre) après l'introduction d'un parasite, nous construisons dans le chapitre 5 un système proie-prédateur dont la proie (à savoir la forêt) est modélisée par le système d'équations différentielles à retard dépendant de l'état étudié auparavant, et dont le prédateur (à savoir le parasite) est modélisé par une équation différentielle ordinaire. De nombreuses simulations numériques associées à différents scénarios sont faites, afin d'explorer le comportement complexe des solutions du au couplage proie-prédateur et les équations à retard dépendant de l'état. / This thesis is devoted to the studies of a class of state-dependent delay differential equations. This class of equations is derived from a size-structured model.The motivation comes from the parameter fittings of this system to a forest simulator called SORTIE. Cases of both single species forest and two-species forest are considered in Chapter 2. The numerical simulations of the system correspond relatively very well to the forest data generated by SORTIE, which shows that this system is able to be used to describe the population dynamics of forests. Moreover, an extended model considering the spatial positions of trees is also proposed in Chapter 2 for the two-species forest case. From the numerical simulations of this spatial model one can see the diffusion of forests in space. Chapter 3 and 4 focus on the mathematical analysis of the state-dependent delay differential equations. The properties of semiflow generated by this system are studied in Chapter 3, where we find that this semiflow is not time-continuous. The boundedness and dissipativity of the semiflow for both single species model and multi-species model are studied in Chapter 4. Furthermore, in order to study the population dynamics after the introduction of parasites into a forest, a predator-prey system consisting of the above state-dependent delay differential equation (describing the forest) and an ordinary differential equation (describing the parasites) is constructed in Chapter 5 (only the single species forest is considered here). Numerical simulations in several scenarios and cases are operated to display the complex behaviours of solutions appearing in this system with the predator-prey relation and the state-dependent delay.

Les arbres classiques de distribution du signal d’horloge au sein des microprocesseurs synchrones présentent un certain nombre de limitations : skew, jitter, limitation de la fréquence, influence de perturbations et de dispersions quelles que soient leurs natures. Ces facteurs, critiques pour les microprocesseurs modernes complexes, sont devenus la raison principale qui a poussé à la recherche d’autres types d’architecture de génération et de distribution du signal d’horloge. Un exemple d’un tel système alternatif est le réseau de PLLs couplées, où les PLLs sont géographiquement distribuées sur la puce, et génèrent des signaux d’horloge locaux qui sont ensuite synchronisés, en temps réel, par un échange d’information entre les PLLs voisines et une rétroaction locale réalisé par leur correcteurs. La nature active du réseau de PLLs de génération et de distribution du signal d’horloge, qui peut permettre de surpasser les limitations mentionnées plus tôt, oblige à sortir du cadre classique des outils et des méthodes de la Microélectronique habituellement appliqués à l’étude et à la conception de ce type de systèmes. En effet, les aspects dynamiques de bouclage et de transformation de signaux au sein de tels systèmes complexes rendent leur conception extrêmement difficile voire parfois impossible. La difficulté principale consiste en un changement des propriétés d’un sous-système local indépendant par rapport aux propriétés du même sous-système faisant partie du réseau. Effectivement, il existe beaucoup de méthodes et d’outils de conception d’une PLL isolée garantissant un comportement et des propriétés locales désirés. Néanmoins, ces propriétés désirées locales, selon la topologie d’interconnexion considérée, ne sont pas forcément conservées quand il s’agit d’un réseau de PLLs interconnectées et de son comportement global. Le but principal de cette thèse est ainsi de développer une méthode de synthèse de la loi de commande décentralisée réalisée au sein de chaque sous-système (tel qu’une PLL) assurant le comportement désiré pour le réseau global. Une méthode de transformation du problème de synthèse globale en un problème équivalent de synthèse d’une loi de commande locale est proposée en se basant sur l’hypothèse des sous-systèmes identiques interconnectés en réseau. Le lien entre les propriétés locales et globales est établi grâce aux approches d’Automatique avancée telles que les approches entrée-sortie et la dissipativité. Ce choix de méthode permet non seulement de réduire considérablement la complexité du problème initial mais aussi de ramener le problème de synthèse à une forme proche des méthodes de conception locale utilisées en Microélectronique, ce qui garantit une continuité logique de leur évolution. Ensuite la méthode proposée est combinée avec la commande H∞ et l’optimisation sous contraintes LMIs conduisant au développement d’algorithmes efficaces de résolution du problème posé. Elles sont à la fois particulièrement bien adaptées à l’application considérée, c’est-à-dire à la synchronisation d’un réseau de PLLs, et sont facilement généralisables aux autres types de problèmes de commande de systèmes de grande dimension. Le premier aspect permet une intégration naturelle et aisée de la méthode dans le flux de conception existant en Microélectronique, très riche et mature à ce jour, alors que le deuxième offre une solution à d’autres problèmes de commande de systèmes interconnectés en réseau, un champ d’application aujourd’hui en plein essor. / The classical clock distribution trees used in the synchronous microprocessor systems in nowadays have several drawbacks such as skew, jitter, frequency limitation, perturbation and disturbance behavioral impact independently of their origin, etc.. These factors, critical for the modern microprocessors, motivate the research of an alternative architecture of the clock generation and distribution system. An example of such alternative architectures is the network of coupled PLLs where the PLLs are geographically distributed on the chip and produce the local clock signals. These local clock signals are then synchronized, in real time, by an exchange of information between the PLLs and by local feedback corrections realized by its controllers. Distributed PLLs network allows overcoming the mentioned limitation encountered for the classical clock distribution system. However, the active nature of this network requires going beyond the scope of usual stand-alone PLL design methods. Indeed, the dynamical aspects of the feedback loops and the transformations of the signal inside this complex system make the design problem extremely difficult to solve. The main issue consists in ensuring certain properties of the global network as well as local properties of each subsystem PLL because those properties may change drastically from independent stand-alone PLL designed with standard tools and methods. Indeed, depending on the network topology, the local properties and global dynamical behavior are not necessarily ensured for the overall network. The main contribution of this PhD thesis is the development of a control law design method for each subsystem (such as PLL) ensuring the desired behavior of the global network. A method for transforming the global design problem to an equivalent local control law design problem is proposed. It is based on the assumption that all subsystems are identical. The relation between the local and global properties is established using advanced Control System Theory tools such as input-output and dissipativity principle. This principle decreases significantly the problem complexity by transforming the design problem into a form that is closed to the design of a stand-alone closed loop system. The proposed method is combined with robust H∞ control and LMI optimization that can be solved efficiently with appropriate algorithms that are well suited for the considered application i.e. the PLLs network synchronization. The proposed approach can be easily generalized to other types of networked system to be controlled.

La tendance actuelle dans le domaine des télécommunications mène à des systèmes capables de fonctionner selon plusieurs standards, et donc plusieurs fréquences porteuses. La synthèse de la fréquence porteuse est un élément clef, dont les propriétés reposent essentiellement sur les performances de l’oscillateur employé. Pour assurer le fonctionnement de systèmes compatibles avec plusieurs standards de télécommunication, la solution conventionnelle consiste à intégrer plusieurs oscillateurs locaux. Cette solution est coûteuse, d’autant plus que, malgré le fait que les technologies actuelles atteignent des niveaux d’intégration très importants, la surface occupée par des oscillateurs traditionnels de type LC ne peut pas être diminuée, alors que le coût de fabrication au millimètre carré devient de plus en plus élevé. Il serait donc très intéressant de remplacer les oscillateurs LC, ce qui nous amène à rechercher des solutions alternatives parmi de nouvelles technologies. L’oscillateur spintronique (STO) est un nouveau dispositif issu des études sur les couches minces magnétiques. Il apparait comme un candidat potentiel de remplacement des oscillateurs LC du fait de sa grande accordabilité en fréquence et de son faible encombrement. Toutefois des mesures effectuées sur les STOs ont montré que la performance en puissance et en bruit de phase d’un oscillateur seul ne permet pas de remplir les spécifications pour des applications de télécommunication. Nous proposons de remplir ces spécifications en couplant un nombre d’oscillateurs spintroniques important. Dans ce cadre se posent plusieurs questions qui concernent les procédures de modélisation, d’analyse et de synthèse des systèmes interconnectés. Les procédures de modélisation incluent la démarche de recherche de modèles à complexité croissante qui décrivent les propriétés entrée-sortie d’un oscillateur spintronique, ainsi que la démarche de généralisation des modèles des oscillateurs dans le cadre du réseau. Les procédures d’analyse cherchent à vérifier la stabilité et évaluer la performance des systèmes interconnectés. Les procédures de synthèse permettent de concevoir des interconnexions sophistiquées pour les oscillateurs afin d’assurer toutes les spécifications du cahier des charges. Dans ce document, nous établissons tout d’abord le problème de la synthèse de fréquence par couplage avec un cahier des charges formalisé en termes de gabarits fréquentiels sur des densités spectrales de puissance. Le cahier des charges posé amène la nécessité de modéliser l’oscillateur spintronique pour pouvoir simuler et analyser son comportement. Ici, nous proposons une modélisation originale selon des degrés de complexité croissante. Ensuite, nous discutons de la structure de la commande de l’ensemble des oscillateurs afin de remplir les spécifications du cahier des charges. La structure de commande proposée nécessite de développer une méthode de conception des interconnexions du réseau d’après les critères de performance. Dans les deux derniers chapitres, nous proposons deux méthodes fréquentielles de synthèse originales pour résoudre le problème de synthèse de fréquence par couplage. La première méthode de synthèse permet de prendre en compte un critère mathématique du cahier des charges, qui correspond à un gabarit fréquentiel à respecter, et permet d’obtenir une matrice d’interconnexion des sous-systèmes, telle que le module de la réponse fréquentielle du réseau approxime le gabarit imposé par le cahier des charges. La deuxième méthode de synthèse permet de prendre en compte plusieurs gabarits fréquentiels à la fois. La solution obtenue est une matrice d’interconnexion des sous-systèmes, qui résout le problème de la synthèse de fréquence par couplage d’oscillateurs spintroniques. / The current trends in telecommunication are leading to systems that are compatible with multiple standards and consequently multiple carrier frequencies. The frequency synthesis is a key element influenced by the local oscillator performance. In order to ensure the system compatibility with multiple telecommunication standards, the conventional solution consists in using one local oscillator for each standard. This solution is expensive, even more, since the cost per squared millimetre is increasing, while the silicon area occupied by the traditional LC-tank oscillators cannot be reduced in spite of the fact that technology is going to higher integration levels. Thus, it should be interesting to find a substitution to the LC-tank oscillators which leads to research for alternative solutions among new technologies. The spin torque oscillator (STO) is a new device issued from the ferromagnetic thin-film research. Due to its frequency accord ability and its capability to occupy relatively small volume, it appears as a potential candidate for the LC-tank oscillator replacement. However, a set of measurements prove that these devices exhibit poor power and phase noise performance, making them unable to fulfill the technical specification of the radiofrequency applications. We propose to reach these specifications by coupling of a large number of spin torque oscillators. In this scope, numerous questions appear regarding the procedures of modelling, analysis and synthesis of the complex interconnected systems. The modelling procedures are dedicated to the increasing complexity models that describe the input-output behaviour of a spin torque oscillator and its behaviour within the interconnected network. The analysis procedures are targeted to verify the stability and to evaluate the performance level of the interconnected systems. The synthesis procedures allow to design the interconnection law for spin torque oscillators in order to fulfill the technical requirements. In this document, the frequency synthesis problem by spin torque oscillator coupling with technical specification description in terms of power spectral densities is established. The formulated specifications introduce the problem of the oscillator modelling in order to perform a simulation and an analysis of the oscillator behaviour. Here, we propose an original model using several conventional models with increasing complexity. An original oscillator network model that describes qualitative properties of the oscillator synchronisation is introduced. Afterwards, the control law architecture for an oscillator set is established in order to accomplish the technical requirement specifications. The suggested control architecture needs to be developed with quantitative systematic and efficient design method for the network interconnection taking into account the formulated performance criteria. In the last two chapters we propose two original frequency domain design methods allowing the resolution of our frequency synthesis problem. The first design method allows to consider explicitly a performance criterium corresponding toa desired frequency constraint. The method allows to obtain a suitable sub-system interconnection matrix that fits the frequency specification constraint. The second design method allows to find an interconnection matrix and to take into account simultaneously several frequency specification constraints. The interconnection matrix obtained with the proposed method solves the problem of frequency synthesis by coupling of spin torque oscillators.

Ce rapport de thèse est consacré à l'étude de modèles de champ de phase de type Caginalp. Nous considérons ici, deux modèles : le premier étant une généralisation du modèle de champ de phase de Caginalp basée sur une généralisation de la loi de Maxwell-Cattaneo et le second une généralisation provenant de la théorie de la conduction de chaleur introduite par Chen et Gurtin. L'étude du premier modèle est faite aussi bien dans un domaine borné (avec un potentiel régulier puis dans le cas d'un potentiel non régulier), que dans un domaine non borné, en l'occurrence R3. Le second modèle est un problème de champ de phase avec un couplage (linéaire et non linéaire). Tout d'abord, l'existence, l'unicité et la régularité des solutions sont analysées aux moyens d'arguments classiques. Ensuite, l'existence d'ensembles bornés absorbants et compacts attractifs est établie, assurant ainsi l'existence de l'attracteur global. Enfin, dans certains cas, l'existence d'attracteurs exponentiels, ainsi que le comportement spatial des solutions lorsque le domaine spatial est un cylindre semi-infini tri-dimensionnel, sont analysés. / This thesis report is dedicated to the study of Caginalp type phase-field Models. Here, we consider two models: the first one being a generalization of the field phase Caginalp based on a generalization of the Maxwell-Cattaneo law and the second one coming from the theory of heat conduction involving two temperatures. We study the first model in bounded (with regular and irregular potentials) and unbounded (i.e. R3) domains. The second model is a phase-field one with coupling term (linear and nonlinear). Firstly, the existence, uniqueness and regularity of solutions are analyzed by means of classical arguments. Secondly, the existence of bounded absorbing sets and attractive compact is established. Such results ensures the existence of the global attractor. Finally, in some cases, the existence of exponential attractors, as well as the spatial behavior of solutions when the spatial domain is a three-dimensional semi-infinite cylinder, are analyzed.

Ce rapport de thèse est consacré à l'étude de modèles de champ de phase de type Caginalp. Nous considérons ici, deux parties : la première étant une généralisation du modèle de champ de phase de Caginalp basée sur la loi de Maxwell-Cattaneo et la seconde traite le même modèle dans sa version conservative. L'étude dans les deux parties est faite dans un domaine borné. De plus, dans la première partie on distingue les cas de conditions aux bords de type Dirichlet ainsi que Neumann, tandis que dans la deuxième partie le modèle est étudié uniquement avec les conditions Dirichlet (avec un potentiel régulier puis un potentiel singulier). Tout d'abord, l'existence, l'unicité, et la régularité des solutions sont analysées aux moyens d'arguments classiques. Ensuite, l'existence d'ensembles bornés absorbants est établie. Enfin, dans certains cas, l'existence de l'attracteur global et d'attracteurs exponentiels sont analysés. / This thesis report is devoted to the study of Caginalp type phase-field Models. Here, we consider two parts : the first is a generalization of the Caginalp type phase-field model based on a generalization of the Maxwell-Cattaneo law and the second with the same model in its conservative version. The study in the two parts is made in a bounded domain. In addition, in the first part we distinguish cases of boundary conditions of Dirichlet and Neumann, while in the second part the model is studied only with Dirichlet conditions (with a regular potential and a singular potential). First, the existence, uniqueness, and regularity of solutions are analyzed by means of classical arguments. Then, the existence of bounded absorbing sets is established. Finally, in some cases, the existence of the global attractor and exponential attractors are analyzed.

Cette thèse est dédiée à l’analyse de stabilité des systèmes non linéaires sous échantillonnage variant avec le temps. Lors de l’implémentation numérique d’un contrôleur qui est calculé en temps-continu (approche par émulation), il est d'un grand intérêt de fournir des critères de stabilité et d’estimer la borne supérieure de l’intervalle d’échantillonnage qui garantit la stabilité du système en temps discret. Plusieurs travaux récents ont abordé ces questions dans le cas de modèles linéaires, mais la question a rarement été abordée dans une étude quantitative et formelle pour les systèmes non linéaires.Tout d'abord, le mémoire présente un aperçu sur les systèmes échantillonnés. Les défis et les principales méthodes pour l'analyse de stabilité sont présentés pour le cas des systèmes linéaires invariants dans le temps et celui des systèmes non linéaires. Ensuite, l’analyse de la stabilité locale des systèmes bilinéaires échantillonnés contrôlés par un retour d'état linéaire est considérée. Deux approches sont utilisées, la première basée sur la théorie des systèmes hybrides, la seconde basée sur l’analyse des ensembles invariants contractants. Cette dernière approche est inspirée par la théorie de la dissipativité. L’ensemble de ces résultats conduisent à des conditions suffisantes de stabilité exprimées sous forme LMI.Enfin, les conditions de stabilité basées sur la dissipativité sont étendues au cas des systèmes non linéaires affines en l'entrée. Les résultats sont ensuite repris dans le cas spécifique des systèmes non linéaires polynomiaux où les conditions de stabilité sont vérifiées numériquement en utilisant la décomposition en somme des carrés (SOS). / This PhD thesis is dedicated to the stability analyzis of nonlinear systems under sampled-data control, with arbitrarily time-varying sampling intervals. When a controller is designed in continuous-time, and then implemented digitally (emulation approach), it is of great interest to provide stability criteria, and to estimate the bound on the sampling intervals which guarantees the stability of the sampled-data system. Whereas several works deal with linear models, the issue has been rarely addressed in a formal quantitative study in the nonlinear case.First, an overview on sampled-data control is presented. Challenges and main methodologies for stability analysis are presented for both the linear time-invariant and the nonlinear cases.Then, local stability of bilinear sampled-data systems controlled by a linear state feedback is considered by using two approaches: the first one is based on hybrid systems theory; the second one is based on the analyzis of contractive invariant sets and is inspired by the dissipativity theory. Both approaches provide sufficient stability conditions in the form of LMI.Finally, the dissipativity–based stability conditions are extended for the more general case of nonlinear systems which are affine in the input, including the case of polynomial systems which leads to conditions in the form of sum of squares (SOS).