In the thesis, problems related to the moments of the periodic zeta-function are considered. The aim of the thesis is to obtain asymptotic formulae for some analytic objects related to the periodic zeta-function. The problems are the following: 1. To prove the Atkinson-type formula with a new error term in the critical strip for the periodic zeta-function with rational parameter. 2. To prove a mean square formula for the error term in the Atkinson-type formula on the critical line for the periodic zeta-function. 3. To prove a mean square formula for the error term in the Atkinson-type formula in the critical strip for the periodic zeta-function. 4. To obtain an asymptotic formula for the fourth power moment of the periodic zeta-function. / Disertacijos tyrimo objektas yra periodinė dzeta funkcija. Mokslinė problema - šios funkcijos momentų problema. Darbo tikslas - įrodyti asimptotines formules periodinės funkcijos momentams bei kai kuriems objektams, susijusiems su šios funkcijos momentais. Darbo uždaviniai yra šie: 1. Įrodyti Atkinsono tipo formulę su korektišku liekamuoju nariu kritinėje juostoje periodinei dzeta funkcijai su racionaliuoju parametru. 2. Įrodyti Atkinsono tipo formulės periodinei dzeta funkcijai kritinėje tiesėje vidurkio formulę liekamojo nario modulio kvadratui. 3. Įrodyti Atkinsono tipo formulės periodinei dzeta funkcijai kritinėje juostoje vidurkio formulę liekamojo nario modulio kvadratui. 4. Gauti asimptotinę formulę periodinės dzeta funkcijos ketvirtajam momentui.

Disertacijos tyrimo objektas yra periodinė dzeta funkcija. Mokslinė problema - šios funkcijos momentų problema. Darbo tikslas - įrodyti asimptotines formules periodinės funkcijos momentams bei kai kuriems objektams, susijusiems su šios funkcijos momentais. Darbo uždaviniai yra šie: 1. Įrodyti Atkinsono tipo formulę su korektišku liekamuoju nariu kritinėje juostoje periodinei dzeta funkcijai su racionaliuoju parametru. 2. Įrodyti Atkinsono tipo formulės periodinei dzeta funkcijai kritinėje tiesėje vidurkio formulę liekamojo nario modulio kvadratui. 3. Įrodyti Atkinsono tipo formulės periodinei dzeta funkcijai kritinėje juostoje vidurkio formulę liekamojo nario modulio kvadratui. 4. Gauti asimptotinę formulę periodinės dzeta funkcijos ketvirtajam momentui. / In the thesis, problems related to the moments of the periodic zeta-function are considered. The aim of the thesis is to obtain asymptotic formulae for some analytic objects related to the periodic zeta-function. The problems are the following: 1. To prove the Atkinson-type formula with a new error term in the critical strip for the periodic zeta-function with rational parameter. 2. To prove a mean square formula for the error term in the Atkinson-type formula on the critical line for the periodic zeta-function. 3. To prove a mean square formula for the error term in the Atkinson-type formula in the critical strip for the periodic zeta-function. 4. To obtain an asymptotic formula for the fourth power moment of the periodic zeta-function.

Magistro darbe nagrinėjamos periodinės dzeta funkcijos ir periodinės Hurvico dzeta funkcijos jungtinis reikšmių pasiskirstymas ir jungtinė ribinė teorema tikimybinių matų silpno konvergavimo prasme kompleksinėje plokštumoje. / Master's thesis the periodic zeta functions and zeta functions of periodic Hurwitz joint distribution of the values ​​and the joint limit theorem of probability measures converge weak sense of the complex plane.

Magistro darbe nustatyta, kad dzeta funkcijos φ(s, F1),…, φ(s, Fr) turi jungtinį ribinį pasiskirstymą kompleksinėje plokštumoje. Tai reiškia, kad tikimybinis matas silpnai konverguoja į kurį nors tikimybinį matą erdvėje (C^{r},B(C^{r})). / We prove a joint limit theorem for the functions φ(s, F1),…, φ(s, Fr) on the complex plane. Then we prove that the probability measure converges weakly to some probability measure on (C^{r},B(C^{r})).

In mathematics, analytic number theory is a branch of number theory that uses methods from mathematical analysis to solve problems that concern the integers. It is often said to have begun with Dirichlet's introduction of Dirichlet L-functions. In analytic number theory one of the main investigation objects is the Riemann zeta function. The Riemann hypothesis states that all non-trivial zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line. In the thesis we investigate value distribution of the Riemann zeta function on the critical line. To do so we use the curve of the Riemann zeta function on the critical line. A problem connected to the curve asks the question whether the curve is dense in the complex plane. We prove that the curve expands to all directions on the complex plane. A separete case of the main result can be stated as follows Riemann zeta function has infinetly many negative values on the critical line and they are unbounded. / Analizinė skaičių teorija yra skaičių teorijos dalis, kuri, naudodama matematinės analizės ir kompleksinio kintamojo funkcijų tyrimo metodus, sprendžia uždavinius susijusius su sveikaisiais skaičiais. Manoma, kad analizinės skaičių teorijos pradžią žymi Dirichlet eilučių ir Dirichlet L-funkcijų taikymai. Vienas iš pagrindinių analizinės skaičių teorijos tyrimo objektų yra Riemann’o dzeta funkcija. Riemann’o hipotezė teigia, kad visi netrivialieji nuliai yra ant kritinės tiesės. Disertacijoje nagrinėjamas Riemann’o dzeta funckijos reikšmių pasiskirstymas ant kritinės tiesės. Tam pasitelkiama Riemann’o dzeta funkcijos kreivė. Svarbus klausimas susijęs su kreive yra ar ši kreivė yra visur tiršta kompleksinių skaičių plokštumoje. Disertacijoje įrodoma, kad kreivė plečiasi į visas puse kompleksinių skaičių plokštumoje. Atskiras disertacijos pagrindinio rezultato atvejis gali būti formuluojamas taip – Riemann’o dzeta funkcija ant kritinės tiesės įgyja be galo daug neigiamų reikšmių, kurios yra neaprėžtos.

Analizinė skaičių teorija yra skaičių teorijos dalis, kuri, naudodama matematinės analizės ir kompleksinio kintamojo funkcijų tyrimo metodus, sprendžia uždavinius susijusius su sveikaisiais skaičiais. Manoma, kad analizinės skaičių teorijos pradžią žymi Dirichlet eilučių ir Dirichlet L-funkcijų taikymai. Vienas iš pagrindinių analizinės skaičių teorijos tyrimo objektų yra Riemann’o dzeta funkcija. Riemann’o hipotezė teigia, kad visi netrivialieji nuliai yra ant kritinės tiesės. Disertacijoje nagrinėjamas Riemann’o dzeta funckijos reikšmių pasiskirstymas ant kritinės tiesės. Tam pasitelkiama Riemann’o dzeta funkcijos kreivė. Svarbus klausimas susijęs su kreive yra ar ši kreivė yra visur tiršta kompleksinių skaičių plokštumoje. Disertacijoje įrodoma, kad kreivė plečiasi į visas puse kompleksinių skaičių plokštumoje. Atskiras disertacijos pagrindinio rezultato atvejis gali būti formuluojamas taip – Riemann’o dzeta funkcija ant kritinės tiesės įgyja be galo daug neigiamų reikšmių, kurios yra neaprėžtos. / In mathematics, analytic number theory is a branch of number theory that uses methods from mathematical analysis to solve problems that concern the integers. It is often said to have begun with Dirichlet's introduction of Dirichlet L-functions. In analytic number theory one of the main investigation objects is the Riemann zeta function. The Riemann hypothesis states that all non-trivial zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line. In the thesis we investigate value distribution of the Riemann zeta function on the critical line. To do so we use the curve of the Riemann zeta function on the critical line. A problem connected to the curve asks the question whether the curve is dense in the complex plane. We prove that the curve expands to all directions on the complex plane. A separete case of the main result can be stated as follows Riemann zeta function has infinetly many negative values on the critical line and they are unbounded.

Sudėtinės funkcijos universalumo įrodymas. / Bachelor thesis about universality of one composite function.

Darbe įrodyta, kad Hurvico dzeta funkcijai su algebriniu parametru yra teisinga ribinė teorema su svoriu kompleksinėje plokštumoje. Pagrindinis šio darbo rezultatas yra suformuluotas teorema. / Proof of limit theorem with weight for the Hurwitz zeta-function with an algebraic irrational parameter. The rezult formulated by theorem.

Darbe pateikta funkcijų tyrimo apžvalga, svarbiausi žinomi rezultatai, suformuluota problema. Pagrindinė ribinė teorema įrodoma, taikant tikimybinius metodus, analizinių funkcijų savybes, aproksimavimo absoliučiai konvertuojančiu integralu principą. / The main limit theorem is proved using probabilistic methods, the analytical functions of the properties.

In the thesis, the joint universality of periodic Hurwitz zeta-functions as well as that jointly with the Riemann zeta-functions of normalized cusp forms is obtained. / Darbe yra įrodomas jungtinis universalumas periodinėms Hurvico dzeta funkcijoms, taip pat bendras universalumas su Rymano dzeta funkcija ir normuotų parabolinių formų dzeta funkcija.