Tegul funkcija φ(s) s=σ+it, yra apibrėžta srityje σ>α+β+1 polinomine Oilerio sandauga. Magistro darbe įrodyta diskreti ribinė teorema analizinių funkcijų erdvėje H(D), funkcijai φ(s). Tarkime, kad h>0 toks fiksuotas skaičius, kad kuriems nors sveikiems k≠0 skaičius exp{2πk/h} yra racionalus, o B(H(D)) yra erdvės H(D) Borelio aibių klasė. Darbe įrodyta, kad tikimybinis matas silpnai konverguoja į vieno H(D) reikšmio atsitiktinio elemento skirstinį. / For σ>α+β+1, define the function φ(s), s=σ+it, by a polynomial Euler product. In our work, a discrete limit theorem in the space H(D) of analytic functions for the function φ(s) is proved. Suppose that h>0 is a fixed number such that for some integers k≠0 the number exp{2πk/h} is racional, and denote by B(H(D)) the class of Borel sets of the space H(D). Then we prove that the probability measure converges weakly to the distribution of one H(D)- valued random element.

Magistro darbo tikslas yra įrodyti Mišu teoremos analogą funkcijoms L(s,&#967;) ir &#950;(s,&#945;) su transcendenčiuoju parametru &#945;. / Let L(s,&#967;),s=&#963;+it, denote the Dirichlet L – function, and &#950;(s,&#945;) be the Hurwitz zeta-function with parameter &#945;,0<&#945;&#8804;1. We prove the following statment. Suppose that the number &#945; is transcendental, and K_1 and K_2 are compact subsets of strip D={ s&#8714; C: 1/2<&#963;<1} with connected complements. Let f_1 (s) be a continuous non-vanishing function on K_1 which is analytic in the interior of K_1, and f_2 (s) be a continuous function on K_2, and analytic in the interior of K_2. Then, for every &#949;>0, liminf&#9516;(T&#8594;&#8734;)&#8289;&#12310;1/T meas{&#964;&#8714;[0;T]: &#12310;sup&#12311;&#9516;(s&#8714;K_1 )&#8289;&#12310;|L(s+i&#964;,&#967;)-f_1 (s) |<&#949;&#12311;, sup&#9516;(s&#8714;K_2 )&#8289;&#12310;|&#950;(s+i&#964;,&#945;)-f_2 (s) |<&#949;&#12311;}&#12311;>0. There meas{A} denotes the Lebesgue measure of a measurable set A&#8834;R.

Šis darbas yra apie periodinės dzeta funkcijos reikšmių sandaugos formulės radimą. / In the bachelor work, we consider the function zeta[lemda](s) with rational parameter lemda.

Bakalauro darbe kompiuterine programa Matchad ištirta trigometrinės sumos fiksuotiems lambda ir sigma, reikšmių priklausomybė nuo sumuojamų dėmenų skaičiaus, mažiausių kvadratų metodu užrašyta aproksimacinė funkcija ir įvertinta paklaida, gauti rezultatai pateikti grafiškai. / In this work, by the program Mathcad, the dependence of the sum from the number of summands, for fixed parameters sigma and lambda, is obtained. By the method of the smallest squares, approximation function is given. Also all results are presented by graphics. .

Tugul s - kompleksinis kintamasis ir a yra periodinė kompleksinių skaičių seka. Periodinė Hurvico zeta-funkcija yra apibrėžta, kai sigma > 1 ir analiziškai pratęsiama. Įrodyta, kad funkcija yra universali. Tegul K yra kompaktinė juosta su papildiniu, ir tegul funkciją f(s) pratęsiama ant K ir analizinė K viduje. Su kiekvienu epsilion > 1. / Let s be a complex variable, and a be a periodic sequence of complex numbers. The periodic Hurwitz zeta-function is defined, for sigma > 1 and by analytic continuation elsewhere. We prove that the function is universal in the following sense. Let K be a compact subset of the strip with connected complement, and let the function f(s) be continuous on K and analytic in the interior of K. Than, for every epsilion > 0.

Bakalauro darbe nagrinėjama periodinė dzeta funkcija pusplokštumėje σ>1, apibrėžiama Dirichlė eilute ζ(s,a)=∑_(m=1)^∞▒a_m/m^s Periodinė kompleksinių skaičių seka apibrėžiama tokiu būdu a={1, -1, i, -i}, kurios periodas k=4. Darbo rezultatas yra periodinės dzeta funkcijos antrojo momento asimptotika.

Darbe nagrinėjama periodinės dzeta funkcijos antrojo momento liekamojo nario išreikštinis pavidalas ir šios funkcijos asimptotinio elgesio charakterizacija ribinių teoremų silpnojo tikimybinių matų konvergavimo prasmė įvairiose erdvėse pagalba. Darbo uždaviniai yra šie: 1. Įrodyti Atkinsono formulę periodinai dzeta funkcijai kritinėje tiesėje. 2. Įrodyti Atkinsono formulę periodinai dzeta funkcijai kritinėje juostoje. 3. Įrodyti ribinę teoremą su ribinio mato išreikštiniu pavidalu kompleksinėje plokštumoje periodinei dzeta funkcijai. 4. Įrodyti ribinę teoremą su ribinio mato išreikštiniu pavidalu analizinių funkcijų erdvėje periodinei dzeta funkcijai. Atkinsono formulė duoda momentų asimptotinės formulės liekamojų narių išreikštinį pavidalą. Tai ne tik įdomus, bet ir turintis rimtų pritaikymų, pavyzdžiui, tiriant aukštesniuosius momentus, rezultatas. Tikimybinės ribinės teoremos charakterizuoja dzeta funkcijų asimptotinio elgesio reguliarumą. Be to, buvo pastebėta, kad tokios teoremos yra svarbiausia dzeta funkcijų universalumo įrodymo grandis. Periodinė dzeta funkcija nėra klasikinė, ji yra Rymano (Riemann) dzeta funkcijos apibendrinimas, tačiau ji pasirodo įvairiuose analizinės skaičių teorijos uždaviniuose. Pavyzdžiui, ji įeina į Hurvico (Hurvitz) ir Lercho (Lerch) dzeta funkcijų antrojo momento parametro atžvilgiu asimptotinę formulę. Iš kitos pusės, darbų, skirtų periodinei dzeta funkcijai, yra nedaug, aukščiau minėti autoriai daugiausia dėmesio skyrė... [toliau žr. visą tekstą] / In the thesis, the Atkinson formula for the periodic zeta-function on the critical line and the critical strip, and limit theorems in the sense of weak convergence of probability measures in various spaces are considered. The aim of the thesis is to solve the following problems: 1. To obtain the Atkinson formula on the critical line for the periodic zeta-function. 2. To obtain the Atkinson formula in the critical strip for the periodic zeta-function. 3. To prove limit theorems on the complex plane in the sense of weak convergence for the periodic zeta-function. 4. To prove limit theorems in the space of analytic functions for the periodic zeta-function. To solve them analytical and probabilistic methods are applied. For the proof of Atkinson formula, we use properties of the error term in the Dirichlet divisor problem and classical Voronoi formula. For the proof of limit theorems, the theory of weak convergence of probability measures, in particular, the Prokhorov's theory is applied. All results obtained in the thesis are new. The Atkinson formula for periodic zeta-function was not known. The same is true for limit theorems for periodic zeta-function. The Atkinson formula gives the explicit formula for the error term in the asymptotic formula for the first moment. This result is not only interesting itself but also has a series of applications, for example, in the investigation of higher moments. Probabilistic limit theorems are used for the characterization of... [to full text]

In the thesis, the Atkinson formula for the periodic zeta-function on the critical line and the critical strip, and limit theorems in the sense of weak convergence of probability measures in various spaces are considered. The aim of the thesis is to solve the following problems: 1. To obtain the Atkinson formula on the critical line for the periodic zeta-function. 2. To obtain the Atkinson formula in the critical strip for the periodic zeta-function. 3. To prove limit theorems on the complex plane in the sense of weak convergence for the periodic zeta-function. 4. To prove limit theorems in the space of analytic functions for the periodic zeta-function. To solve them analytical and probabilistic methods are applied. For the proof of Atkinson formula, we use properties of the error term in the Dirichlet divisor problem and classical Voronoi formula. For the proof of limit theorems, the theory of weak convergence of probability measures, in particular, the Prokhorov's theory is applied. All results obtained in the thesis are new. The Atkinson formula for periodic zeta-function was not known. The same is true for limit theorems for periodic zeta-function. The Atkinson formula gives the explicit formula for the error term in the asymptotic formula for the first moment. This result is not only interesting itself but also has a series of applications, for example, in the investigation of higher moments. Probabilistic limit theorems are used for the characterization of... [to full text] / Darbe nagrinėjama periodinės dzeta funkcijos antrojo momento liekamojo nario išreikštinis pavidalas ir šios funkcijos asimptotinio elgesio charakterizacija ribinių teoremų silpnojo tikimybinių matų konvergavimo prasmė įvairiose erdvėse pagalba. Darbo uždaviniai yra šie: 1. Įrodyti Atkinsono formulę periodinai dzeta funkcijai kritinėje tiesėje. 2. Įrodyti Atkinsono formulę periodinai dzeta funkcijai kritinėje juostoje. 3. Įrodyti ribinę teoremą su ribinio mato išreikštiniu pavidalu kompleksinėje plokštumoje periodinei dzeta funkcijai. 4. Įrodyti ribinę teoremą su ribinio mato išreikštiniu pavidalu analizinių funkcijų erdvėje periodinei dzeta funkcijai. Atkinsono formulė duoda momentų asimptotinės formulės liekamojų narių išreikštinį pavidalą. Tai ne tik įdomus, bet ir turintis rimtų pritaikymų, pavyzdžiui, tiriant aukštesniuosius momentus, rezultatas. Tikimybinės ribinės teoremos charakterizuoja dzeta funkcijų asimptotinio elgesio reguliarumą. Be to, buvo pastebėta, kad tokios teoremos yra svarbiausia dzeta funkcijų universalumo įrodymo grandis. Periodinė dzeta funkcija nėra klasikinė, ji yra Rymano (Riemann) dzeta funkcijos apibendrinimas, tačiau ji pasirodo įvairiuose analizinės skaičių teorijos uždaviniuose. Pavyzdžiui, ji įeina į Hurvico (Hurvitz) ir Lercho (Lerch) dzeta funkcijų antrojo momento parametro atžvilgiu asimptotinę formulę. Iš kitos pusės, darbų, skirtų periodinei dzeta funkcijai, yra nedaug, aukščiau minėti autoriai daugiausia dėmesio skyrė... [toliau žr. visą tekstą]

Disertaciją sudaro mokslinių tyrimų medžiaga, kurie atlikti 2008 -2012 metais Vilniaus universitete Matematikos ir informatikos fakultete. Disertacijoje įrodomos naujos teoremos apie Lercho ir Selbergo dzeta funkcijų reikšmių pasiskirstymą, atliekami kompiuteriniai skaičiavimai matematine programa MATHEMATICA. Disertaciją sudaro įvadas, 3 skyriai, išvados ir literatūros sąrašas. Disertacijos rezultatai atspausdinti trijuose moksliniuose straipsniuose, Lietuvos ir užsienio žurnaluose, pristatyti Lietuvoje ir užsienyje vykusiose mokslinėse konferencijose bei katedros seminarų metu. Pirmajame skyriuje įrodinėjamos ribinės teoremos Lercho dzeta funkcijai. Praėjusio šimtmečio ketvirtame dešimtmetyje Selbergas įrodė, kad tinkamai normuotas Rymano dzeta funkcijos logaritmas ant kritinės tiesės turi standartinį normalųjį pasiskirstymą. Selbergo įrodymas rėmėsi Oilerio sandauga, kuria turi Rymano dzeta funkcija, bet bendru atveju jos neturi Lercho dzeta funkcija. Antrajame skyriuje įrodoma teorema apie Lercho transcendentinės funkcijos nulių įvertį vertikaliose kompleksinės plokštumos juostose bei atliekami kompiuteriniai nulių skaičiavimai srityje Re(s)>1 programa MATHEMATICA. Trečiajame skyriuje nagrinėjamos dviejų Selbergo dzeta funkcijų monotoniškumo savybės, kurios yra tiesiogiai susijusios su šių funkcijų nulių išsidėstymu kritinėje juostoje. Monotoniškumo savybės lyginamos su Rymano dzeta funkcijos monotoniškumo savybėmis ir nulių išsidėstymu, kuris yra viena didžiausių... [toliau žr. visą tekstą] / The doctoral dissertation contains the material of scientific investigations done in 2008-2012 in the Faculty of Mathematics and Informatics at Vilnius University. The dissertation includes new theorems for the value distribution of Lerch and Selberg zeta-functions and computer calculations performed using the computational software program MATHEMATICA. The dissertation consists of the introduction, 3 chapters, the conclusions and the references. The results of the thesis are published in three scientific articles in Lithuanian and foreign journals, reported in scientific conferences in Lithuania and abroad and at the seminars of the department. In the first chapter, the limit theorems for several cases of the Lerch zeta-functions are proved. In the 1940s, Selberg proved that suitably normalized logarithm of modulus of the Riemann zeta-function on the critical line has a standard normal distribution. Selberg's proof was based on the Euler product; however, in general, Lerch zeta-functions have no Euler product. In the second chapter, the theorem concerning the zero distribution of the Lerch transendent function is proved, and computer calculations of zeros in the region Re(s)>1 are performed using MATHEMATICA. In the third chapter, the monotonicity properties of Selberg zeta-functions are investigated. Monotonicity of these two functions is directly related to the location of zeros in the critical strip. The results are compared to the monotonicity... [to full text]

The doctoral dissertation contains the material of scientific investigations done in 2008-2012 in the Faculty of Mathematics and Informatics at Vilnius University. The dissertation includes new theorems for the value distribution of Lerch and Selberg zeta-functions and computer calculations performed using the computational software program MATHEMATICA. The dissertation consists of the introduction, 3 chapters, the conclusions and the references. The results of the thesis are published in three scientific articles in Lithuanian and foreign journals, reported in scientific conferences in Lithuania and abroad and at the seminars of the department. In the first chapter, the limit theorems for several cases of the Lerch zeta-functions are proved. In the 1940s, Selberg proved that suitably normalized logarithm of modulus of the Riemann zeta-function on the critical line has a standard normal distribution. Selberg's proof was based on the Euler product; however, in general, Lerch zeta-functions have no Euler product. In the second chapter, the theorem concerning the zero distribution of the Lerch transendent function is proved, and computer calculations of zeros in the region Re(s)>1 are performed using MATHEMATICA. In the third chapter, the monotonicity properties of Selberg zeta-functions are investigated. Monotonicity of these two functions is directly related to the location of zeros in the critical strip. The results are compared to the monotonicity... [to full text] / Disertaciją sudaro mokslinių tyrimų medžiaga, kurie atlikti 2008 -2012 metais Vilniaus universitete Matematikos ir informatikos fakultete. Disertacijoje įrodomos naujos teoremos apie Lercho ir Selbergo dzeta funkcijų reikšmių pasiskirstymą, atliekami kompiuteriniai skaičiavimai matematine programa MATHEMATICA. Disertaciją sudaro įvadas, 3 skyriai, išvados ir literatūros sąrašas. Disertacijos rezultatai atspausdinti trijuose moksliniuose straipsniuose, Lietuvos ir užsienio žurnaluose, pristatyti Lietuvoje ir užsienyje vykusiose mokslinėse konferencijose bei katedros seminarų metu. Pirmajame skyriuje įrodinėjamos ribinės teoremos Lercho dzeta funkcijai. Praėjusio šimtmečio ketvirtame dešimtmetyje Selbergas įrodė, kad tinkamai normuotas Rymano dzeta funkcijos logaritmas ant kritinės tiesės turi standartinį normalųjį pasiskirstymą. Selbergo įrodymas rėmėsi Oilerio sandauga, kuria turi Rymano dzeta funkcija, bet bendru atveju jos neturi Lercho dzeta funkcija. Antrajame skyriuje įrodoma teorema apie Lercho transcendentinės funkcijos nulių įvertį vertikaliose kompleksinės plokštumos juostose bei atliekami kompiuteriniai nulių skaičiavimai srityje Re(s)>1 programa MATHEMATICA. Trečiajame skyriuje nagrinėjamos dviejų Selbergo dzeta funkcijų monotoniškumo savybės, kurios yra tiesiogiai susijusios su šių funkcijų nulių išsidėstymu kritinėje juostoje. Monotoniškumo savybės lyginamos su Rymano dzeta funkcijos monotoniškumo savybėmis ir nulių išsidėstymu, kuris yra viena didžiausių... [toliau žr. visą tekstą]