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In this thesis, we study several nonlocal models to obtain their numerical solutions accurately and efficiently. In contrast to the classical (local) partial differential equation models, these nonlocal models are integro-differential equations that do not contain spatial derivatives. As a result, these nonlocal models allow their solutions to have discontinuities. Hence, they can be widely used for fracture problems and anisotropic problems. This thesis mainly includes two parts. The first part focuses on presenting accurate and efficient numerical methods. In this part, we first introduce three meshless methods including two global schemes, namely the radial basis functions collocation method (RBFCM) and the radial ba- sis functions-based pseudo-spectral method (RBF-PSM) and a localized scheme, namely the localized radial basis functions-based pseudo-spectral method (LRBF-PSM), which also gives the development process of the RBF methods from global to local. The comparison of these methods shows that LRBF-PSM not only avoids the Runge phenomenon but also has similar accuracy to the global scheme. Since the LRBF-PSM uses only a small subset of points, the calculation consumes less CPU time. Afterwards, we improve this scheme by adding enrichment functions so that it can be effectively applied to discontinuity problems. This thesis abbreviates this enriched method as LERBF-PSM (Localized enriched radial basis functions-based pseudo-spectral method). In the second part, we focus on applying the derived methods from the first part to nonlocal topics of current research, including nonlocal diffusion models, linear peridynamic models, parabolic/hyperbolic nonlocal phase field models, and nonlocal nonlinear Schrödinger equations arising in quantum mechanics. The first point worth noting is that in order to verify the meshless nature of LRBF-PSM, we apply this method to solve a two-dimensional steady-state continuous peridynamic model in regular, irregular (L-shaped and Y-shaped) domains with uniform and non-uniform discretizations and even extend this method to three dimensions. It is also worth noting that before solving nonlinear nonlocal Schrödinger equations, according to the property of the convolution, these partial integro-differential equations are transformed into equivalent or approximate partial differential equations (PDEs) in the whole space and then the LRBF-PSM is used for the spatial discretization in a finite domain with suitable boundary conditions. Therefore, the solutions can be quickly approximated.

Naturwissenschaftliche Forschung ist eng verbunden mit der Schaffung und Verwendung von Modellen. Die Aufgabe des Lehrers ist es, diese wissenschaftlichen Modelle den Schülern unter Verwendung geeigneter didaktisierter Modelle zu vermitteln. Diese wiederum sind vor die Aufgabe gestellt ihre eigenen Konzepte von Phänomenen durch die ihnen vermittelten wissenschaftlichen Konzepte zu ersetzen. Das führt in der Regel zu Hybridmodellen, die Teile beider Konzepte enthalten. Diese Arbeit setzt sich mit der Frage, wie der Prozess der physikalischen Modellbildung beim Schüler stattfindet, auseinander. Dazu wird in einem ersten Schritt eine Klärung des Modellbegriffs vorgenommen. Ausgehend vom Allgemeinen Modellbegriff nach Stachowiak (1973) werden ver-schiedene Forschungsansätze mit ihren jeweiligen Modellen diskutiert. Ziel ist die Entwicklung eines didaktischen Modells, welches den Verstehensprozess der physikalischen Modellbildung eines Schülers im Physikunterricht beschreibt. Dabei spielt die Beachtung der Schülervorstellung von physikalischen Phänomenen eine ebenso bedeutende Rolle wie das wissenschaftliche Modell des Phänomens. Didaktisierte Modelle dienen im Unterricht dazu, den Schülern einen vereinfachten Zugang zu physikalischen Sachverhalten zu ermöglichen. Die Problematik eines wissenschaftlichen Modells besteht nicht nur in dessen Schwierigkeit und Komplexität, sondern auch in der Verschränkung verschiedener, für den Schüler gedanklich oft nach Schulfächern sortierten, Wissenschaftsbereiche. In dieser Arbeit wird ein didaktisches Modell vorgestellt, welches vorschlägt, einerseits das wissenschaftliche Modell in Teilmodelle zu zerlegen und andererseits ausgehend von diesen Teilmodellen didaktisierte Modelle für den Einsatz im Lehr-/Lernprozess zu bilden. Die Teilmodelle stellen die Perspektiven der verschiedenen, an der Problemlösung beteiligten, Wissenschaftsgebiete dar. Diese Vorgehensweise findet sich auch im Namen dieses didaktischen Modells wieder: „Modell der Multiperspektivischen Modellierung“ (Böhm, Pospiech, Körndle, & Narciss, 2010). Dabei ist zu beachten, dass keine der Modellperspektiven für sich das Spiegelbild hinreichend erklären kann, sondern nur eine Vereinigung aller Modellperspektiven zu einem Gesamtmodell. Exemplarisch wird dieses Verfahren am Spiegelbild vorgestellt. Die Verwendung des Spiegelbildes hat verschiedene Gründe: (1) Es handelt sich hier um ein sehr gut untersuchtes physikalisches Phänomen, bei welchem trotz stetiger Verbesserung der Unterrichtskonzepte offenbar kein tiefer gehendes Verständnis bei den Schülern erzeugt werden konnte. (2) Historisch betrachtet hat die Entwicklung der heute gängigen Modellvorstellung eine sehr lange Zeit in Anspruch genommen. (3) Das wissenschaftliche Modell des Siegelbildes kann in verschiedene Modellperspektiven zerlegt werden. (4) Das Spiegelbild ist ein alltägliches Phänomen, mit dem jeder vertraut ist. (5) Es wird im Mathematikunterricht zur Motivation und Erklärung der Achsenspiegelung verwendet. (6) Umgekehrt wird das Spiegelbild im Physikunterricht mathematisch mit Hilfe der Achsenspiegelung modelliert. (7) Der Mensch spielt bei der Wahrnehmung und Interpretation des Bildes eine wesentliche Rolle. (8) Auch die Sprache ist ein Spiegel dafür, welche Vorstellungen die Menschen vom Spiegelbild haben, z. B. schaut man „in den Spiegel“ und sieht das Bild „im Spiegel“. (9) Zum Schluss stellt sich die Frage: „Was ist das eigentlich für ein Bild, welches man sieht?“ Mit diesen vielfältigen Blickwinkeln auf das Spiegelbild beschäftigt sich diese Arbeit. Wie kann nun im Physikunterricht erreicht werden, die Schülervorstellungen vom Spiegelbild hin zu wissenschaftlichen Konzepten zu verändern? Um diese Frage beantworten zu können, werden Theorien zum Wissenserwerb vorgestellt und deren pädagogische Implikationen diskutiert. Neben den Theorien von Piaget und Vygotskij steht die Betrachtung des Conceptual Change mit seinen beiden Ausprägungen des „Weak and Strong conceptual change“ (Carey, 1985) im Vordergrund. Mit dem Verfahren der Didaktischen Rekonstruktion (Kattmann, Duit, Gropengießer, & Komorek, 1997) werden alle Blickwinkel, welche im theoretischen Teil dieser Arbeit diskutiert werden, zusammengeführt und ein Schulungskonzept entwickelt. Zur Evaluation dieses Schulungskonzeptes wurde ein Test entwickelt, welcher Aussagen über das Schülerverständnis der dem Spiegelbild zugrunde liegenden Modellperspektiven ermöglicht. Zentral war hierbei eine Transferaufgabe zum Spiegelbild, bei der die Schüler ihre Lösung erklären und mit einem Bild illustrieren sollten. Die Transferaufgabe wurde in zwei Versionen erstellt. Der Unterschied bestand darin, dass die Schüler in der einen Version eine kleine Teilzeichnung erhielten, die auf der mathematischen Modellierung der Achsenspiegelung beruhte. Studie 1, welche nach ’unverändertem’ Unterricht in fünf Klassen (N=116) verschiedener Schulen durchgeführt wurde, zeigte einen signifikanten Effekt der Hilfestellung. Schüler, die eine Hilfe erhielten, argumentierten signifikant häufiger unter Verwendung der mathematischen Modellierung, welche die Generierung anderer Argumente zu behindern schien. Insgesamt war das Verständnis der Schüler, wie auch vorangegangene Studien zeigten, im Falle des Spiegelbildes eher gering. Die Schulung wurde auf Grundlage des didaktischen Modells der Multiperspektivischen Modellierung entwickelt. Dazu wurde die Entstehung des Spiegelbildes anhand der drei Modellperspektiven: (1) physikalische, (2) ’menschliche und (3) mathematische erklärt. Die Evaluation der Schulung in Kleingruppen (N=23) im Vergleich zu den nicht geschulten Schülern (N=23) ergab signifikant bessere Leistungen der geschulten Schüler. Es konnte festgestellt werden, dass dieses Konzept allen Schülern, leistungsschwachen, mittleren und leistungsstarken Schülern, gleichermaßen hilft. Begeistert vom Erfolg der vierstündigen Schulung wurde das Konzept der Verwendung von Modellperspektiven bei der Erklärung des Spiegelbildes für den Einsatz im Unterricht umgearbeitet. Es entstanden dabei zwei Arbeitsblätter, welche in zwei Unterrichtsstunden bearbeitet werden können. Die Evaluation wurde in vier Klassen (N=95) verschiedener Schulen durchgeführt. Die Verstehensleistungen der Schüler waren signifikant höher im Vergleich zu denen in Studie 1, blieben aber signifikant unter jenen, die an einer vierstündigen Schulung (Studie 2) teilgenommen haben. Die Verwendung von Modellperspektiven bei der Erklärung des Spiegelbildes führte bei den Schülern mit Schulung und bei dem Einsatz von Arbeitsblättern im Unterricht zu einer deutlichen Verbesserung der verwendeten Anzahl von Modellperspektiven bei der Lösung der Transferaufgabe. Das Argumentationsverhalten der Schüler hat sich damit im Vergleich zu den Schülern nach ’unverändertem’ Unterricht deutlich verbessert. Die Verwendung des didaktischen Modells der Multiperspektivischen Modellierung hat sich nicht nur in der besonderen Schulung, sondern auch im normalen Unterrichtsalltag bewährt. Dabei ist besonders zu erwähnen, dass es sich bei dem Einsatz im Unterricht (nur) um die Verwendung zweier Arbeitsblätter, welche die Modellperspektiven thematisierten, handelt. Das entwickelte didaktische Modell dient einerseits dazu, die Struktur des Physikunterrichtes zu verbessern, andererseits kann es zur Evaluation des Schülerverständnisses verwendet werden und ein fundiertes tutorielles Feedback (Narciss, 2006) ermöglichen.

This paper deals with decision problems related to the star problem in trace monoids, which means to determine whether the iteration of a recognizable trace language is recognizable. Due to a theorem by Richomme from 1994[30,31], we know that the Star Problem is decidable in trace monoids which do not contain a C4-submonoid. The C4 is (isomorphic to) the Caresian Product of two free monoids over doubleton alphabets. It is not known, whether the Star Problem is decidable in C4 or in trace monoids containing a C4. In this paper, we show undecidability of some related problems: Assume a trace monoid which contains a C4. Then, it is undecidable whether for two given recognizable languages K and L, we have K ⊆ L*, although we can decide K* ⊆ L. Further, we can not decide recognizability of K ∩ L* as well as universality and recognizability of K U L*.

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