Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik III: Elektrodynamik/Computergestützte Elektrodynamik im Wintersemester 2003/04 für den Studiengang Physik und den Bakkalaureusstudiengang Computational Science

Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik III: Elektrodynamik/Computergestützte Elektrodynamik im Wintersemester 2004/05 für den Studiengang Physik und den Bakkalaureusstudiengang Computational Science

The rank revealing QR decomposition is a special form of the well known QR decomposition of a matrix. It uses specialized pivoting strategies and allows for an easy and efficient numerical rank decision for arbitrary matrices. It is especially valuable when column compression of rectangular matrices needs to be performed. Here we provide documentation and compilation instructions for a MATLAB MEX implementation of the RRQR allowing the easy usage of this decomposition inside the MATLAB environment.

We address the important field of large scale matrix based algorithms in control and model order reduction. Many important tools from theory and applications in systems theory have been widely ignored during the recent decades in the context of PDE constraint optimal control problems and simulation of electric circuits. Often this is due to the fact that large scale matrices are suspected to be unsolvable in large scale applications. Since around 2000 efficient low rank theory for matrix equation solvers exists for sparse and also data sparse systems. Unfortunately upto now only incomplete or experimental Matlab implementations of most of these solvers have existed. Here we aim on the implementation of these algorithms in a higher programming language (in our case C) that allows for a high performance solver for many matrix equations arising in the context of large scale standard and generalized state space systems. We especially focus on efficient memory saving data structures and implementation techniques as well as the shared memory parallelization of the underlying algorithms.

Das Werk ist eine Chronologie der mathematisch-naturwissenschaftlichen Entdeckungen und deren Protagonisten. Es enthält ca. zwölftausend Einträge über Entdeckungen und Erfindungen mit den Namen jener Personen, die in den einzelnen Disziplinen (Mathematik, Physik, Chemie, Astro-, Geo- und Biowissenschaften) Entdeckungen gemacht haben. Das Nachschlagewerk ist nach Jahren geordnet und umfasst den Zeitraum zwischen 10.000 v.Chr. bis 1990. Das Werk ergibt damit ein Bild von dem langen und komplizierten Prozess, der von den ersten Erfahrungen und Erkenntnissen über die Natur zu einzelnen wissenschaftlichen Kenntnissen über deren Teilgebiete, dann zu systematischem Wissen über diese Teilgebiete und schließlich zu den heutigen Naturwissenschaften führte. Für die Vor- und Frühgeschichte sind dabei auch Leistungen berücksichtigt, denen das Attribut der Wissenschaftlichkeit zwar nur bedingt zuerkannt werden kann, deren Aufnahme jedoch unabdingbar ist, um die historischen Entwicklungslinien im vollen Umfang nachzuzeichnen. Die Geowissenschaften sind in ihrer ganzen, auch die Länder- bzw. Völkerkunde umfassenden Breite vertreten, wobei auch die Anfänge jener Entwicklungen berücksichtigt wurden, die später zu den heute oft als Humangeographie bezeichneten sozial- und geisteswissenschaftlichen Komponenten der Geowissenschaften (Sozial-, Verkehrs-, Wirtschaftsgeographie usw.) führten. Zudem enthält das Werk Daten zu frühen Universitätsgründungen, zur Formierung verschiedener philosophischer Ideen und Systeme, zur Entstehung bedeutender Akademien, zur Gründung von Vereinigungen der einzelnen Disziplinen, zur Herausgabe von Zeitschriften und zur Konstruktion von wissenschaftlichen Geräten, die – wie Mikroskop, Fernrohr oder Teilchenbeschleuniger – die weitere Forschung maßgeblich beeinflussten. Eine besondere Rolle spielte die Umsetzung naturwissenschaftlicher Ideen in technologischen Verfahren und die sich dabei ergebenden Rückwirkungen auf den Erkenntnisfortschritt in der jeweiligen Disziplin. Die Fülle der Einträge ermöglicht es, eine Vorstellung von den bestimmenden Entwicklungslinien der einzelnen naturwissenschaftlichen Gebiete und der Mathematik in einem beliebigen Zeitraum zu gewinnen und zu erkennen, welchen Platz sie und ihre Disziplinen in der Entwicklung der menschlichen Gesellschaft eingenommen haben bzw. wie sich diese Rolle im Laufe der Jahrhunderte veränderte. Zugleich werden auch die Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Disziplinen deutlich.:Geleitwort Vorwort und Danksagung Benutzerhinweise Autoren und deren Beiträge Epochen Vorgeschichte und frühe Hochkulturen Griechisch-hellenistische Antike Mittelalter Renaissance, Humanismus, Reformation Wissenschaftliche Revolution und Rationalismus Die Zeit des Durchbruchs zur Industriewirtschaft Der Industriekapitalismus am Ende des 19. und im Übergang ins 20. Jahrhundert Die Herausbildung der modernen Naturwissenschaften Die Zeit des kalten Krieges Verzeichnisse Verzeichnis der Nobelpreisträger Literaturverzeichnis Personenverzeichnis Sachwortverzeichnis

Convolution and, as a special case, autoconvolution of functions are important in many branches of mathematics and have found lots of applications, such as in physics, statistics, image processing and others. While it is a relatively easy task to determine the autoconvolution of a function (at least from the numerical point of view), the inverse problem, which consists in reconstructing a function from its autoconvolution is an ill-posed problem. Hence there is no possibility to solve such an inverse autoconvolution problem with a simple algebraic operation. Instead the problem has to be regularized, which means that it is replaced by a well-posed problem, which is close to the original problem in a certain sense. The outline of this thesis is as follows: In the first chapter we give an introduction to the type of inverse problems we consider, including some basic definitions and some important examples of regularization methods for these problems. At the end of the introduction we shortly present some general results about the convergence theory of Tikhonov-regularization. The second chapter is concerned with the autoconvolution of square integrable functions defined on the interval [0, 1]. This will lead us to the classical autoconvolution problems, where the term “classical” means that no kernel function is involved in the autoconvolution operator. For the data situation we distinguish two cases, namely data on [0, 1] and data on [0, 2]. We present some well-known properties of the classical autoconvolution operators. Moreover, we investigate nonlinearity conditions, which are required to show applicability of certain regularization approaches or which lead convergence rates for the Tikhonov regularization. For the inverse autoconvolution problem with data on the interval [0, 1] we show that a convergence rate cannot be shown using the standard convergence rate theory. If the data are given on the interval [0, 2], we can show a convergence rate for Tikhonov regularization if the exact solution satisfies a sparsity assumption. After these theoretical investigations we present various approaches to solve inverse autoconvolution problems. Here we focus on a discretized Lavrentiev regularization approach, for which even a convergence rate can be shown. Finally, we present numerical examples for the regularization methods we presented. In the third chapter we describe a physical measurement technique, the so-called SD-Spider, which leads to an inverse problem of autoconvolution type. The SD-Spider method is an approach to measure ultrashort laser pulses (laser pulses with time duration in the range of femtoseconds). Therefor we first present some very basic concepts of nonlinear optics and after that we describe the method in detail. Then we show how this approach, starting from the wave equation, leads to a kernel-based equation of autoconvolution type. The aim of chapter four is to investigate the equation and the corresponding problem, which we derived in chapter three. As a generalization of the classical autoconvolution we define the kernel-based autoconvolution operator and show that many properties of the classical autoconvolution operator can also be shown in this new situation. Moreover, we will consider inverse problems with kernel-based autoconvolution operator, which reflect the data situation of the physical problem. It turns out that these inverse problems may be locally well-posed, if all possible data are taken into account and they are locally ill-posed if one special part of the data is not available. Finally, we introduce reconstruction approaches for solving these inverse problems numerically and test them on real and artificial data.

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