We state and prove an analogue for varieties over finite fields of T. Fukaya''s and K. Kato''s version of the noncommutative Iwasawa main conjecture. Moreover, we explain how this statement can be reinterpreted in terms of Waldhausen K-theory.

Quantengruppen, Quantenräume zu Quantengruppen und speziell homogene Quantenräume zu Quantengruppen sind wichtige Beispiele nichtkommutativer geometrischer Räume. In dieser Arbeit werden die Quantensphären ungerader Dimension S_q^{2N-1} nach Vaksman und Soibelman als eine Klasse homogener Quantenräume untersucht. Ziel der Arbeit ist es, auf ihnen eine kovariante Differentialrechnung bereitzustellen und damit die Voraussetzungen für die Untersuchung ihrer nichtkommutativen Geometrie zu schaffen. Auf den Quantensphären S_q^{2N-1} werden für N>=4 unter zwei verschiedenen Setzungen der Nebenbedingungen kovariante Differentialkalküle erster Ordnung klassifiziert. Es wird gezeigt, daß für N>=4 genau vier Familien kovarianter *-Differentialkalküle erster Ordnung mit je zwei Parametern auf S_q^{2N-1} existieren, deren 1-Formen-Bimoduln von den Differentialen dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, der 2N algebraischen Erzeugenden der Quantensphäre als freie Linksmoduln erzeugt werden. Keiner dieser Differentialkalküle ist ein innerer Kalkül. Ferner wird gezeigt, daß für N>=4 genau fünf Familien kovarianter Differentialkalküle erster Ordnung mit je einem Parameter auf S_q^{2N-1} existieren, deren 1-Formen-Bimoduln von dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, als Linksmoduln erzeugt werden und für die alle Relationen im S_q^{2N-1}-Linksmodul der 1-Formen von genau einer Relation zwischen invarianten 1-Formen algebraisch erzeugt werden. Die Differentialkalküle dreier dieser Familien sind *-Kalküle, diejenigen einer davon innere Kalküle. Alle diese Kalküle existieren auch für N=2 und N=3. Für einen der inneren Differentialkalküle erster Ordnung \Gamma wird gezeigt, daß in jedem Differentialkalkül höherer Ordnung \Gamma^\wedge, der \Gamma fortsetzt, alle Differentialformen der Ordnung 2N+1 und höherer Ordnung verschwinden. Für \Gamma wird ein Symmetriehomomorphismus (braiding) konstruiert. Mit Hilfe des Differentialkalküls \Gamma, der Differentialkalküle höherer Ordnung und des Symmetriehomomorphismus werden Metriken und Zusammenhänge auf den Quantensphären S_q^{2N-1} eingeführt. / Quantum groups, quantum spaces for quantum groups and, particularly, quantum homogeneous spaces for quantum groups are important examples of noncommutative geometrical spaces. In this thesis, the odd-dimensional quantum spheres S_q^{2N-1} introduced by Vaksman and Soibelman, as a class of homogeneous quantum spaces, are investigated. The goal of the paper is to provide a framework of covariant differential calculus on them and to enable thereby an investigation of their noncommutative geometry. For N>=4, covariant first order differential calculi on S_q^{2N-1} are classified under two different settings of additional constraints. It is shown that there exist exactly four two-parameter families of covariant first order differential *-calculi on S_q^{2N-1} for N>=4 having bimodules of 1-forms which are generated as free left modules by the differentials dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, of the 2N algebra generators of the quantum sphere. None of these differential calculi is an inner calculus. Moreover, it is proved that there exist exactly five one-parameter families of covariant first order differential calculi on S_q^{2N-1} for N>=4 having bimodules of 1-forms which are generated as left modules by dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, and for which all relations in the left S_q^{2N-1}-module of 1-forms are algebraically generated by exactly one relation between invariant 1-forms. Three of these families consist of *-calculi, including one which consists of inner calculi. All calculi mentioned exist also for N=2 and N=3. For one particular inner first order differential calculus \Gamma it is shown that in any higher order differential calculus \Gamma^\wedge extending \Gamma, all differential forms of order 2N+1 or higher vanish. A symmetry homomorphism (braiding) for \Gamma is constructed. Using the differential calculus \Gamma, the higher order differential calculi and the braiding, metrics and connections are introduced on the quantum spheres S_q^{2N-1}.

In der vorliegenden Habilitationsschrift wird der Diracsee im äußeren Feld definiert und im Detail im Ortsraum untersucht. Kapitel 1 gibt eine allgemeine Einführung und einen Überblick. In Kapitel 2 wird gezeigt, daß der Diracsee für die Diracgleichung mit allgemeiner Wechselwirkung eindeutig definiert werden kann, wenn man eine Kausalitätsbedingung für den Diracsee fordert. Wir leiten eine explizite Formel für den Diracsee als Potenzreihe in den bosonischen Potentialen ab. Die Konstruktion wird auf Systeme von Diracseen verallgemeinert. Falls das System chirale Fermionen enthält, liefert die Kausalitätsbedingung eine Einschränkung für die bosonischen Potentiale. In Kapitel 3 untersuchen wir den Diracsee in chiralen und skalaren/pseudoskalaren Feldern. Als Vorbereitung wird eine Methode entwickelt, mit der die avancierte und retardierte Greensche Funktion um den Lichtkegel entwickelt werden kann. Dazu werden zunächst alle Feynman-Diagramme entwickelt und anschließend die Störungsreihe aufsummiert. Diese Lichtkegelentwicklung beschreibt die Greenschen Funktionen mittels einer unendlichen Reihe von Linienintegralen über das äußere Potential und dessen partielle Ableitungen. Der Diracsee wird in einen kausalen und einen nichtkausalen Anteil zerlegt. Der kausale Anteil hat eine Lichtkegelentwicklung, die mit der Lichtkegelentwicklung der Greenschen Funktionen eng verwandt ist; sie beschreibt das singuläre Verhalten des Diracsees mit Hilfe geschachtelter Linienintegrale längs des Lichtkegels. Der nichtkausale Anteil ist dagegen in jeder Ordnung Störungstheorie eine glatte Funktion im Ortsraum. / In this habiltation, the Dirac sea in the presence of an external field is defined and analyzed in detail in position space. Chapter 1 gives a general introduction and overview. In Chapter 2, it is shown that the Dirac sea can be uniquely defined for the Dirac equation with general interaction, if we impose a causality condition on the Dirac sea. We derive an explicit formula for the Dirac sea in terms of a power series in the bosonic potentials. The construction is extended to systems of Dirac seas. If the system contains chiral fermions, the causality condition yields a restriction for the bosonic potentials. In Chapter 3, we study the Dirac sea in the presence of chiral and scalar/pseudoscalar fields. In preparation, a method is developed for calculating the advanced and retarded Green''s functions in an expansion around the light cone. For this, we first expand all Feynman diagrams and then explicitly sum up the perturbation series. The light-cone expansion expresses the Green''s functions as an infinite sum of line integrals over the external potential and its partial derivatives. The Dirac sea is decomposed into a causal and a non-causal contribution. The causal contribution has a light-cone expansion which is closely related to the light-cone expansion of the Green''s functions; it describes the singular behavior of the Dirac sea in terms of nested line integrals along the light cone. The non-causal contribution, on the other hand, is, to every order in perturbation theory, a smooth function in position space.

The topic of this thesis is a mathematically rigorous derivation of formulae for the magnetic force which is exerted on a part of a bounded magnetized body by its surrounding. Firstly, the magnetic force is considered within a continuous system based on macroscopic magnetostatics. The force formula in this setting is called Brown''s force formula referring to W. F. Brown, who gave a mainly physically motivated discussion of it. This formula contains a surface integral which shows a nonlinear dependence on the normal. Brown assumes the existence of an additional term in the surface force which cancels the nonlinearity to allow an application of Cauchy''s theorem in continuum mechanics to a magnetoelastic material. The proof of Brown''s formula which is given in this work involves a suitable regularization of a hypersingular kernel and uses singular integral methods. Secondly, we consider a discrete, periodic setting of magnetic dipoles and formulate the force between a part of a bounded set and its surrounding. In order to pass to the continuum limit we start from the usual force formula for interacting magnetic dipoles. It turns out that the limit of the discrete force is different from Brown''s force formula. One obtains an additional nonlinear surface term which allows one to regard Brown''s assumption on the surface force as a consequence of the atomistic approach. Due to short range effects one obtains moreover an additional linear surface term in the continuum limit of the discrete force. This term contains a certain lattice sum which depends on a hypersingular kernel and the underlying lattice structure. / Das Thema dieser Arbeit ist eine mathematisch strenge Herleitung von Formeln für die magnetische Kraft, die auf einen Teil eines beschränkten, magnetischen Körpers durch seine Umgebung ausgeübt wird. Zunächst wird die magnetische Kraft in einem kontinuierlichen System auf Grundlage der makroskopischen Magnetostatik betrachtet. Mit Bezug auf W. F. Brown, der eine vor allem physikalisch motivierte Herleitung der Kraftformel gegeben hat, wird diese auch Brownsche Kraftformel genannt. Das Oberflächenintegral in dieser Formel zeigt eine nichtlineare Abhängigkeit von der Normalen. Um Cauchys Theorem aus der Kontinuumsmechanik in einem magnetoelastischen Material anwenden zu können, nimmt Brown an, dass die Oberflächenkraft einen zusäatzlichen Term enthält, der den nichtlinearen Ausdruck aufhebt. Der Beweis der Brownschen Kraftformel in dieser Arbeit beruht auf einer geeigneten Regularisierung eines hypersingulären Kerns und benutzt Methoden für singuläre Integrale. Danach gehen wir von einem diskreten, periodischen System von magnetischen Dipolen aus und betrachten die Kraft zwischen einem Teil einer beschränkten Menge und der Umgebung. Um zum Kontinuumslimes überzugehen, starten wir von der üblichen Kraftformel für wechselwirkende magnetische Dipole. Es zeigt sich, dass sich der Limes der diskreten Kraft von der Brownschen Kraftformel unterscheidet. Man erhält einen zusätzlichen nichtlinearen Oberflächenterm, der es ermöglicht, Browns Annahme als Konsequenz des atomistischen Zugangs zu sehen. Kurzreichweitige Effekte führen zudem zu einem linearen Oberflächenterm im Kontinuumlimes der diskreten Kraft. Dieser Zusatzterm enthält eine gewisse Gittersumme, die von einem hypersingulären Kern und der Struktur des zugrundeliegenden Gitters abhängt.

The work in this thesis contains three main topics. These are the passage from discrete to continuous models by means of $\Gamma$-convergence, random as well as periodic homogenization and fracture enabled by non-convex Lennard-Jones type interaction potentials. Each of them is discussed in the following. We consider a discrete model given by a one-dimensional chain of particles with randomly distributed interaction potentials. Our interest lies in the continuum limit, which yields the effective behaviour of the system. This limit is achieved as the number of atoms tends to infinity, which corresponds to a vanishing distance between the particles. The starting point of our analysis is an energy functional in a discrete system; its continuum limit is obtained by variational $\Gamma$-convergence. The $\Gamma$-convergence methods are combined with a homogenization process in the framework of ergodic theory, which allows to focus on heterogeneous systems. On the one hand, composite materials or materials with impurities are modelled by a stochastic or periodic distribution of particles or interaction potentials. On the other hand, systems of one species of particles can be considered as random in cases when the orientation of particles matters. Nanomaterials, like chains of atoms, molecules or polymers, are an application of the heterogeneous chains in experimental sciences. A special interest is in fracture in such heterogeneous systems. We consider interaction potentials of Lennard-Jones type. The non-standard growth conditions and the convex-concave structure of the Lennard-Jones type interactions yield mathematical difficulties, but allow for fracture. The interaction potentials are long-range in the sense that their modulus decays slower than exponential. Further, we allow for interactions beyond nearest neighbours, which is also referred to as long-range. The main mathematical issue is to bring together the Lennard-Jones type interactions with ergodic theorems in the limiting process as the number of particles tends to infinity. The blow up at zero of the potentials prevents from using standard extensions of the Akcoglu-Krengel subadditive ergodic theorem. We overcome this difficulty by an approximation of the interaction potentials which shows suitable Lipschitz and Hölder regularity. Beyond that, allowing for continuous probability distributions instead of only finitely many different potentials leads to a further challenge. The limiting integral functional of the energy by means of $\Gamma$-convergence involves a homogenized energy density and allows for fracture, but without a fracture contribution in the energy. In order to refine this result, we rescale our model and consider its $\Gamma$-limit, which is of Griffith's type consisting of an elastic part and a jump contribution. In a further approach we study fracture at the level of the discrete energies. With an appropriate definition of fracture in the discrete setting, we define a fracture threshold separating the region of elasticity from that of fracture and consider the pointwise convergence of this threshold. This limit turns out to coincide with the one obtained in the variational $\Gamma$-convergence approach. / Diese Arbeit vereinigt im Wesentlichen drei Themen: Den Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen mittels $\Gamma$-Konvergenz, stochastische sowie periodische Homogenisierung, sowie Bruchmechanik, die durch nicht-konvexe Wechselwirkungspotentiale vom Lennard-Jones-Typ ermöglicht wird. Jedes dieser drei Themen wird im Folgenden diskutiert. Wir betrachten ein diskretes Modell, bestehend aus einer eindimensionale Kette von Teilchen mit zufällig verteilten Wechselwirkungspotentialen. Wir sind am Kontinuumsgrenzwert interessiert, welcher das effektive Verhalten des Systems widerspiegelt. In diesem Grenzwert läuft die Anzahl der Atome gegen unendlich, was einem verschwindenden Abstand zwischen den Teilchen entspricht. Ausgehend von einer Energie eines diskreten Systems erhalten wir den Kontinuumsgrenzwert durch die variationelle Methode der $\Gamma$-Konvergenz, welche den Übergang zum kontinuierlichen System liefert. Die $\Gamma$-Konvergenzmethoden werden im Rahmen der Ergodentheorie mit einem Homogenisierungsprozess kombiniert, wodurch die Betrachtung heterogener Systeme möglich wird. Einerseits werden Verbundwerkstoffe oder Materialien mit Verunreinigungen durch eine stochastische oder periodische Verteilung der Teilchen oder der Wechselwirkungspotentiale modelliert. Andererseits können Systeme einer Teilchenart als zufällig angesehen werden, wenn die Orientierung der Teilchen von Bedeutung ist. Nanomaterialien wie Ketten von Atomen, Molekülen oder Polymeren bieten eine Anwendung des Modells der heterogenen Ketten in den experimentellen Wissenschaften. Von besonderem Interesse ist das Auftreten von Brüchen in diesen heterogenen Systemen. Wir betrachten Wechselwirkungspotentiale vom Lennard-Jones Typ. Die nicht-standardisierten Wachstumsbedingungen und die konvex-konkave Struktur der Lennard-Jones Potentiale werfen mathematische Schwierigkeiten auf, ermöglichen jedoch das Auftreten von Brüchen. Die Wechselwirkungen gelten als langreichweitig in dem Sinne, dass ihr Betrag langsamer als exponentiell abfällt. Darüber hinaus betrachten wir Wechselwirkungen jenseits der nächsten Nachbarn, was ebenfalls als langreichweitig bezeichnet wird. Eine der größten mathematischen Schwierigkeiten besteht darin, die Wechselwirkungen vom Lennard-Jones Typ mit den Ergodensätzen zusammenzuführen. Die Singularität der Potentiale bei Null erlaubt keine Verwendung der Standardtechniken zur Erweiterung des subadditiven Ergodensatzes von Akcoglu-Krengel. Die Lösung dieses Problems ist eine Approximation der Wechselwirkungspotentiale, welche eine geeignete Lipschitz- und Hölder-Regularität besitzt. Darüber hinaus stellt die Verwendung von kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, anstelle von nur endlich vielen verschiedenen Potentialen, eine weitere Herausforderung dar. Das Integralfunktional im Grenzwert besteht aus einer homogenisierten Energiedichte und ermöglicht Brüche, jedoch ohne einen Beitrag dieser Brüche zur Energie. Um dieses Ergebnis zu verfeinern, skalieren wir unser Modell neu und betrachten dessen $\Gamma$-Grenzwert, der in Form einer Energie vom Griffith-Typ gegeben ist und aus einem elastischen Teil und einem Sprungbeitrag besteht. In einem weiteren Ansatz untersuchen wir Brüche auf Ebene der diskreten Energien. Mit einer geeigneten Definition des Bruchpunktes im diskreten System definieren wir eine Bruchschwelle, die den Elastizitätsbereich von dem Gebiet mit Brüchen trennt. Von diesem Schwellwert berechnen wir anschließend den punktweisen Grenzwert. Es stellt sich heraus, dass dieser Grenzwert mit dem durch die variationelle $\Gamma$-Konvergenz errechneten übereinstimmt.

We present a technique for computing multi-branch-point covers with prescribed ramification and demonstrate the applicability of our method in relatively large degrees by computing several families of polynomials with symplectic and linear Galois groups. As a first application, we present polynomials over \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) for the primitive rank-3 groups \(PSp_4(3)\) and \(PSp_4(3).C_2\) of degree 27 and for the 2-transitive group \(PSp_6(2)\) in its actions on 28 and 36 points, respectively. Moreover, the degree-28 polynomial for \(PSp_6(2)\) admits infinitely many totally real specializations. Next, we present the first (to the best of our knowledge) explicit polynomials for the 2-transitive linear groups \(PSL_4(3)\) and \(PGL_4(3)\) of degree 40, and the imprimitive group \(Aut(PGL_4(3))\) of degree 80. Additionally, we negatively answer a question by König whether there exists a degree-63 rational function with rational coefficients and monodromy group \(PSL_6(2)\) ramified over at least four points. This is achieved due to the explicit computation of the corresponding hyperelliptic genus-3 Hurwitz curve parameterizing this family, followed by a search for rational points on it. As a byproduct of our calculations we obtain the first explicit \(Aut(PSL_6(2))\)-realizations over \(\mathbb{Q}(t)\). At last, we present a technique by Elkies for bounding the transitivity degree of Galois groups. This provides an alternative way to verify the Galois groups from the previous chapters and also yields a proof that the monodromy group of a degree-276 cover computed by Monien is isomorphic to the sporadic 2-transitive Conway group \(Co_3\). / Wir stellen eine Technik zur Berechnung von Mehrpunktüberlagerungen mit vorgeschriebener Verzweigung vor und demonstrieren die Anwendbarkeit unserer Methode in relativ großen Graden durch die Berechnung mehrerer Familien von Polynomen mit symplektischen und linearen Galoisgruppen. Als erste Anwendung präsentieren wir Polynome über \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) für die primitiven Rang-3-Gruppen \(PSp_4(3)\) und \(PSp_4(3).C_2\) vom Grad 27 und für die 2-fach transitive Gruppe \(PSp_6(2)\) in ihren Operationen auf 28 bzw. 36 Punkten. Außerdem lässt das Polynom vom Grad 28 für \(PSp_6(2)\) unendlich viele total-reelle Spezialisierungen zu. Als Nächstes präsentieren wir die (unseres Wissens nach) ersten expliziten Polynome für die 2-fach transitiven linearen Gruppen \(PSL_4(3)\) und \(PGL_4(3)\) vom Grad 40 und die imprimitive Gruppe \(Aut(PGL_4(3))\) vom Grad 80. Zusätzlich geben wir eine negative Antwort auf die Frage von König, ob es eine rationale Funktion vom Grad 63 mit rationalen Koeffizienten gibt, die über mindestens vier Punkten verzweigt ist und Monodromiegruppe \(PSL_6(2)\) besitzt. Dies wird durch die explizite Berechnung der entsprechenden hyperelliptischen Geschlecht-3 Hurwitzkurve erreicht, die diese Familie parametrisiert, gefolgt von einer Suche nach rationalen Punkten auf ihr. Als Nebenprodukt unserer Berechnungen erhalten wir die ersten expliziten \(Aut(PSL_6(2))\)-Realisierungen über \(\mathbb{Q}(t)\). Schließlich stellen wir eine Technik von Elkies zur Beschränkung des Transitivitätsgrades von Galoisgruppen vor. Diese bietet einen alternativen Weg, die Galoisgruppen aus den vorherigen Kapiteln zu verifizieren und liefert auch einen Beweis dafür, dass die Monodromiegruppe einer von Monien berechneten Grad-276 Überlagerung isomorph zur sporadischen 2-fach transitiven Conway-Gruppe \(Co_3\) ist.

In this thesis, we are interested in numerically preserving stationary solutions of balance laws. We start by developing finite volume well-balanced schemes for the system of Euler equations and the system of MHD equations with gravitational source term. Since fluid models and kinetic models are related, this leads us to investigate AP schemes for kinetic equations and their ability to preserve stationary solutions. Kinetic models typically have a stiff term, thus AP schemes are needed to capture good solutions of the model. For such kinetic models, equilibrium solutions are reached after large time. Thus we need a new technique to numerically preserve stationary solutions for AP schemes. We find a criterion for SP schemes for kinetic equations which states, that AP schemes under a particular discretization are also SP. In an attempt to mimic our result for kinetic equations in the context of fluid models, for the isentropic Euler equations we developed an AP scheme in the limit of the Mach number going to zero. Our AP scheme is proven to have a SP property under the condition that the pressure is a function of the density and the latter is obtained as a solution of an elliptic equation. The properties of the schemes we developed and its criteria are validated numerically by various test cases from the literature. / In dieser Arbeit interessieren wir uns für numerisch erhaltende stationäre Lösungen von Erhaltungsgleichungen. Wir beginnen mit der Entwicklung von well-balanced Finite-Volumen Verfahren für das System der Euler-Gleichungen und das System der MHD-Gleichungen mit Gravitationsquell term. Da Strömungsmodelle und kinetische Modelle miteinander verwandt sind, untersuchen wir asymptotisch erhaltende (AP) Verfahren für kinetische Gleichungen und ihre Fähigkeit, stationäre Lösungen zu erhalten. Kinetische Modelle haben typischerweise einen steifen Term, so dass AP Verfahren erforderlich sind, um gute Lösungen des Modells zu erhalten. Bei solchen kinetischen Modellen werden Gleichgewichtslösungen erst nach langer Zeit erreicht. Daher benötigen wir eine neue Technik, um stationäre Lösungen für AP Verfahren numerisch zu erhalten. Wir finden ein Kriterium für stationär-erhaltende (SP) Verfahren für kinetische Gleichungen, das besagt, dass AP Verfahren unter einer bestimmten Diskretisierung auch SP sind. In dem Versuch unser Ergebnis für kinetische Gleichungen im Kontext von Strömungsmodellen nachzuahmen, haben wir für die isentropen Euler-Gleichungen ein AP Verfahren für den Grenzwert der Mach-Zahl gegen Null, entwickelt. Unser AP Verfahren hat nachweislich eine SP Eigenschaft unter der Bedingung, dass der Druck eine Funktion der Dichte ist und letztere als Lösung einer elliptischen Gleichung erhalten wird. Die Eigenschaften des von uns entwickelten und seine Kriterien werden anhand verschiedener Testfälle aus der Literatur numerisch validiert. / In this thesis, we are interested in numerically preserving stationary solutions of balance laws. We start by developing finite volume well-balanced schemes for the system of Euler equations and the system of Magnetohydrodynamics (MHD) equations with gravitational source term. Since fluid models and kinetic models are related, this leads us to investigate Asymptotic Preserving (AP) schemes for kinetic equations and their ability to preserve stationary solutions. In an attempt to mimic our result for kinetic equations in the context of fluid models, for the isentropic Euler equations we developed an AP scheme in the limit of the Mach number going to zero. The properties of the schemes we developed and its criteria are validated numerically by various test cases from the literature.

This cumulative dissertation is organized as follows: After the introduction, the second chapter, based on “Asymptotic independence of bivariate order statistics” (2017) by Falk and Wisheckel, is an investigation of the asymptotic dependence behavior of the components of bivariate order statistics. We find that the two components of the order statistics become asymptotically independent for certain combinations of (sequences of) indices that are selected, and it turns out that no further assumptions on the dependence of the two components in the underlying sample are necessary. To establish this, an explicit representation of the conditional distribution of bivariate order statistics is derived. Chapter 3 is from “Conditional tail independence in archimedean copula models” (2019) by Falk, Padoan and Wisheckel and deals with the conditional distribution of an Archimedean copula, conditioned on one of its components. We show that its tails are independent under minor conditions on the generator function, even if the unconditional tails were dependent. The theoretical findings are underlined by a simulation study and can be generalized to Archimax copulas. “Generalized pareto copulas: A key to multivariate extremes” (2019) by Falk, Padoan and Wisheckel lead to Chapter 4 where we introduce a nonparametric approach to estimate the probability that a random vector exceeds a fixed threshold if it follows a Generalized Pareto copula. To this end, some theory underlying the concept of Generalized Pareto distributions is presented first, the estimation procedure is tested using a simulation and finally applied to a dataset of air pollution parameters in Milan, Italy, from 2002 until 2017. The fifth chapter collects some additional results on derivatives of D-norms, in particular a condition for the existence of directional derivatives, and multivariate spacings, specifically an explicit formula for the second-to-last bivariate spacing. / Diese kumulative Dissertation ist wie folgt aufgebaut: Nach der Einleitung wird im zweiten Kapitel, welches auf “Asymptotic independence of bivariate order statistics” (2017) von Falk und Wisheckel beruht, die asymptotische Abhängigkeitsstruktur von bivariaten Ordnungsstatistiken untersucht. Dazu wird eine explizite Darstellung der bedingten Verteilung einer bivariaten Ordnungsstatistik hergeleitet. Kapitel 3, basierend auf “Conditional tail independence in archimedean copula models” (2019) von Falk, Padoan und Wisheckel, zeigt, dass unter schwachen Anforderungen an den Generator einer Archimedischen Copula die übrigen Komponenten unabhängig werden, wenn man auf eine davon bedingt. Das insbesondere auch dann, wenn die Komponenten ohne die Bedingung abhängig waren. Die theoretischen Erkenntnisse werden anhand von Simulationsergebnissen verdeutlicht. “Generalized pareto copulas: A key to multivariate extremes” (2019) von Falk, Padoan und Wisheckel liefert Kapitel 4. Es wird ein nichtparametrischer Ansatz vorgestellt um die Überschreitungswahrscheinlichkeit eines Zufallsvektors über einen festen, hohen Schwellenwert zu schätzen, wenn dieser einer verallgemeinerten Pareto Copula folgt. Das Verfahren wird in den theoretischen Rahmen eingebettet, anhand einer Simulation validiert und auf Luftverschmutzungsdaten in Mailand, Italien, von 2002 bis 2017 angewendet. Im fünften Kapitel werden einige weitere Ergebnisse gesammelt: es geht um Ableitungen von D-Normen, insbesondere um eine Bedingung, die die Existenz der Richtungsableitungen sicherstellt. Außerdem werden multivariate Spacings thematisiert.

Die hier dargelegte Dissertation ist motiviert durch die Vorschläge von Joyce, Doan und Walpuski zur Definitionen enumerativer Invarianten für G2-Mannigfaltigkeit, durch das Zählen gewisser kalibrierter Untermannigfaltigkeiten, sogenannter assoziativen Untermannigfaltigkeiten. In Kapitel 1, werde ich Definitionen und grundlegende Fakten über G2-Mannigfaltigkeit und deren assoziative Untermannigfaltigkeit wiederholen. Darüber hinaus erläutere ich die Konstruktion von G2-Mannigfaltigkeit als verdrehte verbundener Summe. Kapitel 2 schafft die nötige Grundlage für das darauf folgende dritte Kapitel. Hier definiere ich den Modul-Raum der asymptotisch zylindrischen assoziativen Untermannigfaltigkeiten zusammen mit seiner natürlichen Topologie und zeige, dass der Modul-Raum lokal homeomorph zur Urbild-Menge der Null einer glatten Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen Räu- men ist. In besonderen Fällen ist dieser Modul-Raum eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit des Modul Raums der holomorphen Kurven einer asymptotisch zylindrischen Calabi-Yau Man- nigfaltigkeit. In Kapitel 3 beweise ich ein Klebe-Theorem für ein Paar von asymptotisch zylindrischen as- soziativen Untermannigfaltigkeiten in einem zusammenpassenden Paar von asymptotisch zylin- drischen G2-Mannigfaltigkeiten. Hiermit konstruiere ich neue geschlossene und starre (rigid) assoziative Untermannigfaltigkeiten in verdrehten verbundenen Summe G2-Mannigfaltigkeiten. In Kapitel 4 untersuche ich den Modul-Raum der konisch singulären assoziativen Un- termannigfaltigkeiten in G2-Mannigfaltigkeiten. Durch das Umformulieren des Indexes des Operators, der die Deformationstheorie kontrolliert, in bestimmte Stabilität-Indizes des zu- grundeliegenden assoziativen Kegels begründe ich, dass in einem generischen Pfad in dem Raum der ko-geschlossenen G2-Strukturen keine asymptotisch konischen assoziative Unter- mannigfaltigkeiten existieren, die mindestens eine Singularität besitzen, die auf einem Kegel mit Stabiltätsindex größer als eins modeliert werden. Dieses Resultat lässt sich auf alle speziellen Lagrangesche-Kegel außer den Harvey-Lawson-T2-Kegel und die Vereinigung zweier speziellen Lagrangesche-Flächen anwenden. Zusätzlich lässt sich das Ergebnis auch auf alle konischen assoziativen Untermannigfaltigkeiten anwenden, deren zugrundeliegende Verschlingung (link) holomorphe Kurven mit Null-Torsion in S6 sind. Des Weiteren dienen Teile des vierten Kapitels als Grundlage für das darauf folgende Kapitel 5. Aufgrund einiger Übergangsphänomene entlang eines generischen Pfades von G2-Strukturen, führt das naive Zählen von assoziativen Untermannigfaltigkeiten zu keiner Invariante. Tat- sächlich wurde vermutet, dass a) eine assoziative Untermannigfaltigkeit aus einer assoziativen Untermannigfaltigkeit mit Selbstsschnitt (self-intersection) geboren werden kann, und, dass b) drei assoziative Untermannigfaltigkeiten aus einer konisch singulären assoziativen Un- termannigfaltigkeit, deren Singularität durch den Harvey-Lawson-T2-Kegel modelliert wird, entspringen. In Kapitel 5, beweise ich ein Desingularitätstheorem für konisch singulären assoziative Untermannigfaltigkeit entlang eines Pfades von ko-geschlossenen G2-Strukturen. Somit verifiziere ich Vermutung b) bewiesen und teilweise auch Vermutung a). / The dissertation presented here is motivated from the proposals made by Joyce, Doan and Walpuski to define enumerative invariants of G2-manifolds by counting certain calibrated submanifolds, called associative submanifolds. In Chapter 1, I review the definitions and basic facts of G2-manifolds and associative submanifolds. Moreover, I explain the construction of G2-manifolds as twisted connected sums. Chapter 2 serves as a necessary groundwork for Chapter 3. Here, I define the moduli space of asymptotically cylindrical associative submanifolds with its natural topology and prove that the moduli space is locally homeomorphic to the zero set of a smooth map between two finite-dimensional spaces. In the best scenario, this moduli space is a Lagrangian submanifold of the moduli space of holomorphic curves in the asymptotic Calabi-Yau 3-fold. In Chapter 3, I prove a gluing theorem for a pair of asymptotically cylindrical associative submanifolds in a matching pair of asymptotically cylindrical G2-manifolds. Using this I construct new closed and rigid associative submanifolds of twisted connected sum G2-manifolds. In Chapter 4, I study the moduli space of conically singular associative submanifolds in G2-manifolds. By reformulating the index of the operator that controls the deformation theory in terms of certain stability-index of the associative cones, I establish that in a generic path of co-closed G2-structures there are no conically singular associative submanifolds that have at least one singularity modeled on a cone of stability-index greater than one. This result applies to all special Lagrangian cones, except the Harvey-Lawson T2-cone and a union of two special Lagrangian planes. Additionally, it applies to all associative cones whose links are null-torsion holomorphic curves in S6. Furthermore, parts of Chapter 4 also serve as a necessary groundwork for Chapter 5. The naive counting of associative submanifolds does not lead to an invariant due to several transitions that may occur along a generic path of G2-structures. In fact it was conjectured that a) an associative submanifold born out of an associative submanifold with self intersection, and b) three associative submanifolds arise from a conically singular associative submanifold whose singularity is modeled on Harvey-Lawson T2-cone. In Chapter 5, I prove a desingularization theorem for conically singular associative submanifolds along a path of co-closed G2-structures. Consequently, I verify conjecture b) and partially confirm conjecture a).

Ziel dieser Arbeit ist es zwei verschiedene Klassen von Systemen nichtlinearer parabolischer Gleichungen zu homogenisieren, und zwar Reaktions-Diffusions-Systeme mit verschiedenen Diffusionslängenskalen und Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard. Wir betrachten parabolische Gleichungen mit periodischen Koeffizienten, wobei die Periode dem Verhältnis der charakteristischen mikroskopischen zu der makroskopische Längenskala entspricht. Unser Ziel ist es, effektive Gleichungen rigoros herzuleiten, um die betrachteten Systeme besser zu verstehen und den Simulationsaufwand zu minimieren. Wir suchen also einen Konvergenzbegriff, mit dem die Lösung des Ausgangsmodells im Limes der Periode gegen Null gegen die Lösung des effektiven Modells konvergiert. Um die periodische Mikrostruktur und die verschiedenen Diffusivitäten zu erfassen, verwenden wir die Zwei-Skalen Konvergenz mittels periodischer Auffaltung. Der erste Teil der Arbeit handelt von Reaktions-Diffusions-Systemen, in denen einige Spezies mit der charakteristischen Diffusionslänge der makroskopischen Skala und andere mit der mikroskopischen diffundieren. Die verschiedenen Diffusivitäten führen zu einem Verlust der Kompaktheit, sodass wir nicht direkt den Grenzwert der nichtlinearen Terme bestimmen können. Wir beweisen mittels starker Zwei-Skalen Konvergenz, dass das effektive Modell ein zwei-skaliges Modell ist, welches von der makroskopischen und der mikroskopischen Skale abhängt. Unsere Methode erlaubt es uns, explizite Raten für die Konvergenz der Lösungen zu bestimmen. Im zweiten Teil betrachten wir Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard, welche ortsabhängige Mobilitätskoeffizienten und allgemeine Potentiale beinhalten. Wir beweisen evolutionäre Gamma-Konvergenz der zugehörigen Gradientensysteme basierend auf der Gamma-Konvergenz der Energien und der Dissipationspotentiale. / The aim of this thesis is to derive homogenization results for two different types of systems of nonlinear parabolic equations, namely reaction-diffusion systems involving different diffusion length scales and Cahn-Hilliard-type equations. The coefficient functions of the considered parabolic equations are periodically oscillating with a period which is proportional to the ratio between the charactersitic microscopic and macroscopic length scales. In view of greater structural insight and less computational effort, it is our aim to rigorously derive effective equations as the period tends to zero such that solutions of the original model converge to solutions of the effective model. To account for the periodic microstructure as well as for the different diffusion length scales, we employ the method of two-scale convergence via periodic unfolding. In the first part of the thesis, we consider reaction-diffusion systems, where for some species the diffusion length scale is of order of the macroscopic length scale and for other species it is of order of the microscopic one. Based on the notion of strong two-scale convergence, we prove that the effective model is a two-scale reaction-diffusion system depending on the macroscopic and the microscopic scale. Our approach supplies explicit rates for the convergence of the solution. In the second part, we consider Cahn-Hilliard-type equations with position-dependent mobilities and general potentials. It is well-known that the classical Cahn-Hilliard equation admits a gradient structure. Based on the Gamma-convergence of the energies and the dissipation potentials, we prove evolutionary Gamma-convergence, for the associated gradient system such that we obtain in the limit of vanishing periods a Cahn-Hilliard equation with homogenized coefficients.