Bei elliptischen Kurven E/K über einem Zahlkörper K zwingt die Cassels-Tate Paarung die Ordnung der Tate-Shafarevich Gruppe Sha(E/K) zu einem Quadrat. Ist A/K eine prinzipal polarisierte abelschen Varietät, so ist bewiesen, daß die Ordnung von Sha(A/K) ein Quadrat oder zweimal ein Quadrat ist. William Stein vermutet, daß es für jede quadratfreie positive ganze Zahl k eine abelsche Varietät A/Q gibt, mit #Sha(A/Q)=kn². Jedoch ist es ein offenes Problem was zu erwarten ist, wenn die Dimension von A/Q beschränkt wird. Betrachtet man ausschließlich abelsche Flächen B/Q, so liefern Resultate von Poonen, Stoll und Stein Beispiele mit #Sha(B/Q)=kn², für k aus {1,2,3}. Diese Arbeit studiert tiefgehend nicht-einfache abelsche Flächen B/Q, d.h. es gibt elliptische Kurven E_1/Q und E_2/Q und eine Isogenie phi: E_1 x E_2 -> B. Relativ zur quadratischen Ordnung der Tate-Shafarevich Gruppe von E_1 x E_2 soll die Ordnung von Sha(B/Q) bestimmt werden. Um dieses Ziel zu erreichen wird die Isogenie-Invarianz der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ausgenutzt. Für jedes k aus {1,2,3,5,6,7,10,13,14} wird eine nicht-einfache, nicht-prinzipal polarisierte abelsche Fläche B/Q konstruiert, mit #Sha(B/Q)=kn². Desweiteren wird computergestützt berechnet wie oft #Sha(B/Q)=5n², sofern die Isogenie phi: E_1 x E_2 -> B zyklisch vom Grad 5 ist. Es stellt sich heraus, daß dies bei circa 50% der ersten 20 Millionen Beispielen der Fall ist. Abschließend wird gezeigt, daß wenn phi: E_1 x E_2 -> B zyklisch ist und #Sha(B/Q)=kn², so liegt k in {1,2,3,5,6,7,10,13}. Bei allgemeinen Isogenien phi: E_1 x E_2 -> B bleibt es unklar, ob k nur endlich viele verschiedene Werte annehmen kann. Im Anhang wird auf abelsche Flächen eingegangen, welche isogen zu der Jacobischen J einer hyperelliptischen Kurve über Q sind. Mit den in dieser Arbeit entwickelten Techniken können, anhand gewisser zyklischer Isogenien phi: J -> B, für jedes k in {11,17,23,29} Beispiele mit #Sha(B/Q)=kn² gegeben werden. / For elliptic curves E/K over a number field K the Cassels-Tate pairing forces the order of the Tate-Shafarevich group Sha(E/K) to be a perfect square. It is known, that if A/K is a principally polarised abelian variety, then the order of Sha(A/K) is a square or twice a square. William Stein conjectures that for any given square-free positive integer k there is an abelian variety A/Q, such that #Sha(A/Q)=kn². However, it is an open question what to expect if the dimension of A/Q is bounded. Restricting to abelian surfaces B/Q, then results of Poonen, Stoll and Stein imply that there are examples such that #Sha(B/Q)=kn², for k in {1,2,3}. In this thesis we focus in depth on non-simple abelian surfaces B/Q, i.e. there are elliptic curves E_1/Q and E_2/Q and an isogeny phi: E_1 x E_2 -> B. We want to compute the order of Sha(B/Q) with respect to the order of the Tate-Shafarevich group of E_1 x E_2, which has square order. To achieve this goal, we explore the invariance under isogeny of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. For each k in {1,2,3,5,6,7,10,13,14} we construct a non-simple non-principally polarised abelian surface B/Q, such that #Sha(B/Q)=kn². Furthermore, we compute numerically how often the order of Sha(B/Q) equals five times a square, for cyclic isogenies phi: E_1 x E_2 -> B of degree 5. It turns out that this happens to be the case in approx. 50% of the first 20 million examples we have checked. Finally, we prove that if there is a cyclic isogeny phi: E_1 x E_2 -> B and #Sha(B/Q)=kn², then k is in {1,2,3,5,6,7,10,13}. For general isogenies phi: E_1 x E_2 -> B it remains unclear, whether there are only finitely many possibilities for k. In the appendix, we briefly consider abelian surfaces B/Q being isogenous to Jacobians J of hyperelliptic curves over Q. The techniques developed in this thesis allow to understand certain cyclic isogenies phi: J -> B. For each k in {11,17,23,29}, we provide an example with #Sha(B/Q)=kn².

Die vorliegende Arbeit zum Thema der numerischen Analysis von Eigenwertproblemen befasst sich mit fünf wesentlichen Aspekten der numerischen Analysis von Eigenwertproblemen. Der erste Teil präsentiert einen Algorithmus von asymptotisch quasi-optimaler Rechenlaufzeit, der die adaptive Finite Elemente Methode mit einem iterativen algebraischen Eigenwertlöser kombiniert. Der zweite Teil präsentiert explizite beidseitige Schranken für die Eigenwerte des Laplace Operators auf beliebig groben Gittern basierend auf einer Approximation der zugehörigen Eigenfunktion in dem nicht konformen Finite Elemente Raum von Crouzeix und Raviart und einem Postprocessing. Die Effizienz der garantierten Schranke des Eigenwertfehlers hängt von der globalen Gitterweite ab. Der dritte Teil betrachtet eine adaptive Finite Elemente Methode basierend auf Verfeinerungen von Knoten-Patchen. Dieser Algorithmus zeigt eine asymptotische Fehlerreduktion der adaptiven Sequenz von einfachen Eigenwerten und Eigenfunktionen des Laplace Operators. Die hier erstmals bewiesene Eigenschaft der Saturation des Eigenwertfehlers zeigt Zuverlässigkeit und Effizienz für eine Klasse von hierarchischen a posteriori Fehlerschätzern. Der vierte Teil betrachtet a posteriori Fehlerschätzer für Konvektion-Diffusion Eigenwertprobleme, wie sie von Heuveline und Rannacher (2001) im Kontext der dual-gewichteten residualen Methode (DWR) diskutiert wurden. Zwei neue dual-gewichtete a posteriori Fehlerschätzer werden vorgestellt. Der letzte Teil beschäftigt sich mit drei adaptiven Algorithmen für Eigenwertprobleme von nicht selbst-adjungierten Operatoren partieller Differentialgleichungen. Alle drei Algorithmen basieren auf einer Homotopie-Methode die vom einfacheren selbst-adjungierten Problem startet. Neben der Gitterverfeinerung wird der Prozess der Homotopie sowie die Anzahl der Iterationen des algebraischen Löser adaptiv gesteuert und die verschiedenen Anteile am gesamten Fehler ausbalanciert. / This thesis "on the numerical analysis of eigenvalue problems" consists of five major aspects of the numerical analysis of adaptive finite element methods for eigenvalue problems. The first part presents a combined adaptive finite element method with an iterative algebraic eigenvalue solver for a symmetric eigenvalue problem of asymptotic quasi-optimal computational complexity. The second part introduces fully computable two-sided bounds on the eigenvalues of the Laplace operator on arbitrarily coarse meshes based on some approximation of the corresponding eigenfunction in the nonconforming Crouzeix-Raviart finite element space plus some postprocessing. The efficiency of the guaranteed error bounds involves the global mesh-size and is proven for the large class of graded meshes. The third part presents an adaptive finite element method (AFEM) based on nodal-patch refinement that leads to an asymptotic error reduction property for the adaptive sequence of simple eigenvalues and eigenfunctions of the Laplace operator. The proven saturation property yields reliability and efficiency for a class of hierarchical a posteriori error estimators. The fourth part considers a posteriori error estimators for convection-diffusion eigenvalue problems as discussed by Heuveline and Rannacher (2001) in the context of the dual-weighted residual method (DWR). Two new dual-weighted a posteriori error estimators are presented. The last part presents three adaptive algorithms for eigenvalue problems associated with non-selfadjoint partial differential operators. The basis for the developed algorithms is a homotopy method which departs from a well-understood selfadjoint problem. Apart from the adaptive grid refinement, the progress of the homotopy as well as the solution of the iterative method are adapted to balance the contributions of the different error sources.

Diese Arbeit beinhaltet {\it geometrische Algorithmen} zur L\"osung reeller polynomialer Gleichungssysteme mit rationalen Koeffizienten, wobei die Polynome eine reduzierte regul\"are Folge bilden (vgl. Abschnitt \ref{abschgeo}). Unter reellem L\"osen verstehen wir hier die Bestimmung eines Punktes in jeder Zusammenhangskomponente einer kompakten glatten reellen Variet\"at $V:=W \cap \R^n$.\\ Im Mittelpunkt steht die Anwendung des f\"ur den algebraisch abgeschlossenen Fall ver\"offentlichten symbolischen geometrischen Algorithmus nach \cite{gh2} und \cite{gh3}. Die Berechenungsmodelle sind {\em Straight--Line Programme} und {arithmetische Netzwerke} mit Parametern in $\; \Q$. Die Input--Polynome sind durch ein Straight--Line Programm der Gr\"o{\ss}e $L$ gegeben. Eine geometrische L\"osung des Input--Glei\-chungs\-sys\-tems besteht aus einem primitiven Element der Ringerweiterung, welche durch die Nullstellen des Systems beschrieben ist, aus einem mininalen Polynom dieses primitiven Elements, und aus den Parametrisierungen der Koordinaten. Diese Darstellung der L\"osung hat eine lange Geschichte und geht mindestens auf Leopold Kronecker \cite{kron} zur\"uck. Die Komplexit\"at des in dieser Arbeit begr\"undeten Algorithmus erweist sich als linear in $L$ und polynomial bez\"uglich $n, d, \delta$ bzw. $\delta \;'$, wobei $n$ die Anzahl der Variablen und $d$ eine Gradschranke der Polynome im System ist. Die Gr\"o{\ss}en $\delta$ und $\delta \; '$ sind geometrische Invarianten, die das Maximum der {\em Grade des Inputsystems} und geeigneter {\em polarer Variet\"aten} repr\"asentieren (bzgl. des ({\em geometrischen}) Grades vgl. \cite{he}). Die Anwendung eines Algorithmus \"uber den komplexen Zahlen auf das L\"osen von polynomialen Gleichungen im Reellen wird durch die Einf\"urung polarer Variet\"aten m\"oglich (vgl. \cite{bank}). Die polaren Variet\"aten sind das Kernst\"uck und das vorbereitende Werzeug zur effizienten Nutzung des oben erw\"ahnten geometrischen Algorithmus. Es wird ein inkrementelles Verfahren zur Auffindung reeller Punkte in jeder Zusammenhangskomponente der Nullstellenmenge des Inputsystems abgeleitet, welches einen beschr\"ankten glatten (lokalen) vollst\"andigen Durchschnitt in $\R^n$ beschreibt. Das Inkrement des Algorithmus ist die Kodimension der polaren Variet\"aten. Die Haupts\"atze sind Satz $\ref{theorem12}$ auf Seite $\pageref{theorem12}$ f\"ur den Hyperfl\"achenfall, und Satz $\ref{theoresult}$ auf Seite $\pageref{theoresult}$, sowie die Aussage in der Einf\"uhrung dieser Arbeit, Seite $\pageref{vollres}$ f\"ur den vollst\"andigen Durchschnitt. / This dissertation deals with {\em geometric algorithms} for solving real multivariate polynomial equation systems, that define a reduced regular sequence (cf. subsection $\ref{abschgeo}$). Real solving means that one has to find at least one real point in each connected component of a real compact and smooth variety $V := W \cap \R^n$. \\ The main point of this thesis is the use of a complex symbolic geometric algorithm, which is designed for an algebraically closed field and was published in the papers \cite{gh2} and \cite{gh3}. The models of computation are {\em straight--line programms} and {\em arithmetic Networks} with parameters in $\; \Q$. Let the polynomials be given by a division--free straight--line programm of size $L$. A geometric solution for the system of equations given by the regular sequence consists in a {\em primitiv element} of the ring extension associated with the system, a minimal polynomial of this primitive element and a parametrization of the coordinates. This representation has a long history going back to {\em Leopold Kronecker} \cite{kron}. The time--complexity of our algorithms turns out to be linear in $L$ and polynomial with respect to $n, d, \delta$ or $\delta '$, respectively. Here $n$ denotes the number of variables, $d$ is an upper bound of the degrees of the polynomials involved in the system, $\delta$ and $\delta '$ are geometric invariants representing the maximum of the {\em affine (geometric) degree} of the system under consideration and the affine (geometric) degree of suitable {\em polar varieties} (cf. \cite{he} for the ({\em geometric}) degree). The application of an algorithm running in the complex numbers to solve polynomial equations in the real case becomes possible by the introduction of polar varieties (cf. \cite{bank}). The polar varieties introduced for this purpose prove to be the corner--stone and the preliminary tool for the efficient use of the geometric algorithm mentioned above. An incremental algorithm is designed to find at least one real point on each connected component of the zero set defined by the input under the assumption that the given semialgebraic set $V = W \cap \R^n$ is a bounded, smooth (local) complete intersection manifold in $\R^n$. The increment of the new algorithm is the codimension of the polar varieties under consideration. The main theorems are Theorem $\ref{theorem12}$ on page $\pageref{theorem12}$ for the hypersurface case, and Theorem $\ref{theoresult}$ on page $\pageref{theoresult}$ for the complete intersection as well as the statement in the introduction of this thesis on page $\pageref{vollres}$.

Mit der vorliegenden Arbeit wurde ein Konzept zur differenzierten Beurteilung und Rückmeldung mathematischer Kompetenzen entwickelt und exemplarisch erprobt. Damit liegt ein Beurteilungskonzept vor, dass fachdidaktischen Anforderungen an einen kompetenzorientierten Mathematikunterricht genügt aber auch alltagstauglich ist. Es erlaubt dem Lehrer seinen Schülern ihre Stärken und Schwächen bei der Bearbeitung mathematischer Aufgaben differenziert und konkret aufzuzeigen und Hinweise zum selbständigen Lernen zu geben. Die Differenzierung in die vier Kompetenzbereiche darstellend-interpretativ, heuristisch-experimentell, formal-operativ und kritisch-argumentativ spiegelt fachdidaktische Zielsetzungen an den Mathematikunterricht wider. Das mathematische Grundwissen bildet als Grundlage der Ausprägung von Kompetenzen die fünfte Beurteilungskomponente. Für den spezifischen Zweck der differenzierten Beurteilung wurde ein Aufgabenanalyseinstrument entwickelt. Dieses vereint Kriterien an Aufgaben zum Leisten, allgemeine Kriterien der Aufgabenqualität und Kriterien verbunden mit der Anregung vielseitiger mathematischer Kompetenzen. Darüber hinaus werden kompetenzspezifische Anforderungen beschrieben. Die Beurteilung der bei der Aufgabenbearbeitung dargelegten Kompetenzen erfolgt durch kompetenz- und aufgabenspezifische Beurteilungskriterien. Individuelle Rückmeldungsbögen enthalten für die erfassten Kompetenzen kriterienorientierte Beurteilungen und lernfördernde Hinweise. Bei der exemplarischen Erprobung des Konzeptes in drei mathematisch profilierten Klassen zeigten sich unterschiedliche Leistungsverteilungen für die einzelnen Kompetenzbereiche. Es wurden zum einen Stärken und Schwächen der Schüler deutlich. Zum anderen zeigten aufgabenabhängige Unterschiede innerhalb der Kompetenzbereiche, dass die Kompetenzdarlegungen von der Art der Aufgabe oder vom speziellen angesprochenen Inhalt abhängen. In einer weiteren Untersuchung wurden die mit einer Aufgabe intendierten Aktivitäten den tatsächlich ausgeführten gegenübergestellt. Aus der Umsetzung verschiedener Aufgaben wurden Hinweise zur Aufgabengestaltung für die differenzierte Beurteilung im Mathematikunterricht abgeleitet. / With the presented paper a concept of differentiated assessment and feedback of mathematical competencies was developed and exemplary tested. It allows the teacher to show his students in a differentiated and task-bounded way their strong and weak points connected with recommendations for independent learning. The differentiation in descriptive, heuristic, formal and argumentative competencies reflects didactically goals for mathematical lessons. Any development and demonstration of competencies is only possible if the necessary knowledge is available. For this reason the mathematical knowledge is another important element of competence-orientated assessment. To choose and construct tasks for the differentiated assessment an analysis instrument was developed. It includes criterions on tasks for testing, general criterions on task quality and the claim to stimulate various mathematical activities. In addition the analysis instrument describes properties of competence specific claims. For a transparent and objective assessment of ambitious competencies like arguing or problem solving competence and task specific criterions of assessment were prepared. Individual feedback-sheets include for the competencies related to the task a quantitative criterion-orientated assessment, verbal interpretations and learning-supporting recommendations. The concept was exemplary tested in three mathematical profiled classes. Differentiated performance distributions were observed for the different areas of competencies. Strong and weak points of the student could be shown in nearly constant levels, but also task-depending variations. The clearly task-depending variations within an area of competencies indicates that the shown competencies are depending on the kind of the task or on there special mathematical topic. This speaks for a concrete task-related feedback. In a further investigation the potential of the task to induce activities was confronted with the activities really carried out by the students. From the realization of different tasks recommendations to design tasks for the differentiated assessment of mathematical competencies were deduced.

Diese Arbeit untersucht verschiedene Fragen hinsichtlich der birationalen Geometrie der Modulräume $\Mbar_g$ und $\Mbar_{g,n}$, mit besonderem Augenmerk auf der Berechnung effektiver Divisorklassen. In Kapitel 2 definieren wir für jedes $n$-Tupel ganzer Zahlen $\d$, die sich zu $g-1$ summieren, einen geometrisch bedeutsamen Divisor auf $\Mbar_{g,n}$, der durch Zurückziehen des Thetadivisors einer universellen Jacobi-Varietät mittels einer Abel-Jacobi-Abbildung erhalten wird. Er ist eine Verallgemeinerung verschiedener in der Literatur verwendeten Arten von Divisoren. Wir berechnen die Klasse dieses Divisors und zeigen, dass er für bestimmte $\d$ irreduzibel und extremal im effektiven Kegel von $\Mbar_{g,n}$ ist. Kapitel 3 beschäftigt sich mit einem birationalen Modell $X_6$ von $\Mbar_6$, das durch quadrische Hyperebenenschnitte auf der del-Pezzo-Fläche vom Grad $5$ erhalten wird. Wir berechnen die Klasse des großen Divisors, der die birationale Abbildung $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ induziert, und erhalten so eine obere Schranke an die bewegliche Steigung von $\Mbar_6$. Wir zeigen, dass $X_6$ der letzte nicht-triviale Raum im log-minimalen Modellprogramm für $\Mbar_6$ ist. Weiterhin geben wir einige Resultate bezüglich der Unirationalität der Weierstraßorte auf $\Mbar_{g,1}$. Für $g = 6$ hängen diese mit der del-Pezzo-Konstruktion zusammen, die benutzt wurde, um das Modell $X_6$ zu konstruieren. Kapitel 4 konzentriert sich auf den Fall $g = 0$. Castravet and Tevelev führten auf $\Mbar_{0,n}$ kombinatorisch definierte Hyperbaumdivisoren ein, die für $n = 6$ zusammen mit den Randdivisoren den effektiven Kegel erzeugen. Wir berechnen die Klasse des Hyperbaumdivisors auf $\Mbar_{0,7}$, der bis auf Permutation der markierten Punkte eindeutig ist. Wir geben eine geometrische Charakterisierung für ihn an, die zu der von Keel und Vermeire für den Fall $n = 6$ gegebenen analog ist. / This thesis investigates various questions concerning the birational geometry of the moduli spaces $\Mbar_g$ and $\Mbar_{g,n}$, with a focus on the computation of effective divisor classes. In Chapter 2 we define, for any $n$-tuple $\d$ of integers summing up to $g-1$, a geometrically meaningful divisor on $\Mbar_{g,n}$ that is essentially the pullback of the theta divisor on a universal Jacobian variety under an Abel-Jacobi map. It is a generalization of various kinds of divisors used in the literature, for example by Logan to show that $\Mbar_{g,n}$ is of general type for all $g \geq 4$ as soon as $n$ is big enough. We compute the class of this divisor and show that for certain choices of $\d$ it is irreducible and extremal in the effective cone of $\Mbar_{g,n}$. Chapter 3 deals with a birational model $X_6$ of $\Mbar_6$ that is obtained by taking quadric hyperplane sections of the degree $5$ del Pezzo surface. We compute the class of the big divisor inducing the birational map $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ and use it to derive an upper bound on the moving slope of $\Mbar_6$. Furthermore we show that $X_6$ is the final non-trivial space in the log minimal model program for $\Mbar_6$. We also give a few results on the unirationality of Weierstraß loci on $\Mbar_{g,1}$, which for $g = 6$ are related to the del Pezzo construction used to construct the model $X_6$. Finally, Chapter 4 focuses on the case $g = 0$. Castravet and Tevelev introduced combinatorially defined hypertree divisors on $\Mbar_{0,n}$ that for $n = 6$ generate the effective cone together with boundary divisors. We compute the class of the hypertree divisor on $\Mbar_{0,7}$, which is unique up to permutation of the marked points. We also give a geometric characterization of it that is analogous to the one given by Keel and Vermeire in the $n = 6$ case.

Wir untersuchen Feynman-Integrale in der Darstellung mit Schwinger-Parametern und leiten rekursive Integralgleichungen für masselose 3- und 4-Punkt-Funktionen her. Eigenschaften der analytischen (und dimensionalen) Regularisierung werden zusammengefasst und wir beweisen, dass in der Euklidischen Region jedes Feynman-Integral als eine Linearkombination konvergenter Feynman-Integrale geschrieben werden kann. Dies impliziert, dass man stets eine Basis aus konvergenten Masterintegralen wählen kann und somit divergente Integrale nicht selbst berechnet werden müssen. Weiterhin geben wir eine in sich geschlossene Darstellung der Theorie der Hyperlogarithmen und erklären detailliert die nötigen Algorithmen, um diese für die Berechnung mehrfacher Integrale anzuwenden. Wir definieren eine neue Methode um die Singularitäten solcher Integrale zu bestimmen und stellen ein Computerprogramm vor, welches die Integrationsalgorithmen implementiert. Unser Hauptresultat ist die Konstruktion unendlicher Familien masseloser 3- und 4-Punkt-Funktionen (diese umfassen unter anderem alle Leiter-Box-Graphen und deren Minoren), deren Feynman-Integrale zu allen Ordnungen in der epsilon-Entwicklung durch multiple Polylogarithmen dargestellt werden können. Diese Integrale können mit dem vorgestellten Programm explizit berechnet werden. Die Arbeit enthält interessante Beispiele von expliziten Ergebnissen für Feynman-Integrale mit bis zu 6 Schleifen. Insbesondere präsentieren wir den ersten exakt bestimmten Gegenterm in masseloser phi^4-Theorie, der kein multipler Zetawert ist sondern eine Linearkombination multipler Polylogarithmen, ausgewertet an primitiven sechsten Einheitswurzeln (und geteilt durch die Quadratwurzel aus 3). Zu diesem Zweck beweisen wir ein Paritätsresultat über die Zerlegbarkeit der Real- und Imaginärteile solcher Zahlen in Produkte und Beiträge geringerer Tiefe (depth). / We study Feynman integrals in the representation with Schwinger parameters and derive recursive integral formulas for massless 3- and 4-point functions. Properties of analytic (including dimensional) regularization are summarized and we prove that in the Euclidean region, each Feynman integral can be written as a linear combination of convergent Feynman integrals. This means that one can choose a basis of convergent master integrals and need not evaluate any divergent Feynman graph directly. Secondly we give a self-contained account of hyperlogarithms and explain in detail the algorithms needed for their application to the evaluation of multivariate integrals. We define a new method to track singularities of such integrals and present a computer program that implements the integration method. As our main result, we prove the existence of infinite families of massless 3- and 4-point graphs (including the ladder box graphs with arbitrary loop number and their minors) whose Feynman integrals can be expressed in terms of multiple polylogarithms, to all orders in the epsilon-expansion. These integrals can be computed effectively with the presented program. We include interesting examples of explicit results for Feynman integrals with up to 6 loops. In particular we present the first exactly computed counterterm in massless phi^4 theory which is not a multiple zeta value, but a linear combination of multiple polylogarithms at primitive sixth roots of unity (and divided by the square-root of 3). To this end we derive a parity result on the reducibility of the real- and imaginary parts of such numbers into products and terms of lower depth.

In der gegebenen Arbeit werden hoeherdimensionale lokale Schiefkoerper, die natuerliche Verallgemeinerung von n-dimensionalen lokalen Koerpern, untersucht. Wir untersuchen nur Schiefkoerper mit kommutativem Restschiefkoerper. Wir geben eine hinreichende Bedingung fuer die Spaltbarkeit von Schiefkoerpern. Naemlich, ein lokaler Schiefkoerper ist spaltbar, falls er einen kanonischen Automorphismus unendlicher Ordnung hat. Wir klassifizieren alle Schiefkoerper, die diese Bedingung bis auf Isomorphie erfuellen. Die Ergebnisse sind unabhaengig von der Charakteristik des Schiefkoerpers. Wir klassifizieren auch alle lokalen spaltbaren Schiefkoerper von Charakteristik 0 mit kommutativem Restschiefkoerper und mit kanonischem Automorphismus von endlicher Ordnung. Unter anderem geben wir ein Kriterium, wann zwei Elemente aus einem solchen Schiefkoerper konjugiert sind. Als Folgerung beweisen wir, dass fast alle solche Schiefkoerper unendlichdimensional ueber ihrem Zentrum sind. Ausserdem beweisen wir, dass das Skolem-Noether Theorem nur in dem Fall des klassischen Ringes der Pseudodifferentialoperatoren richtig ist. Dann erhalten wir Anwendungen dieser Theorie auf die Krichever Korrespondenz. Naemlich, wir bekommen Verallgemeinerungen von klassischen KP-Gleichungen (Hierarchie). Die Untersuchung von lokalen Schiefkoerpern fuehrte zu einigen neuen unerwarteten Ergebnissen in der Bewertungstheorie auf endlichdimensionalen Algebren. Wir bekommen den Zerlegungssatz fuer wilde Divisionalgebren ueber Laurentreihen-Koerpern mit beliebigem Restkoerper der Charakteristik groesser als zwei. Dieses Theorem ist die Verallgemeinerung des Zerlegungssatzes fuer zahme Divisionalgebren von Jacob und Wadsworth. Als Folgerung bekommen wir die positive Antwort auf die folgende Vermutung: Fuer jede Divisionalgebra A ueber den Koerper F((t)), wo F ein quasialgebraisch abgeschlossener Koerper ist, muss der Exponent von A gleich dem Index von A sein. Dann erhalten wir Anwendungen dieser Theorie auf die Krichever Korrespondenz. Naemlich, wir bekommen Verallgemeinerungen von klassischen KP-Gleichungen (Hierarchie). Anderseits, fuehrt das Problem der Klassifizierung lokaler Schiefkoerper zu dem Problem der Klassifizierung der Konjugationsklassen in der Automorphismengruppe von n-dimensionalen lokalen (kommutativen) Koerpern. Wir loesen diese Aufgabe fuer die Gruppe der stetigen Automorphismen von 1- und 2-dimensionalen lokalen Koerpern. / In this work we study local skew fields, which are natural generalization of n-dimensional local fields, and their applications to the theory of central division algebras over henselian fields. We study mostly two-dimensional local skew fields with commutative residue skew field. The sufficient condition for a skew field to be split is given. Namely, a local skew field splits if the canonical automorphism has infinite order. We classify all the skew fields which posess this condition up to isomorphism. These results don't depend on the characteristic of a skew field. We classify all local splittable skew fields of characteristic 0 with commutative residue skew field and with the canonical automorphism of finite order as well. Some other properties of local skew fields are studied. In particular, we give a criterium when two elements from such a skew field conjugate. As a corollary we prove that almost all such skew fields are infinite dimensional over their center. Also we prove that the Scolem-Noether theorem holds only in the case of the classical ring of pseudo-differential operators. Studying of local skew fields leads to some new unexpected results in the valuation theory on finite dimensional division algebras. We get a decomposition theorem for some class of wild division algebras over a Laurent series field with arbitrary residue field of characteristic greater than two. This theorem is a generalization of the decomposition theorem for tame division algebras given by B.Jacob and A.Wadsworth. As a corollary we get the positive answer on the following conjecture: the exponent of a division algebra is equal to its index if the centre of this algebra is a Laurent series field with arbitrary quasialgebraically closed residue field. Using some ideas of A.N. Parshin, who raised a problem of classifying local skew fields, we get some applications of developed theory to the Krichever correspondence. Namely, we get some generalizations of the classical KP-equations (hierarchy). The problem of classification of local skew fields leads to the problem of classification of conjugacy classes in the automorphism group of an n-dimensional local (commutative) field. We solve this problem for the group of continuous automorphisms of one- and two- dimensional local fields.

Der Fokus dieser Dissertation liegt darauf, effiziente numerische Methode für ungekoppelte lokal Lipschitz-stetige und quadratische stochastische Vorwärts-Rückwärtsdifferenzialgleichungen (BSDE) mit Endbedingungen von schwacher Regularität zu entwickeln. Obwohl BSDE viele Anwendungen in der Theorie der Finanzmathematik, der stochastischen Kontrolle und der partiellen Differenzialgleichungen haben, gibt es bisher nur wenige numerische Methoden. Drei neue auf Monte-Carlo- Simulationen basierende Algorithmen werden entwickelt. Die in der zeitdiskreten Approximation zu lösenden bedingten Erwartungen werden mittels der Methode der kleinsten Quadrate näherungsweise berechnet. Ein Vorteil dieser Algorithmen ist, dass sie als Eingabe nur Simulationen eines Vorwärtsprozesses X und der Brownschen Bewegung benötigen. Da sie auf modellfreien Abschätzungen aufbauen, benötigen die hier vorgestellten Verfahren nur sehr schwache Bedingungen an den Prozess X. Daher können sie auf sehr allgemeinen Wahrscheinlichkeitsräumen angewendet werden. Für die drei numerischen Algorithmen werden explizite maximale Fehlerabschätzungen berechnet. Die Algorithmen werden dann auf Basis dieser maximalen Fehler kalibriert und die Komplexität der Algorithmen wird berechnet. Mithilfe einer zeitlich lokalen Abschneidung des Treibers der BSDE werden quadratische BSDE auf lokal Lipschitz-stetige BSDE zurückgeführt. Es wird gezeigt, dass die Komplexität der Algorithmen im lokal Lipschitz-stetigen Fall vergleichbar zu ihrer Komplexität im global Lipschitz-stetigen Fall ist. Es wird auch gezeigt, dass der Vergleich mit bereits für Lipschitz-stetige BSDE existierenden Methoden für die hier vorgestellten Algorithmen positiv ausfällt. / The focus of the thesis is to develop efficient numerical schemes for quadratic and locally Lipschitz decoupled forward-backward stochastic differential equations (BSDEs). The terminal conditions satisfy weak regularity conditions. Although BSDEs have valuable applications in the theory of financial mathematics, stochastic control and partial differential equations, few efficient numerical schemes are available. Three algorithms based on Monte Carlo simulation are developed. Starting from a discrete time scheme, least-square regression is used to approximate conditional expectation. One benefit of these schemes is that they require as an input only the simulations of an explanatory process X and a Brownian motion W. Due to the use of distribution-free tools, one requires only very weak conditions on the explanatory process X, meaning that these methods can be applied to very general probability spaces. Explicit upper bounds for the error are obtained. The algorithms are then calibrated systematically based on the upper bounds of the error and the complexity is computed. Using a time-local truncation of the BSDE driver, the quadratic BSDE is reduced to a locally Lipschitz BSDE, and it is shown that the complexity of the algorithms for the locally Lipschitz BSDE is the same as that of the algorithm of a uniformly Lipschitz BSDE. It is also shown that these algorithms are competitive compared to other available algorithms for uniformly Lipschitz BSDEs.

In dieser Arbeit untersuchen wir Superlösungen stochastischer Rückwärtsdifferentialgleichungen (BSDEs) und ein Gleichgewichtsmodell angewandt auf zwei spezifische verallgemeinerte Capital Asset Pricing Models (CAPMs). Unter der Annahme, dass Generatoren der BSDEs unterhalbstetig und von unten durch eine affine Funktion der Kontrollvariablen beschränkt sind sowie eine spezifische Normalisierungseigenschaft erfüllen, beweisen wir Existenz und Eindeutigkeit der minimalen Superlösung, wobei wir Semimartingalkonvergenz und eine geeignet definierte Präorder in Verbindung mit dem Zornschen Lemma nutzen. Anschließend betrachten wir konvexe Generatoren und restringieren admissible Kontrollen auf stetige Semimartingale, wobei wir eine Abhängigkeit des Generators von den Zerlegungsteilen zulassen. Wir beweisen Existenz von Superlösungen, die an endlich vielen Zeitpunkten minimal sind. Neben Stabilitätsresultaten für den nichtlinearen Operator, der einer Endbedingung den Wert der minimalen Superlösung zum Zeitpunk null zuordnet, leiten wir dessen duale Darstellung her und geben eine explizite Form dieser im Falle eines quadratischen Generators an. Ferner geben wir mittels der Dualität Bedingungen für die Existenz von Lösungen unter Nebenbedingungen. Im zweiten Teil der Arbeit behandeln wir ein Gleichgewichtsmodell in stetiger Zeit für verallgemeinerte CAPMs, das endlich viele Agenten und Finanzprodukte umfasst. Die Agenten maximieren exponentielle Nutzenfunktionen und ihre Anfangsausstattung wird von den gehandelten Produkten aufgespannt. Wir zeigen Existenz eines Gleichgewichts, in welchem die optimalen Handelsstrategien konstant sind und von jeweiliger Risikoaversion und Anfangsausstattung abhängen. Hiernach werden affine Prozesse sowie die Theorie des sogenannten Information-based Asset Pricing zur Modellierung herangezogen. Wir leiten semi-explizite Preisformeln her, die sich für effiziente numerische Berechnungen eignen, da keine Monte-Carlo-Methoden gebraucht werden. / In this thesis we study supersolutions of backward stochastic differential equations (BSDEs) and equilibrium pricing within two specific generalized capital asset pricing models (CAPMs). In the first part of the thesis we begin by assuming that the generators of the BSDEs under consideration are jointly lower semicontinuous, bounded from below by an affine function of the control variable, and satisfy a specific normalization property. We prove the existence and uniqueness of the minimal supersolution making use of a particular kind of semimartingale convergence and a suitably defined preorder in combination with Zorn''s lemma. Next, we assume generators to be convex and introduce constraints by restricting admissible controls to continuous semimartingales, where we allow for a dependence of the generator on the respective decomposition parts. We prove existence of supersolutions that are minimal at finitely many fixed times. Besides providing stability results for the non-linear operator that maps a terminal condition to the value of the minimal supersolution at time zero, we give a dual representation of it, including an explicit computation of the conjugate in the case of a quadratic generator, and derive conditions for the existence of solutions under constraints by means of the duality results. In the second part of the thesis we study equilibrium pricing in continuous time within generalized CAPMs. Our model comprises finitely many economic agents and tradable securities. The agents seek to maximize exponential utilities and their endowments are spanned by the securities. We show that an equilibrium exists and the agents'' optimal trading strategies are constant and dependent on their risk aversion and endowment. Affine processes, and the theory of information-based asset pricing are then used for modeling purposes. We derive semi-explicit pricing formulae which lend themselves to efficient numerical computations, as no Monte Carlo methods are needed.

Gegenstand dieser Arbeit ist die numerische Approximation von Eigenwerten elliptischer Differentialoperatoren vermittels der adaptiven finite-Elemente-Methode (AFEM). Durch lokale Netzverfeinerung können derartige Verfahren den Rechenaufwand im Vergleich zu uniformer Verfeinerung deutlich reduzieren und sind daher von großer praktischer Bedeutung. Diese Arbeit behandelt adaptive Algorithmen für Finite-Elemente-Methoden (FEMs) für drei selbstadjungierte Modellprobleme: den Laplaceoperator, das Stokes-System und den biharmonischen Operator. In praktischen Anwendungen führen Störungen der Koeffizienten oder der Geometrie auf Eigenwert-Haufen (Cluster). Dies macht simultanes Markieren im adaptiven Algorithmus notwendig. In dieser Arbeit werden optimale Konvergenzraten für einen praktischen adaptiven Algorithmus für Eigenwert-Cluster des Laplaceoperators (konforme und nichtkonforme P1-FEM), des Stokes-Systems (nichtkonforme P1-FEM) und des biharmonischen Operators (Morley-FEM) bewiesen. Fehlerabschätzungen in der L2-Norm und Bestapproximations-Resultate für diese Nichtstandard-Methoden erfordern neue Techniken, die in dieser Arbeit entwickelt werden. Dadurch wird der Beweis optimaler Konvergenzraten ermöglicht. Die Optimalität bezüglich einer nichtlinearen Approximationsklasse betrachtet die Approximation des invarianten Unterraums, der von den Eigenfunktionen im Cluster aufgespannt wird. Der Fehler der Eigenwerte kann dazu in Bezug gesetzt werden: Die hierfür notwendigen Eigenwert-Fehlerabschätzungen für nichtkonforme Finite-Elemente-Methoden werden in dieser Arbeit gezeigt. Die numerischen Tests für die betrachteten Modellprobleme legen nahe, dass der vorgeschlagene Algorithmus, der bezüglich aller Eigenfunktionen im Cluster markiert, einem Markieren, das auf den Vielfachheiten der Eigenwerte beruht, überlegen ist. So kann der neue Algorithmus selbst im Fall, dass alle Eigenwerte im Cluster einfach sind, den vorasymptotischen Bereich signifikant verringern. / The numerical approximation of the eigenvalues of elliptic differential operators with the adaptive finite element method (AFEM) is of high practical interest because the local mesh-refinement leads to reduced computational costs compared to uniform refinement. This thesis studies adaptive algorithms for finite element methods (FEMs) for three model problems, namely the eigenvalues of the Laplacian, the Stokes system and the biharmonic operator. In practice, little perturbations in coefficients or in the geometry immediately lead to eigenvalue clusters which requires the simultaneous marking in adaptive finite element methods. This thesis proves optimality of a practical adaptive algorithm for eigenvalue clusters for the conforming and nonconforming P1 FEM for the eigenvalues of the Laplacian, the nonconforming P1 FEM for the eigenvalues of the Stokes system and the Morley FEM for the eigenvalues of the biharmonic operator. New techniques from the medius analysis enable the proof of L2 error estimates and best-approximation properties for these nonstandard finite element methods and thereby lead to the proof of optimality. The optimality in terms of the concept of nonlinear approximation classes is concerned with the approximation of invariant subspaces spanned by eigenfunctions of an eigenvalue cluster. In order to obtain eigenvalue error estimates, this thesis presents new estimates for nonconforming finite elements which relate the error of the eigenvalue approximation to the error of the approximation of the invariant subspace. Numerical experiments for the aforementioned model problems suggest that the proposed practical algorithm that uses marking with respect to all eigenfunctions within the cluster is superior to marking that is based on the multiplicity of the eigenvalues: Even if all exact eigenvalues in the cluster are simple, the simultaneous approximation can reduce the pre-asymptotic range significantly.