Die Arbeit beschäftigt sich mit fast-idempotenten Halbringen, die eine Verallgemeinerung der idempotenten Halbringe darstellen. Es werden - ausgehend von Halbringen mit zwei Elementen - bis auf isomorphe Bilder sämtliche fast-idempotente Halbringe mit drei Elementen generiert, diejenigen Halbringe, die schon in durch zweielementige Halbringe erzeugten Varietäten liegen, aussortiert und die in den verbleibenden elf Halbringen gültigen Gleichungen charakterisiert. Der Verband L(IA3) der Varietäten generiert durch fast-idempotente Halbringe mit maximal drei Elementen wird mit Hilfe eines Kontexts mit 21 Halbringen als Attribute und 28 trennenden Gleichungen als Objekte vollständig bestimmt und besteht aus 19.901 Varietäten. Im Anschluss richtet sich der Fokus der Arbeit auf den Verband L(IA) der fast-idempotenten Halbringe. In diesem werden insbesondere die Varietät V = [xy = yx, xy = xy+x] und deren Untervarietäten V_k = [x^k = x^(k+1)], k >= 2; untersucht. Für all diese Varietäten wird jeweils eine Konstruktionsmethode für eine abzählbare Kette an Untervarietäten der gegebenen Varietät eingeführt und somit schließlich gezeigt, dass der Verband L(IA) aus mindestens abzählbar unendlich vielen Varietäten besteht.

Es gibt wohl kaum Wissenschaftsgebiete, in denen die wechselseitige Beeinflussung stärker ist als zwischen Mathematik und Physik. Eine wichtige Frage ist dabei die nach der konkreten Ausgestaltung dieser Wechselbeziehungen, etwa an einer Universität, oder die nach prägenden Merkmalen in der Entwicklung dieser Beziehungen in einem historischen Zeitabschnitt. Im Rahmen eines mehrjährigen Akademieprojekts wurden diese Beziehungen an den Universitäten in Leipzig, Halle und Jena für den Zeitraum vom Beginn des 19. bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts untersucht und in fünf Bänden dargestellt. Der erste dieser Bände erschien in den Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, die nachfolgenden (u.a. der vorliegende) als eigenständige Reihe unter dem Titel “Studien zur Entwicklung von Mathematik und Physik in ihren Wechselwirkungen“. Ein weiterer und abschließender Band dieser Reihe beinhaltet die Beiträge einer wissenschaftshistorischen Fachtagung im Jahr 2010, die das Thema in einem internationalen Kontext einbettet. Der vorliegende Band behandelt den Zeitraum von 1890 bis 1945 an der Universität Halle-Wittenberg. Die Entwicklung der Hallenser Universität in dieser Zeit ist durch ein ständiges Bemühen gekennzeichnet, einen weiteren Bedeutungsverlust der Hallenser Alma Mater zu begrenzen. Gleichzeitig beeindrucken die Mathematiker und Physiker mit einer ganzen Reihe von bemerkenswerten Forschungsergebnissen, wie die Bestätigung der von Victor Hess entdeckten kosmischen Höhenstrahlung (Werner Kolhörster, 1914), die Studien zu Flüssigkristallen (Ernst Dorn und Wilhelm Kast, ab 1896 bzw. 1931), zu Elektronenstößen (Gustav Hertz, 1925), zur Bruchtheorie und zur Ionenleitung (Adolf Smekal, ab 1931), zur Atom-und Kernphysik (Gerhard Hoffmann und Heinz Pose, ab 1931), zur Anwendung der Laplace-Transformation (Gustav Doetsch, ab 1923) zur Klassenkörpertheorie (Helmut Hasse, 1926), zu Gruppoiden sowie zur Arithmetik von Algebren (Reinhold Baer bzw. Heinrich Brandt ab 1928) und zur Arithmetisierung der algebraischen Geometrie (Jung, ab 1925).:Vorwort 1 Einleitung 2 Historische Eckpunkte der Universitätsentwicklung 2.1 Regionale Strukturen: Deutschland – Sachsen-Anhalt – Halle 2.2 Einige Veränderungen in der Stellung der Universität 3 Die Entwicklung des Mathematischen Instituts 3.1 Die Schwierigkeiten beim Aufbau der Infrastruktur 3.2 Gutzmers Bemühungen zur Stärkung der angewandten Mathematik 3.3 Das vergebliche Ringen um die Erweiterung des mathematischen Lehrkörpers 3.4 Die relativ stabile Entwicklung und Attraktivität der Mathematik unter Hasse und Brandt 3.5 Das Schicksal der Astronomie als Nischenfach 4 Der Weg des Physikalischen Instituts in die Moderne 4.1 Das Physikalische Institut unter der Leitung von Ernst Dorn 4.2 Von der theoretischen zur technischen Physik und die schwierige Suche nach einem Nachfolger für G. Mie 4.3 Die Neuorientierung des Physikalischen Instituts 4.4 Die Abtrennung des Instituts für Theoretische Physik 4.5 Zwei physikalische Institute im Widerstreit 5 Das Lehrangebot in Mathematik und Physik 5.1 Überblick zur Lehre in Mathematik und Astronomie 5.2 Veranstaltungen zur mathematischen Physik 5.3 Zum Lehrangebot der Physik 5.4 Veranstaltungen zur theoretischen Physik 5.5 Vergleich mit anderen Universitäten 6 Die mathematische Forschung 6.1 Mengenlehre und Logik 6.2 Potentialtheorie und Analysis 6.3 Geometrie 6.4 Mechanik, Astronomie und angewandte Mathematik 6.4.1 Dynamische Probleme der Mechanik und Kreiseltheorie 6.4.2 Gyldén’sche Störungstheorie 6.4.3 Von der Aero- und Hydrodynamik über Optik bis zur Wärmeleitung 6.5 Algebra, Zahlentheorie und Topologie 6.5.1 Arithmetisierung der algebraischen Geometrie 6.5.2 Algebraische Zahlentheorie 6.5.3 Gruppoid und Arithmetik von Algebren 7 Mit stetem Blick auf Experiment und technische Anwendungen – die Forschungen am Physikalischen Institut 7.1 Elektrophysik 7.2 Hochfrequenzphysik und der rasche Aufschwung der Funktechnik 7.3 Physik der freien Atmosphäre 7.4 Atomphysik 7.4.1 Gasentladungs- und Strahlungsphysik 7.4.2 Kosmische Höhenstrahlung 7.4.3 Kernphysik 7.5 Materialwissenschaft 7.5.1 Flüssigkristalle – Dielektrika 7.5.2 Werkstoffkunde und Brucherscheinungen 7.6 Thermodynamik und Photochemie – zwei singuläre Punkte in den Hallenser Forschungen 7.7 Theorie der Materie – Relativitätstheorie 8 Hallenser Mathematiker und Physiker und die örtlichen Gelehrten Gesellschaften und Vereine 8.1 Naturforschende Gesellschaft zu Halle 8.2 Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thüringen 8.3 Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina 8.4 Fazit 9 Das Wechselverhältnis zwischen Mathematik und Physik an der Hallenser Universität im Spiegel der allgemeinen Entwicklung 9.1 Neue Aspekte in den Beziehungen zwischen Mathematik und Physik im Allgemeinen 9.2 Die Dominanz der Physiker – die spezielle Ausgestaltung des Wechselverhältnisses in Halle Anhang: Verzeichnis der Vorlesungen zur mathematischen und theoretischen Physik (Wintersemester 1890/91 – Sommersemester 1945) Literatur und Quellen Abbildungsverzeichnis Verzeichnis der Diagramme Personenverzeichnis Grafik: Vorlesungstätigkeit der Dozenten für Mathematik und Physik in Halle (1890-1945)

Es gibt wohl kaum Wissenschaftsgebiete, in denen die wechselseitige Beeinflussung stärker ist als zwischen Mathematik und Physik. Eine wichtige Frage ist dabei die nach der konkreten Ausgestaltung dieser Wechselbeziehungen, etwa an einer Universität, oder die nach prägenden Merkmalen in der Entwicklung dieser Beziehungen in einem historischen Zeitabschnitt. Im Rahmen eines mehrjährigen Akademieprojekts wurden diese Beziehungen an den Universitäten in Leipzig, Halle und Jena für den Zeitraum vom Beginn des 19. bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts untersucht und in fünf Bänden dargestellt. Der (vorliegende) erste dieser Bände erschien in den Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig (Math.-nat. Klasse, Band 63, Heft 1), die nachfolgenden als eigenständige Reihe unter dem Titel “Studien zur Entwicklung von Mathematik und Physik in ihren Wechselwirkungen“. Ein weiterer und abschließender Band dieser Reihe beinhaltet die Beiträge einer wissenschaftshistorischen Fachtagung im Jahr 2010, die das Thema in einem internationalen Kontext einbettet. Der vorliegende Band behandelt den Zeitraum von 1830 bis 1905 an der Universität Leipzig. Leipzig gehörte damals zu den bedeutendsten Universitäten Deutschlands. Hervorzuheben ist die überraschende, weil ungeplant erfolgende Stärkung der mathematischen Physik durch die Berufung Karl Neumanns (1868) und die Aktivitäten des PD Karl von der Mühll und des ao. Professors Adolph Mayer. Sie begründeten damit eine die Entwicklung des Mathematischen Instituts prägende Forschungslinie. Ebenso bemerkenswert ist die im Vergleich zu anderen deutschen Universitäten verzögerte Etablierung der theoretischen Physik und der Neubau des Physikalischen Instituts (1904), eine der modernsten Einrichtungen zu jener Zeit, inklusive eines Instituts für theoretische Physik.:Vorwort 1. Einleitung 2. Die Reform der Universität Leipzig 3. Mathematik und Physik an der Leipziger Universität in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts 4. Die Berufungen der Professoren für Mathematik bzw. Physik bis zur Gründung des Mathematischen Seminars 1881 4.1 Die Repräsentation der Physik in Leipzig durch Fechner, Weber und Hankel 4.2 Die Etablierung der ersten Professur für physikalische Chemie 4.3 Der Bau des Physikalischen Instituts 4.4 Die Besetzung des mathematischen Lehrstuhls 4.4.1 Der Weg zu einem Ordinariat für Astronomie und Mathematik 4.4.2 Die Stärkung der mathematischen Physik 4.4.3 Die Berufung von Felix Klein und die Gründung des Mathematischen Seminars 5. Die Lehrveranstaltungen zur Mathematik und Physik an der Leipziger Universität 5.1 Die Veränderungen in der Lehre von Mathematik und Physik 5.2 Initiativen zu frühen Seminargründungen an der Universität Leipzig 5.2.1 Erdmanns naturwissenschaftliches Seminar 5.2.2 Marbachs mathematisch-naturwissenschaftliches Seminar 5.3 Überblick über die Vorlesungen 5.4 Das mathematisch-physikalische Vorlesungsangebot in Leipzig und an anderen Universitäten 6. Die Forschungsaktivitäten der Leipziger Physik- bzw. Mathematikprofessoren 6.1 Die internationale Forschungssituation 6.2 Wichtige Leipziger Beiträge zur Begründung der Elektrodynamik 6.3 Die Gründung der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften 6.4 Hankels Untersuchungen zur Pyroelektrizität und seine Wirbeltheorie der Elektrizität 6.5 Der Nachweis elektrischer Schwingungen durch B. W. Feddersen 6.6 Die Begründung der Psychophysik an der Universität Leipzig 6.7 Neue Impulse in der mathematischen Forschung - A. Mayer und der Ausbau der Variationsrechnung 6.8 Die Förderung der mathematischen Physik durch C. Neumann 6.9 Die Begründung der Astrophysik durch Zöllner 6.10 Wiedemanns 'Enzyklopädie' der Elektrizitätslehre 7. Einschätzung der Wechselbeziehungen zwischen Mathematik und Physik 8. Die Entwicklung des Lehrkörpers am Mathematischen Institut von 1880 bis 1905 8.1 F. Klein und die Anfangsphase des Mathematischen Instituts 8.2 Die Bewältigung der Stagnationsphase am Mathematischen Institut 8.3 Der beginnende Generationswechsel am Mathematischen Institut und die Neuausrichtung des Instituts 8.4 Die Besetzung des astronomischen Ordinariats und die Arbeiten an der Sternwarte 9. Die Entwicklung des Lehrkörpers im Fach Physik bis zur Errichtung des neuen Physikalischen Instituts 9.1 Die Neubesetzung des Ordinariats für Physik und die Schaffung einer Professur für theoretische Physik 9.2 Die Besetzung der beiden Physikordinariate und der Neubau des Instituts 10. Die in den Jahren 1881-1905 gehaltenen Vorlesungen zur mathematischen und theoretischen Physik 11. Theoretische und mathematische Physik in den Forschungen der Leipziger Physiker und Mathematiker in den letzten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts 11.1 Die physikalischen Forschungen bis zur Errichtung des Extraordinariats für theoretische Physik 11.2 Beiträge zur Elektrizitätslehre - von Wiedemann bis Föppl 11.3 Ebert und Drude - die ersten Leipziger Professoren für theoretische Physik 11.4 Thermodynamik und Akustik - die Arbeiten von Wiedeburg und von Oettingen 11.5 Das Intermezzo Boltzmann und der Beginn der Ära Wiener - Des Coudres 11.6 Einige Entwicklungstendenzen der Mathematik 11.7 Die Uniformisierungstheorie und die 'physikalische Mathematik' F. Kleins 11.8 Neumanns Anwendung und Auseinandersetzung mit mechanischen Theorien 11.9 Variationsrechnung und astronomische Störungstheorie - die Arbeitsgebiete von Mayer und Schreibner 11.10 Die neuen Ordinarien S. Lie, O. Hölder und H. Bruns sowie relevante Forschungen der Extraordinarien 11.11 Mathematiker und Physiker in der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften 12. Die Veränderungen in den Wechselbeziehungen zwischen Mathematik und Physik 13. Literatur und Quellen 14. Personenverzeichnis

In this paper the notion of “mathematics profiles” and “instructional behaviour profiles is introduced. A brief explanation of what these profiles are and how they were constructed and represented for preservice mathematics teachers is provided. An example of one of the participants’ profiles is included as an example. The influence of the pre-service teachers’ mathematics profiles on their instructional behaviour is then discussed. This is done with regard to using the mathematics profiles as a potential tool to optimise the development of pre-service mathematics teachers’ instructional behaviour towards a more reform-oriented approach.

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Cellular automata (CA) are fully discrete dynamical systems. Space is represented by a regular lattice while time proceeds in finite steps. Each cell of the lattice is assigned a state, chosen from a finite set of "values". The states of the cells are updated synchronously according to a local interaction rule, whereby each cell obeys the same rule. Formal definitions of deterministic, probabilistic and lattice-gas CA are presented. With the so-called mean-field approximation any CA model can be transformed into a deterministic model with continuous state space. CA rules, which characterise movement, single-component growth and many-component interactions are designed and explored. It is demonstrated that lattice-gas CA offer a suitable tool for modelling such processes and for analysing them by means of the corresponding mean-field approximation. In particular two types of many-component interactions in lattice-gas CA models are introduced and studied. The first CA captures in abstract form the essential ideas of activator-inhibitor interactions of biological systems. Despite of the automaton´s simplicity, self-organised formation of stationary spatial patterns emerging from a randomly perturbed uniform state is observed (Turing pattern). In the second CA, rules are designed to mimick the dynamics of excitable systems. Spatial patterns produced by this automaton are the self-organised formation of spiral waves and target patterns. Properties of both pattern formation processes can be well captured by a linear stability analysis of the corresponding nonlinear mean-field (Boltzmann) equations.

Diese Arbeit behandelt die effiziente Vorkonditionierung von Finite-Elemente-Matrizen unter Verwendung hierarchischer Matrizen.

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Piezoelektrika haben ein breit gefächertes Anwendungsspektrum in Industrie, Alltag und Forschung. Dies erfordert ein genaues Wissen über das Materialverhalten der betrachteten piezoelektrischen Elemente, was mit dem Lösen von simulationsgestützten inversen Parameteridentifikationsproblemen einhergeht. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der optimalen Versuchsplanung (OED) für dieses Problem. Piezoelektrische Materialien weisen die Eigenschaft auf, sich als Reaktion auf angelegte Potentiale oder Kräfte mechanisch oder elektrisch zu verändern (direkter und indirekter piezoelektrischer Effekt). Um eine Spannung anzulegen und den indirekten piezoelektrischen Effekt auszunutzen, werden Elektroden aufgebracht, deren Konfiguration einen erheblichen Einfluss auf mögliche Systemantworten hat. Daher werden das Potential, die Anzahl und die Größe der Elektroden zunächst im zweidimensionalen Fall optimiert. Das piezoelektrische Verhalten basiert im betrachteten Kleinsignalbereich auf zeitabhängigen, linearen partiellen Differentialgleichungen. Die Herleitung sowie Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen werden gezeigt. Zur Berechnung der elektrischen Ladung und der Impedanz, die für das Materialidentifikationsproblem und damit für die Versuchsplanung relevant sind, werden zeit- und frequenzabhängige Simulationen auf Basis der Finite Elemente Methode (FEM) mit dem FEM Simulationstool FEniCS durchgeführt. Es wird auf Nachteile bei der Berechnung der Ableitungen eingegangen und erste adjungierte Gleichungen formuliert. Die Modellierung des Problems der optimalen Versuchsplanung erfolgt hauptsächlich durch die Kontrolle des Potentials der Dirichlet Randbedingungen des Randwertproblems. Anhand mehrerer numerischer Beispiele werden die resultierenden Konfigurationen gezeigt. Weitere Ansätze zur Elektrodenmodellierung, z.B. durch Kontrolle der Materialeigenschaften, werden ebenfalls vorgestellt. Schließlich wird auf mögliche Erweiterungen des vorgestellten OED Problems hingewiesen. / Piezoelectrics have a wide range of applications in industry, everyday life and research. This requires an accurate knowledge of the material behavior, which implies the solution of simulation-based inverse identification problems. This thesis focuses on the optimal design of experiments addressing this problem. Piezoelectric materials exhibit the property of mechanical or electrical changes in response to applied potentials or forces (direct and indirect piezoelectric effect). To apply voltage and to exploit the indirect piezoelectric effect, electrodes are attached whose configura- tion have a significant influence on possible system responses. Therefore, the potential, the number and the size of the electrodes are initially optimized in the two-dimensional case. The piezoelectric behavior in the considered small signal range is based on a time dependent linear partial differential equation system. The derivation as well as the exis- tence, uniqueness and regularity of the solutions of the equations are shown. Time- and frequency-dependent simulations based on the finite element method (FEM) with the FEM simulation tool FEniCS are performed to calculate the electric charge and the impedance, which are relevant for the material identification problem and thus for the experimental design. Drawbacks in the derivative calculations are pointed out and a first set of adjoint equations is formulated. The modeling of the optimal experimental design (OED) prob- lem is done mainly by controlling the potential of the Dirichlet boundary conditions of the boundary value problem. Several numerical examples are used to show the resulting configurations and to address the difficulties encountered. Further electrode modeling ap- proaches for example by controlling the material properties are then discussed. Finally, possible extensions of the presented OED problem are pointed out.

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