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John Lott berechnete eine Signatur mit ganzzahligen Werten für den Orbitraum einer kompakten, orientierbaren (4k + 1)-Mannigfaltigkeit mit einer halbfreien S1-Wirkung. Diese Signatur ist eine Homotopieinvariante für den Orbitraum. Allerdings konstruierte er keinen Operator vom Dirac-Typ, der die Signatur als Index besitzt. In dieser Arbeit konstruieren wir einen solchen Operator auf dem Orbitraum der S1-Wirkung, einem Thom-Mather stratifizierten Raum mit einem singulären Stratum von positiver Dimension, und wir zeigen, dass der Operator im wesentlichen eindeutig bestimmt ist. Ferner zeigen wir, dass sein Index mit Lotts Signatur übereinstimmt, zumindest wenn der stratifizierte Raum die sogenannte Witt-Bedingung erfüllt. Wirnennendiesen Operator den induzierten Dirac-Schrödinger Operator. Unsere Konstruktionsstrategie ist es, einen geeigneten S1-invarianten transversal elliptischen Operator erster Ordnung auf den S1-invarianten Differentialformen zu definieren, der den gesuchten Operator auf den Differentialformen des Orbitraums induziert. Die Witt-Bedingung, eine topologische Bedingung, welche in diesem Fall von der Kodimension der betrachteten Punktmenge abhängt, lässt verschiedene analytische Schlussfolgerungen zu. Insbesondere ist, wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, der Hodge-de Rham Operator auf dem Quotientenraum nicht notwendigerweise essentiell selbstadjungiert und die Wahl einer Randbedingung ist daher notwendig. Diese Wahlfreiheit erscheint unnatürlich in Anbetracht der Tatsache, dass Lotts Signatur unabhängig von der Witt-Bedingung wohldefiniert ist. Der Dirac-Schrödinger Operator, der in dieser Arbeit konstruiert wird, unterschei- det sich vom Hodge-de Rham Operator durch einen Term nullter Ordnung, welcher sicherstellt, dass der Operator wesentlich selbstadjungiert ist. Außerdem antikommutiert dieser Term nullter Ordnung mit der Signatur-Involution, wodurch der gesamte Operator zerfällt und so der Index berechnet werden kann, auch wenn die Witt-Bedingung nicht erfüllt ist. / John Lott has computed an integer-valued signature for the orbit space of a compact orientable (4k + 1) manifold with a semi-free S1-action, which is a homotopy invariant of that space, but he did not construct a Dirac type operator which has this signature as its index. In this Thesis, we construct such operator on the orbit space, a Thom-Mather stratified space with one singular stratum of positive dimension, and we show that it is essentially unique and that its index coincides with Lott’s signature, at least when the stratified space satisfies the so called Witt condition. We call this operator the induced Dirac-Schrödinger operator. The strategy of the construction is to “push down” an appropriate S1-invariant first order transversally elliptic operator to the quotient space. The Witt condition, a topological condition which in this case depends on the codi- mension of the fixed point set, has various analytic consequences. In particular, when not satisfied, the Hodge-de Rham operator on the quotient space does not need to be essentially self-adjoint and therefore a choice of boundary conditions is required. This choice freedom is not natural in view of the fact that Lott’s signature is well defined independently of the Witt condition. The Dirac-Schrödinger operator constructed in this Thesis differs from the Hodge-de Rham operator by a zero order term which ensures it to be essentially self-adjoint. Moreover, this zero order term anti-commutes with the chirality involution allowing the whole operator to split so that the index can be computed even if the Witt condition is not satisfied.

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Wir fixeren einen Körper k, der bezüglich eines nicht-archimedischen Absolutbetrags vollständig ist. In Kapitel 1 konstruieren wir eine Algebra U bestehend aus überkonvergenten Funktionen. Sie ist eine Unteralgebra der Tate-Algebra, wobei mittels einer sogenannten Filterfunktion, eine zusätzliche Wachstumsbedingung an die Koeffizienten der Potenzreihen in U gestellt wird. In diesem Kontext beweisen wir das folgende Resultat: U ist ein Noetherscher, Jacobsonscher, faktorieller Integritätsbereich, der bezüglich der Norm vollständig ist, und jedes Ideal in U ist abgeschlossen in der induzierten Topologie. In Kapitel 2 definieren wir die Kategorie der NMK-Algebren als die Kategorie der Quotienten der U. Indem wir in der größeren Kategorie der Frèchet-Räume arbeiten, beweisen wir die Noethernormalisierung und untersuchen die Morphismen zwishen NMK-Algebren. Schließlich zeigen wir, dass die Kategorie der NMK-Algebren abgeschlossen ist unter vervollständigten Tersorprodukten. In Kapitel 3 untersuchen wir geometrische Aspekte der Algebren U nämlich Eigenschaften der maximalen Ideale und die Regularität von U. Abschließend zeigen wir, dass für jedes U der assoziierte algebraische v exact in positiven Graden ist. / We fix a complete field k with respect to a non-Archimedean absolute value. In Chapter 1, we build the overconvergent function algebra U to be the subalgebra of the Tate algebra by putting a growth condition on the coefficients of the power series using a decreasing function which we call a filter function (satisfying certain conditions). With this setting we prove the following result: U is a Noetherian, Jacobson, unique factorization domain and it is complete with respect to the norm on it, moreover every ideal of U is closed with respect to the induced topology. In Chapter 2, we define a category of NMK-algebras as the category of all quotients of U. Working in the larger category of Frèchet spaces, we establish Noether normalization and investigate the morphisms between NMK-algebras. Finally, we show that the category of NMK-algebras is closed under completed tensor products. We investigate certain geometric aspects of the algebra U in Chapter 3, such as the properties of maximal ideals and regularity of U. Further, we show that for each U the associated algebraic de Rham complex is exact in positive degrees.

Wir geben eine rigorose Konstruktion von analytisch-regularisierten Feynman-Integralen im D-dimensionalen Minkowski-Raum als meromorphe Distributionen in den externen Impulsen, sowohl in der Impuls- als auch in der parametrischen Darstellung. Wir zeigen, dass ihre Pole durch die üblichen Power-counting Formeln gegeben sind, und dass ihr singulärer Träger in mikrolokalen Verallgemeinerungen der (+alpha)-Landauflächen enthalten ist. Als weitere Anwendungen geben wir eine Konstruktion von dimensional regularisierten Integralen im Minkowski-Raum und beweisen Diskontinuitätsformeln für parametrische Amplituden. / We give a rigorous construction of analytically regularized Feynman integrals in D-dimensional Minkowski space as meromorphic distributions in the external momenta, both in the momentum and parametric representation. We show that their pole structure is given by the usual power-counting formula and that their singular support is contained in a microlocal generalization of the alpha-Landau surfaces. As further applications, we give a construction of dimensionally regularized integrals in Minkowski space and prove discontinuity formula for parametric amplitudes.

Keine andere Wissenschaft ist in einem so hohen Maße mathematisiert wie die Physik. Aufgrund dieser engen Verbindung beider Wissenschaften muss geklärt werden, welche Rolle die Mathematik im Physikunterricht spielen soll. Um einen theoretischen Rahmen bereitzustellen, wird ein didaktisches Modell erarbeitet, das mathematik- und physikdidaktische Erkenntnisse mit wissenschaftstheoretischen Argumenten zur Rolle der Mathematik in der Physik verbindet. Unter der daraus resultierenden Perspektive der konzeptuell-mathematischen Physik wird die Aufgabenkultur im Physikunterricht beleuchtet und neue Aufgaben zum Themengebiet der Mechanik konstruiert, die die Übersetzung zwischen physikalischer Bedeutung und mathematischen Strukturen thematisieren. Auf diesen Aufgaben basiert die qualitative empirische Studie, die die Verständnisprobleme von Schülerinnen und Schülern neunter und zehnter Klassen verschiedener Gymnasien beim Verbinden von Physik und Mathematik untersucht. Die Analyse ergibt verschiedene Problembereiche, wobei sich insbesondere beim Übersetzen zwischen physikalischer Bedeutung und mathematischen Strukturen problematische Vorstellungen zeigen. So werden teilweise funktionale Abhängigkeiten zwischen den Faktoren eines Produktes gesehen. Andererseits zeigt sich aber auch, dass der Abgleich zwischen der mathematischen Herleitung und der physikalischen Interpretation der entscheidende Faktor für das erfolgreiche Lösen einer Aufgabe sein kann.

This paper deals with decision problems related to the star problem in trace monoids, which means to determine whether the iteration of a recognizable trace language is recognizable. Due to a theorem by G. Richomme from 1994 [32, 33], we know that the star problem is decidable in trace monoids which do not contain a submonoid of the form {a,c}* x {b,d}*. Here, we consider a more general problem: Is it decidable whether for some recognizable trace language and some recognizable or finite trace language P the intersection R ∩ P* is recognizable? If P is recognizable, then we show that this problem is decidale iff the underlying trace monoid does not contain a submonoid of the form {a,c}* x b*. In the case of finite languages P, we show several decidability and undecidability results.

The presentation shows sample paths of stochastic processes in form of animations. Those stochastic procsses are usually used to model financial quantities like exchange rates, interest rates and stock prices. In the second part the solution of the Black-Scholes PDE using the finite difference method is illustrated. / Der Vortrag zeigt Animationen von Realisierungen stochstischer Prozesse, die zur Modellierung von Groessen im Finanzbereich haeufig verwendet werden (z.B. Wechselkurse, Zinskurse, Aktienkurse). Im zweiten Teil wird die Loesung der Black-Scholes Partiellen Differentialgleichung mittels Finitem Differenzenverfahren graphisch veranschaulicht.