Diese Arbeit befasst sich mit Differential-algebraischen Gleichungen (DAEs). DAEs spielen eine wichtige Rolle in der Modellierung, der Simulation und der Optimierung von Netzwerken und gekoppelten Problemen in vielen Anwendungsgebieten. Es werden in Bezug auf die Modellierung und die numerische Simulation von DAEs bereits bestehende Ergebnisse diskutiert und erweitert. Des Weiteren wird die globale eindeutige Lösbarkeit und die Sensitivität der Lösungen mit Hinsicht auf Störungen der DAEs untersucht. Häufig wird die Modellierung von multiphysikalischen Anwendungen durch die Kopplung mehrerer einzelner DAE Systeme realisiert. Diese Herangehensweise kann hochdimensionale DAEs erzeugen, welche aufgrund von Instabilitäten nicht von klassischen numerischen Methoden, simuliert werden können. Angesichts dieser Herausforderungen werden drei Ziele formuliert: Erstens wird ein globales Lösungstheorem formuliert und bewiesen, welches auf gekoppelte Systeme angewandt werden kann, um deren Kopplungsansatz mathematisch zu rechtfertigen. Zweitens werden numerische Methoden vorgestellt, welche unter wesentlich schwächeren Strukturannahmen stabil sind und sich daher für die Simulation von gekoppelten Systemen eignen. Drittens wird eine Strategie präsentiert, die es ermöglicht, explizite Methoden auf gekoppelte Systeme anzuwenden. Um diese Ziele zu erreichen, braucht man ein Entkopplungsverfahren für DAEs, welches die folgenden drei Eigenschaften erfüllt: Die Komplexität des Entkopplungsverfahrens sollte nicht die Komplexität der DAE überschreiten. Das Entkopplungsverfahren sollte Eigenschaften wie Symmetrie, Monotonie und positive Definitheit erhalten. Das Entkopplungsverfahren sollte durch einen Schritt-für-Schritt Ansatz mit unabhängigen Schritten realisiert werden. Sowohl das Konzept des Tractability Index als auch das des Strangeness Index liefert kein solches Entkopplungsverfahren. Daher wird hier ein neues Index Konzept eingeführt, das diesen Anforderungen entspricht. / This thesis addresses differential-algebraic equations (DAEs). They play an important role in the modeling, simulation and optimization of networks and coupled problems in various applications. The main application in this thesis are coupled problems in electric circuit simulation. We discuss and extend existing results regarding the modeling and numerical simulation of DAEs. Furthermore, we investigate the global unique solvability and the sensitivity of solutions with respect to perturbations of DAEs. Nowadays the modeling of multi-physical applications is often realized by coupling systems of DAEs together with the help of additional coupling terms. This approach may yield high dimensional DAEs which cannot be simulated, due to instabilities, by standard numerical methods. Regarding these challenges we formulate three objectives: First we provide a global solvability theorem which can be applied to coupled systems to mathematically justify their coupling approach. Second we introduce numerical methods which are stable without needing any structural assumptions. Third we provide a way to apply explicit methods to coupled systems to be able to handle the size of the coupled systems by parallelizing the algorithms. To achieve these objectives, we need a decoupling procedure which fulfills the following three properties: The complexity of the decoupling procedure has to reflect the complexity of the DAE, i.e. the decoupling procedure should be state-independent if possible. The decoupling procedure should preserve properties like symmetry, monotonicity and positive definiteness. The decoupling procedure should be realized by a step-by-step approach with independent stages. Both the Tractability Index concept and the Strangeness Index concept do not provide such a decoupling procedure. For this reason we introduce a new index concept which provides such a decoupling procedure.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen Aspekten der Finanzmathematik. Ein erweitertes Libor Markt Modell wird betrachtet, welches genug Flexibilität bietet, um akkurat an Caplets und Swaptions zu kalibrieren. Weiterhin wird die Bewertung komplexerer Finanzderivate, zum Beispiel durch Simulation, behandelt. In hohen Dimensionen können solche Simulationen sehr zeitaufwendig sein. Es werden mögliche Verbesserungen bezüglich der Komplexität aufgezeigt, z.B. durch Faktorreduktion. Zusätzlich wird das sogenannte Andersen-Simulationsschema von einer auf mehrere Dimensionen erweitert, wobei das Konzept des „Momentmatchings“ zur Approximation des Volaprozesses in einem Heston Modell genutzt wird. Die daraus resultierende verbesserten Konvergenz des Gesamtprozesses führt zu einer verringerten Komplexität. Des Weiteren wird die Bewertung Amerikanischer Optionen als optimales Stoppproblem betrachtet. In höheren Dimensionen ist die simulationsbasierte Bewertung meist die einzig praktikable Lösung, da diese eine dimensionsunabhängige Konvergenz gewährleistet. Eine neue Methode der Varianzreduktion, die Multilevel-Idee, wird hier angewandt. Es wird eine untere Preisschranke unter zu Hilfenahme der Methode der „policy iteration“ hergeleitet. Dafür werden Konvergenzraten für die Simulation des Optionspreises erarbeitet und eine detaillierte Komplexitätsanalyse dargestellt. Abschließend wird das Preisen von Amerikanischen Optionen unter Modellunsicherheit behandelt, wodurch die Restriktion, nur ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmodell zu betrachten, entfällt. Verschiedene Modelle können plausibel sein und zu verschiedenen Optionswerten führen. Dieser Ansatz führt zu einem nichtlinearen, verallgemeinerten Erwartungsfunktional. Mit Hilfe einer verallgemeinerte Snell''sche Einhüllende wird das Bellman Prinzip hergeleitet. Dadurch kann eine Lösung durch Rückwärtsrekursion erhalten werden. Ein numerischer Algorithmus liefert untere und obere Preisschranken. / The work presented here deals with several aspects of financial mathematics. An extended Libor market model is considered offering enough flexibility to accurately calibrate to various market data for caplets and swaptions. Moreover the evaluation of more complex financial derivatives is considered, for instance by simulation. In high dimension such simulations can be very time consuming. Possible improvements regarding the complexity of the simulation are shown, e.g. factor reduction. In addition the well known Andersen simulation scheme is extended from one to multiple dimensions using the concept of moment matching for the approximation of the vola process in a Heston model. This results in an improved convergence of the whole process thus yielding a reduced complexity. Further the problem of evaluating so called American options as optimal stopping problem is considered. For an efficient evaluation of these options, particularly in high dimensions, a simulation based approach offering dimension independent convergence often happens to be the only practicable solution. A new method of variance reduction given by the multilevel idea is applied to this approach. A lower bound for the option price is obtained using “multilevel policy iteration” method. Convergence rates for the simulation of the option price are obtained and a detailed complexity analysis is presented. Finally the valuation of American options under model uncertainty is examined. This lifts the restriction of considering one particular probabilistic model only. Different models might be plausible and may lead to different option values. This approach leads to a non-linear expectation functional, calling for a generalization of the standard expectation case. A generalized Snell envelope is obtained, enabling a backward recursion via Bellman principle. A numerical algorithm to valuate American options under ambiguity provides lower and upper price bounds.

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In this paper the notion of “mathematics profiles” and “instructional behaviour profiles is introduced. A brief explanation of what these profiles are and how they were constructed and represented for preservice mathematics teachers is provided. An example of one of the participants’ profiles is included as an example. The influence of the pre-service teachers’ mathematics profiles on their instructional behaviour is then discussed. This is done with regard to using the mathematics profiles as a potential tool to optimise the development of pre-service mathematics teachers’ instructional behaviour towards a more reform-oriented approach.

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Die Arbeit beschäftigt sich mit fast-idempotenten Halbringen, die eine Verallgemeinerung der idempotenten Halbringe darstellen. Es werden - ausgehend von Halbringen mit zwei Elementen - bis auf isomorphe Bilder sämtliche fast-idempotente Halbringe mit drei Elementen generiert, diejenigen Halbringe, die schon in durch zweielementige Halbringe erzeugten Varietäten liegen, aussortiert und die in den verbleibenden elf Halbringen gültigen Gleichungen charakterisiert. Der Verband L(IA3) der Varietäten generiert durch fast-idempotente Halbringe mit maximal drei Elementen wird mit Hilfe eines Kontexts mit 21 Halbringen als Attribute und 28 trennenden Gleichungen als Objekte vollständig bestimmt und besteht aus 19.901 Varietäten. Im Anschluss richtet sich der Fokus der Arbeit auf den Verband L(IA) der fast-idempotenten Halbringe. In diesem werden insbesondere die Varietät V = [xy = yx, xy = xy+x] und deren Untervarietäten V_k = [x^k = x^(k+1)], k >= 2; untersucht. Für all diese Varietäten wird jeweils eine Konstruktionsmethode für eine abzählbare Kette an Untervarietäten der gegebenen Varietät eingeführt und somit schließlich gezeigt, dass der Verband L(IA) aus mindestens abzählbar unendlich vielen Varietäten besteht.

Diese Arbeit untersucht Inferenz für Streuungsparameter bedingter Gaußprozesse anhand diskreter verrauschter Beobachtungen in einem Hochfrequenz-Setting. Unser Ziel dabei ist es, eine asymptotische Charakterisierung von effizienter Schätzung in einem allgemeine Gaußschen Rahmen zu finden. Für ein parametrisches Fundamentalmodell wird ein Hájek-Le Cam-Faltungssatz hergeleitet, welcher eine exakte asymptotische untere Schranke für Schätzmethoden liefert. Dazu passende obere Schranken werden konstruiert und die Bedeutung des Satzes wird verdeutlicht anhand zahlreicher Beispiele wie der (fraktionellen) Brownschen Bewegung, dem Ornstein-Uhlenbeck-Prozess oder integrierten Prozessen. Die Herleitung der Effizienzresultate basiert auf asymptotischen Äquivalenzen und kann für verschiedene Verallgemeinerungen des parametrischen Fundamentalmodells verwendet werden. Als eine solche Erweiterung betrachten wir das Schätzen der quadrierten Kovariation eines stetigen Martingals anhand verrauschter asynchroner Beobachtungen, welches ein fundamentales Schätzproblem in der Öknometrie ist. Für dieses Modell erhalten wir einen semi-parametrischen Faltungssatz, welcher bisherige Resultate im Sinne von Multidimensionalität, Asynchronität und Annahmen verallgemeinert. Basierend auf den vorhergehenden Herleitungen entwickeln wir einen statistischen Test für den Hurst-Parameter einer fraktionellen Brownschen Bewegung. Ein Score- und ein Likelihood-Quotienten-Test werden implementiert sowie analysiert und erste empirische Eindrücke vermittelt. / This work studies inference on scaling parameters of a conditionally Gaussian process under discrete noisy observations in a high-frequency regime. Our aim is to find an asymptotic characterisation of efficient estimation for a general Gaussian framework. For a parametric basic case model a Hájek-Le Cam convolution theorem is derived, yielding an exact asymptotic lower bound for estimators. Matching upper bounds are constructed and the importance of the theorem is illustrated by various examples of interest such as the (fractional) Brownian motion, the Ornstein-Uhlenbeck process or integrated processes. The derivation of the efficiency result is based on asymptotic equivalences and can be employed for several generalisations of the parametric basic case model. As such an extension we consider estimation of the quadratic covariation of a continuous martingale from noisy asynchronous observations, which is a fundamental estimation problem in econometrics. For this model, a semi-parametric convolution theorem is obtained which generalises existing results in terms of multidimensionality, asynchronicity and assumptions. Based on the previous derivations, we develop statistical tests on the Hurst parameter of a fractional Brownian motion. A score test and a likelihood ratio type test are implemented as well as analysed and first empirical impressions are given.