In my dissertation, I developed mixed hp-finite element methods for linear elasticity with weakly imposed symmetry, which is based on Arnold-Falk-Winther's stable mixed finite elements. I have proved the h-stability of my method for meshes with arbitrary variable orders. In order to show the h-stability, I need an upper limit of the highest order of meshes, which can be an arbitrary nonnegative integer. / text

The thesis presents a comprehensive study of a posteriori error estimation in the adaptive solution to some classical elliptic partial differential equations. Several new error estimators are proposed for diffusion problems with discontinuous coefficients and for convection-reaction-diffusion problems with dominated convection/reaction. The robustness of the new estimators is justified theoretically. Extensive numerical results demonstrate the robustness of the new estimators for challenging problems and indicate that, compared to the well-known residual-type estimators, the new estimators are much more accurate.

We present a new diffuse interface model for the dynamics of inextensible vesicles in a viscous fluid with inertial forces. A new feature of this work is the implementation of the local inextensibility condition in the diffuse interface context. Local inextensibility is enforced by using a local Lagrange multiplier, which provides the necessary tension force at the interface. We introduce a new equation for the local Lagrange multiplier whose solution essentially provides a harmonic extension of the multiplier off the interface while maintaining the local inextensibility constraint near the interface. We also develop a local relaxation scheme that dynamically corrects local stretching/compression errors thereby preventing their accumulation. Asymptotic analysis is presented that shows that our new system converges to a relaxed version of the inextensible sharp interface model. This is also verified numerically. To solve the equations, we use an adaptive finite element method with implicit coupling between the Navier-Stokes and the diffuse interface inextensibility equations. Numerical simulations of a single vesicle in a shear flow at different Reynolds numbers demonstrate that errors in enforcing local inextensibility may accumulate and lead to large differences in the dynamics in the tumbling regime and smaller differences in the inclination angle of vesicles in the tank-treading regime. The local relaxation algorithm is shown to prevent the accumulation of stretching and compression errors very effectively. Simulations of two vesicles in an extensional flow show that local inextensibility plays an important role when vesicles are in close proximity by inhibiting fluid drainage in the near contact region.

Die vorliegende Arbeit zum Thema der numerischen Analysis von Eigenwertproblemen befasst sich mit fünf wesentlichen Aspekten der numerischen Analysis von Eigenwertproblemen. Der erste Teil präsentiert einen Algorithmus von asymptotisch quasi-optimaler Rechenlaufzeit, der die adaptive Finite Elemente Methode mit einem iterativen algebraischen Eigenwertlöser kombiniert. Der zweite Teil präsentiert explizite beidseitige Schranken für die Eigenwerte des Laplace Operators auf beliebig groben Gittern basierend auf einer Approximation der zugehörigen Eigenfunktion in dem nicht konformen Finite Elemente Raum von Crouzeix und Raviart und einem Postprocessing. Die Effizienz der garantierten Schranke des Eigenwertfehlers hängt von der globalen Gitterweite ab. Der dritte Teil betrachtet eine adaptive Finite Elemente Methode basierend auf Verfeinerungen von Knoten-Patchen. Dieser Algorithmus zeigt eine asymptotische Fehlerreduktion der adaptiven Sequenz von einfachen Eigenwerten und Eigenfunktionen des Laplace Operators. Die hier erstmals bewiesene Eigenschaft der Saturation des Eigenwertfehlers zeigt Zuverlässigkeit und Effizienz für eine Klasse von hierarchischen a posteriori Fehlerschätzern. Der vierte Teil betrachtet a posteriori Fehlerschätzer für Konvektion-Diffusion Eigenwertprobleme, wie sie von Heuveline und Rannacher (2001) im Kontext der dual-gewichteten residualen Methode (DWR) diskutiert wurden. Zwei neue dual-gewichtete a posteriori Fehlerschätzer werden vorgestellt. Der letzte Teil beschäftigt sich mit drei adaptiven Algorithmen für Eigenwertprobleme von nicht selbst-adjungierten Operatoren partieller Differentialgleichungen. Alle drei Algorithmen basieren auf einer Homotopie-Methode die vom einfacheren selbst-adjungierten Problem startet. Neben der Gitterverfeinerung wird der Prozess der Homotopie sowie die Anzahl der Iterationen des algebraischen Löser adaptiv gesteuert und die verschiedenen Anteile am gesamten Fehler ausbalanciert. / This thesis "on the numerical analysis of eigenvalue problems" consists of five major aspects of the numerical analysis of adaptive finite element methods for eigenvalue problems. The first part presents a combined adaptive finite element method with an iterative algebraic eigenvalue solver for a symmetric eigenvalue problem of asymptotic quasi-optimal computational complexity. The second part introduces fully computable two-sided bounds on the eigenvalues of the Laplace operator on arbitrarily coarse meshes based on some approximation of the corresponding eigenfunction in the nonconforming Crouzeix-Raviart finite element space plus some postprocessing. The efficiency of the guaranteed error bounds involves the global mesh-size and is proven for the large class of graded meshes. The third part presents an adaptive finite element method (AFEM) based on nodal-patch refinement that leads to an asymptotic error reduction property for the adaptive sequence of simple eigenvalues and eigenfunctions of the Laplace operator. The proven saturation property yields reliability and efficiency for a class of hierarchical a posteriori error estimators. The fourth part considers a posteriori error estimators for convection-diffusion eigenvalue problems as discussed by Heuveline and Rannacher (2001) in the context of the dual-weighted residual method (DWR). Two new dual-weighted a posteriori error estimators are presented. The last part presents three adaptive algorithms for eigenvalue problems associated with non-selfadjoint partial differential operators. The basis for the developed algorithms is a homotopy method which departs from a well-understood selfadjoint problem. Apart from the adaptive grid refinement, the progress of the homotopy as well as the solution of the iterative method are adapted to balance the contributions of the different error sources.

Gegenstand dieser Arbeit ist die numerische Approximation von Eigenwerten elliptischer Differentialoperatoren vermittels der adaptiven finite-Elemente-Methode (AFEM). Durch lokale Netzverfeinerung können derartige Verfahren den Rechenaufwand im Vergleich zu uniformer Verfeinerung deutlich reduzieren und sind daher von großer praktischer Bedeutung. Diese Arbeit behandelt adaptive Algorithmen für Finite-Elemente-Methoden (FEMs) für drei selbstadjungierte Modellprobleme: den Laplaceoperator, das Stokes-System und den biharmonischen Operator. In praktischen Anwendungen führen Störungen der Koeffizienten oder der Geometrie auf Eigenwert-Haufen (Cluster). Dies macht simultanes Markieren im adaptiven Algorithmus notwendig. In dieser Arbeit werden optimale Konvergenzraten für einen praktischen adaptiven Algorithmus für Eigenwert-Cluster des Laplaceoperators (konforme und nichtkonforme P1-FEM), des Stokes-Systems (nichtkonforme P1-FEM) und des biharmonischen Operators (Morley-FEM) bewiesen. Fehlerabschätzungen in der L2-Norm und Bestapproximations-Resultate für diese Nichtstandard-Methoden erfordern neue Techniken, die in dieser Arbeit entwickelt werden. Dadurch wird der Beweis optimaler Konvergenzraten ermöglicht. Die Optimalität bezüglich einer nichtlinearen Approximationsklasse betrachtet die Approximation des invarianten Unterraums, der von den Eigenfunktionen im Cluster aufgespannt wird. Der Fehler der Eigenwerte kann dazu in Bezug gesetzt werden: Die hierfür notwendigen Eigenwert-Fehlerabschätzungen für nichtkonforme Finite-Elemente-Methoden werden in dieser Arbeit gezeigt. Die numerischen Tests für die betrachteten Modellprobleme legen nahe, dass der vorgeschlagene Algorithmus, der bezüglich aller Eigenfunktionen im Cluster markiert, einem Markieren, das auf den Vielfachheiten der Eigenwerte beruht, überlegen ist. So kann der neue Algorithmus selbst im Fall, dass alle Eigenwerte im Cluster einfach sind, den vorasymptotischen Bereich signifikant verringern. / The numerical approximation of the eigenvalues of elliptic differential operators with the adaptive finite element method (AFEM) is of high practical interest because the local mesh-refinement leads to reduced computational costs compared to uniform refinement. This thesis studies adaptive algorithms for finite element methods (FEMs) for three model problems, namely the eigenvalues of the Laplacian, the Stokes system and the biharmonic operator. In practice, little perturbations in coefficients or in the geometry immediately lead to eigenvalue clusters which requires the simultaneous marking in adaptive finite element methods. This thesis proves optimality of a practical adaptive algorithm for eigenvalue clusters for the conforming and nonconforming P1 FEM for the eigenvalues of the Laplacian, the nonconforming P1 FEM for the eigenvalues of the Stokes system and the Morley FEM for the eigenvalues of the biharmonic operator. New techniques from the medius analysis enable the proof of L2 error estimates and best-approximation properties for these nonstandard finite element methods and thereby lead to the proof of optimality. The optimality in terms of the concept of nonlinear approximation classes is concerned with the approximation of invariant subspaces spanned by eigenfunctions of an eigenvalue cluster. In order to obtain eigenvalue error estimates, this thesis presents new estimates for nonconforming finite elements which relate the error of the eigenvalue approximation to the error of the approximation of the invariant subspace. Numerical experiments for the aforementioned model problems suggest that the proposed practical algorithm that uses marking with respect to all eigenfunctions within the cluster is superior to marking that is based on the multiplicity of the eigenvalues: Even if all exact eigenvalues in the cluster are simple, the simultaneous approximation can reduce the pre-asymptotic range significantly.