Let G be a graph with vertex set V and a distribution of pebbles on the vertices of V . A pebbling move consists of removing two pebbles from a vertex and placing one pebble on a neighboring vertex, and a rubbling move consists of removing a pebble from each of two neighbors of a vertex v and placing a pebble on v. We seek an initial placement of a minimum total number of pebbles on the vertices in V, so that no vertex receives more than one pebble and for any given vertex v ∈ V, it is possible, by a sequence of pebbling and rubbling moves, to move at least one pebble to v. This minimum number of pebbles is the 1-restricted optimal rubbling number. We determine the 1-restricted optimal rubbling numbers for Cartesian products. We also present bounds on the 1-restricted optimal rubbling number.

L’objectif de cette thèse vise à identifier les principes sous-tendant la planification des mouvements 3D du membre supérieur tout en tenant compte des différences inter-individuelles régulièrement observées dans ce domaine. Dans cette optique, l’approche choisie combine des expériences originales précisément des tâches de pointage laissant le choix du point final libre) avec des techniques de calcul avancées (ici des méthodes de contrôle optimal inverse numérique). Des mouvements de pointage du bras sans position finale précisément prescrite sont examinés dans différentes conditions de vitesse et/ou de masse afin de laisser émerger des stratégies motrices variées et d’évaluer les éventuels principes de planification motrice sous-jacents. L’idée centrale est de s’écarter du paradigme classique consistant à étudier des mouvements point-à-point (où la cible est généralement indiquée par un point dans l’espace, par exemple une cible lumineuse) et porte sur l’étude d’une tâche dans laquelle le choix du point final du mouvement est laissé libre aux participants afin de faire surgir les différences interindividuelles ainsi que le processus de sélection ou de décision motrice qui a conduit aux stratégies observées. Ce type de tâche permet de mieux décoder les caractéristiques du contrôleur moteur humain. Les résultats empiriques sont ensuite modélisés et interprétés grâce au contrôle optimal inverse dont l’hypothèse associée estque les trajectoires expérimentales découlent de la minimisation d’une certaine fonction de coût qui est éventuellement composite. Cette approche combinée vise à révéler les principes ou règles qui gouvernent le processus de planification de ce type de mouvement des membres supérieurs et d’établir un lien entre les paramètres pertinents du geste, les fonctions de coûts et les caractéristiques individuelles.Les résultats montrent que les sujets produisent des stratégies motrices différentes aux niveaux cinématique et dynamique en fonction de la façon dont ils s’adaptent aux changements de vitesse et/ou de masse. Dans l’ensemble, ces changements ont des effets significatifs sur les trajectoires de la main (par exemple l’emplacement des points finaux choisis par les sujets) et les commandes motrices (notamment sur l’utilisation des couples d’interaction). Pourtant, certains sujets présentaient des dépendances plus exacerbées que d’autres qui ne variaient que peu leur stratégie de pointage par rapport aux changements de vitesse ou de masse induits par la tâche. L’investigation par contrôle optimal inverse a montré que ces résultats pouvaient être expliqués par une optimisation d’un coût composite mélangeant essentiellement des variables cinématique et dynamique durant la phase de planification motrice. Un tel modèle composite surpassait les prédictions des modèles séparés soit cinématique soit dynamique dans la prédiction de l’évolution des caractéristiques importantes du mouvement et des différences interindividuelles. En outre, il a permis de réconcilier des résultats controversés débattus dans des études antérieures en montrant que des comportements adaptatifs divergents peuvent émerger en fonction du poids des fonctions de coût élémentaires qui composent la fonction de coût totale. Dans l’ensemble, nos résultats suggèrent que la planification motrice des mouvements 3D non-contraints du bras mêle nécessairement des variables cinématiques et cinétiques, et que ce compromis semble être idiosyncrasique et ainsi conduire à des différences interindividuelles subtiles. / The purpose of this thesis is to identify principles that could guide the planning of 3D upper-limb movements for different individuals. To this aim, the chosen approach combines novel experiments (namely, a “free reach-endpoint" motor task) with advanced computational techniques (here numerical inverse optimal control). Arm pointing movements without a prescribed final hand position are examined under different conditions of speed or load in order to let emerge various motor control strategies and assess the possible underlying motor planning principles. A core idea is to depart from classical point-to-point reaching paradigms (where the target is generally a dot, e.g. a spotlight target) to study a task in which the endpoint is left free to theparticipants in order to emphasize inter-individual differences as well as the selection process and motor decision that led to the observed strategies. This paradigm thus allows to better decipher the characteristics of the human motor controller. Empirical results are then modeled and interpreted in the inverse optimal control framework, hypothesizing that empirical arm trajectories derive from the minimization of a certain, possibly composite, cost function. This combined approach aims at revealing which principle or rule conceivably drives the planning process of these unrestrained upper-limb movements and to stablish a link between relevant motion parameters, cost functions and inter-individual peculiarities.The results show that subjects produced different motor strategies at both kinematic and dynamic levels depending on how they adapted to speed and/or load variations. Overall, significant motor adaptation of hand trajectories (e.g. location of reach endpoints) and motor commands (e.g. use of interaction torque) were found. Yet, some subjects exhibited stronger dependences than others who varied only little their reach strategies with respect to task-induced speed or load changes. When investigated from the optimal control viewpoint, these results could be accounted for by a composite cost essentially weighting kinematic and dynamic variables differentially at the motor planning stage. Such a composite model outperformed separate kinematic and dynamic ones in predicting the evolution of many important motion features and in explaining inter individual differences. Moreover, it allowed reconciling controversial findings of previous studies by showing that divergent adaptive behaviors can emerge depending on the weights of the elementary cost that may compose the total cost function. In sum, the present results suggest that motor planningof unrestrained3D arm movements necessarily mixes kinematic and kinetic variables and that this trade-off may be idiosyncratic and lead to subtle inter individual differences.

Les travaux portent sur l'étude d'équations aux dérivées partielles à la charnière de la physique de la mécanique des milieux continus et de la géométrie différentielle, le point de départ étant le modèle d'électromagnétisme non-linéaire introduit par Max Born et Leopold Infeld en 1934 comme substitut aux traditionnelles équations linéaires de Maxwell. Ces équations sont remarquables par leurs liens avec la géométrie différentielle (surfaces extrémales dans l'espace de Minkowski) et ont connu un regain d'intérêt dans les années 90 en physique des hautes énergies (cordes et D-branes).Le travail se décompose en quatre chapitres.La théorie des systèmes paraboliques dégénérés d'EDP non-linéaires est fort peu développée, faute de pouvoir appliquer les principes de comparaison habituels (principe du maximum), malgré leur omniprésence dans de nombreuses applications (physique, mécanique, imagerie numérique, géométrie...). Dans le premier chapitre, on montre comment de tels systèmes peuvent être parfois dérivés, asymptotiquement, à partir de systèmes non-dissipatifs (typiquement des systèmes hyperboliques non-linéaires), par simple changement de variable en temps non-linéaire dégénéré à l'origine (où sont fixées les données initiales). L'avantage de ce point de vue est de pouvoir transférer certaines techniques hyperboliques vers les équations paraboliques, ce qui semble à première vue surprenant, puisque les équations paraboliques ont la réputation d'être plus facile à traiter (ce qui n'est pas vrai, en réalité, dans le cas de systèmes dégénérés). Le chapitre traite, comme prototype, du curve-shortening flow", qui est le plus simple des mouvements par courbure moyenne en co-dimension supérieure à un. Il est montré comment ce modèle peut être dérivé de la théorie des surfaces de dimension deux d'aire extrémale dans l'espace de Minkowski (correspondant aux cordes relativistes classiques) qui peut se ramener à un système hyperbolique. On obtient, presque automatiquement, l'équivalent parabolique des principes d'entropie relative et d'unicité fort-faible qu'il est, en fait, bien plus simple d'établir et de comprendre dans le cadre hyperbolique.Dans le second chapitre, la même méthode s'applique au système de Born-Infeld proprement dit, ce qui permet d'obtenir, à la limite, un modèle (non répertorié à notre connaissance) de Magnétohydrodynamique (MHD), où on retrouve à la fois une diffusivité non-linéaire dans l'équation d'induction magnétique et une loi de Darcy pour le champ de vitesse. Il est remarquable qu'un système d'apparence aussi lointaine des principes de base de la physique puisse être si directement déduit d'un modèle de physique aussi fondamental et géométrique que celui de Born-Infeld.Dans le troisième chapitre, un lien est établi entre des systèmes paraboliques et le concept de flot gradient de formes différentielles pour des métriques de transport. Dans le cas des formes volumes, ce concept a eu un succès extraordinaire dans le cadre de la théorie du transport optimal, en particulier après le travail fondateur de Felix Otto et de ses collaborateurs. Ce concept n'en est vraiment qu'à ses débuts: dans ce chapitre, on étudie une variante du «curve-shortening flow» étudié dans le premier chapitre, qui présente l'avantage d'être intégrable (en un certain sens) et de conduire à des résultats plus précis.Enfin, dans le quatrième chapitre, on retourne au domaine des EDP hyperboliques en considérant, dans le cas particulier des graphes, les surfaces extrémales de l'espace de Minkowski, de dimension et co-dimension quelconques. On parvient à montrer que les équations peuvent se reformuler sous forme d'un système élargi symétrique du premier ordre (ce qui assure automatiquement le caractère bien posé des équations) d'une structure remarquablement simple (très similaire à l'équation de Burgers) avec non linéarités quadratiques, dont le calcul n'a rien d'évident. / Our work concerns about the study of partial differential equations at the hinge of the continuum physics and differential geometry. The starting point is the model of non-linear electromagnetism introduced by Max Born and Leopold Infeld in 1934 as a substitute for the traditional linear Maxwell's equations. These equations are remarkable for their links with differential geometry (extremal surfaces in the Minkowski space) and have regained interest in the 90s in high-energy physics (strings and D-branches).The thesis is composed of four chapters.The theory of nonlinear degenerate parabolic systems of PDEs is not very developed because they can not apply the usual comparison principles (maximum principle), despite their omnipresence in many applications (physics, mechanics, digital imaging, geometry, etc.). In the first chapter, we show how such systems can sometimes be derived, asymptotically, from non-dissipative systems (typically non-linear hyperbolic systems), by simple non-linear change of the time variable degenerate at the origin (where the initial data are set). The advantage of this point of view is that it is possible to transfer some hyperbolic techniques to parabolic equations, which seems at first sight surprising, since parabolic equations have the reputation of being easier to treat (which is not true , in reality, in the case of degenerate systems). The chapter deals with the curve-shortening flow as a prototype, which is the simplest exemple of the mean curvature flows in co-dimension higher than 1. It is shown how this model can be derived from the two-dimensional extremal surface in the Minkowski space (corresponding to the classical relativistic strings), which can be reduced to a hyperbolic system. We obtain, almost automatically, the parabolic version of the relative entropy method and weak-strong uniqueness, which, in fact, is much simpler to establish and understand in the hyperbolic framework.In the second chapter, the same method applies to the Born-Infeld system itself, which makes it possible to obtain, in the limit, a model (not listed to our knowledge) of Magnetohydrodynamics (MHD) where we have non-linear diffusions in the magnetic induction equation and the Darcy's law for the velocity field. It is remarkable that a system of such distant appearance of the basic principles of physics can be so directly derived from a model of physics as fundamental and geometrical as that of Born-Infeld.In the third chapter, a link is established between the parabolic systems and the concept of gradient flow of differential forms with suitable transport metrics. In the case of volume forms, this concept has had an extraordinary success in the field of optimal transport theory, especially after the founding work of Felix Otto and his collaborators. This concept is really only on its beginnings: in this chapter, we study a variant of the curve-shortening flow studied in the first chapter, which has the advantage of being integrable (in a certain sense) and lead to more precise results.Finally, in the fourth chapter, we return to the domain of hyperbolic EDPs considering, in the particular case of graphs, the extremal surfaces of the Minkowski space of any dimension and co-dimension. We can show that the equations can be reformulated in the form of a symmetric first-order enlarged system (which automatically ensures the well-posedness of the equations) of a remarkably simple structure (very similar to the Burgers equation) with quadratic nonlinearities, whose calculation is not obvious.

Dans le domaine de l'anatomie, à l'investissement massif dans la constitution de base de données collectant des données d'imagerie médicale, doit répondre le développement de techniques numériques modernes pour une quantification de la façon dont les pathologies affectent et modifie les structures biologiques. Le développement d'approches géométriques via les espaces homogènes et la géométrie riemannienne en dimension infinie, initialisé il y a une dizaine d'années par Christensen et Miller, et simultanément Trouvé et Younes, et mettant en œuvre des idées originales de d'Arcy Thompson, a permis de construire ces dernières années un cadre conceptuel extrêmement efficace pour attaquer le problème de la modélisation et de l'analyse de la variabilité de populations de formes. Néanmoins, à l'intégration de l'analyse longitudinale des données, ont émergé des phénomènes biologiques de croissance ou de dégénérescence se manifestant via des déformations spécifiques de nature non difféomorphique. On peut en effet observer lors de la croissance d'un composant organique, une apparition progressive de matière qui ne s'apparente pas à un simple étirement du tissu initial. Face à cette observation, nous proposons de garder l'esprit géométrique qui fait la puissance des approches difféomorphiques dans les espaces de formes mais en introduisant un concept assez général de déploiement où l'on modélise les phénomènes de croissance comme le déploiement optimal progressif d'un modèle préalablement replié dans une région de l'espace. Nous présentons donc une généralisation des méthodes difféomorphiques classiques pour modéliser plus fidèlement l'évolution de chaque individu d'une population et saisir l'ensemble de la dynamique de croissance. Nous nous appuyons sur l'exemple concret de la croissance des cornes animales. La considération d'un a priori sur la dynamique de croissance de la corne, nous permet de construire un chemin continu dans un espace de formes, modélisant l'évolution de la corne de sa naissance, d'un état réduit à un point (comme l'état d'embryon pour un humain ou de graine pour une plante) à un âge adulte quelconque de corne bien déployée. Au lieu d'étirer la corne, nous anticipons l'arrivée matière nouvelle en des endroits prédéfinis. Pour cela, nous définissons une forme mère indépendante du temps dans un espace virtuel, qui est progressivement plongée dans l'espace ambiant en fonction d'un marqueur temporel prédéfini sur la forme mère. Finalement, nous aboutissons à un nouveau problème de contrôle optimal pour l'assimilation de données de surfaces évoluant dans le temps, conduisant à un problème intéressant dans le domaine du calcul des variations où le choix pour la représentation des données, courant ou varifold, joue un rôle inattendu. / The Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping (LDDMM) framework has proved to be highly efficient for addressing the problem of modelling and analysis of the variability of populations of shapes, allowing for the direct comparison and quantization of diffeomorphic morphometric changes. However, the analysis of medical imaging data also requires the processing of more complex changes, which especially appear during growth or aging phenomena. The observed organisms are subject to transformations over the time which are no longer diffeomorphic, at least in a biological sense. One reason might be a gradual creation of new material uncorrelated to the preexisting one. For this purpose, we offer to extend the LDDMM framework to address the problem of non diffeomorphic structural variations in longitudinal scenarios during a growth or degenerative process. We keep the geometric central concept of a group of deformations acting on a shape space. However, the shapes will be encoded by a new enriched mathematical object allowing through partial mappings an intrinsic evolution dissociated from external deformations. We focus on the specific case of the growth of animal horns.Ultimately, we integrate these growth priors into a new optimal control problem for assimilation of time-varying surface data, leading to an interesting problem in the field of the calculus of variations where the choice of the attachment term on the data, current or varifold, plays an unexpected role.

abstract: Optimal design theory provides a general framework for the construction of experimental designs for categorical responses. For a binary response, where the possible result is one of two outcomes, the logistic regression model is widely used to relate a set of experimental factors with the probability of a positive (or negative) outcome. This research investigates and proposes alternative designs to alleviate the problem of separation in small-sample D-optimal designs for the logistic regression model. Separation causes the non-existence of maximum likelihood parameter estimates and presents a serious problem for model fitting purposes. First, it is shown that exact, multi-factor D-optimal designs for the logistic regression model can be susceptible to separation. Several logistic regression models are specified, and exact D-optimal designs of fixed sizes are constructed for each model. Sets of simulated response data are generated to estimate the probability of separation in each design. This study proves through simulation that small-sample D-optimal designs are prone to separation and that separation risk is dependent on the specified model. Additionally, it is demonstrated that exact designs of equal size constructed for the same models may have significantly different chances of encountering separation. The second portion of this research establishes an effective strategy for augmentation, where additional design runs are judiciously added to eliminate separation that has occurred in an initial design. A simulation study is used to demonstrate that augmenting runs in regions of maximum prediction variance (MPV), where the predicted probability of either response category is 50%, most reliably eliminates separation. However, it is also shown that MPV augmentation tends to yield augmented designs with lower D-efficiencies. The final portion of this research proposes a novel compound optimality criterion, DMP, that is used to construct locally optimal and robust compromise designs. A two-phase coordinate exchange algorithm is implemented to construct exact locally DMP-optimal designs. To address design dependence issues, a maximin strategy is proposed for designating a robust DMP-optimal design. A case study demonstrates that the maximin DMP-optimal design maintains comparable D-efficiencies to a corresponding Bayesian D-optimal design while offering significantly improved separation performance. / Dissertation/Thesis / Doctoral Dissertation Industrial Engineering 2019

Pour mener à bien leur mission, les satellites de télécommunications doivent rester à la verticale d'un même point de la Terre, sur une orbite dite géostationnaire, pour laquelle la période de révolution des satellites sur leur orbite est identique à la période de rotation de la Terre sur elle-même. Cependant, à cause des perturbations orbitales, les satellites tendent à s'en éloigner, et il est alors nécessaire de concevoir des stratégies de commande pour les maintenir dans un voisinage de cette position de référence. Du fait de leur grande valeur de poussée, les systèmes à propulsion chimique ont largement été utilisés, mais aujourd'hui les systèmes à propulsion électrique avec leur grande impulsion spécifique sont des alternatives viables pour réduire la masse d'ergols du satellite, et ainsi le coût au lancement, ou allonger la durée de vie du satellite, ce qui permettrait de limiter l'encombrement dans l'espace. Cependant, l'utilisation d'un tel système propulsif induit des contraintes opérationnelles issues en partie du caractère limité de la puissance électrique disponible à bord. Ces contraintes sont difficiles à prendre en compte dans la transcription du problème de maintien à poste en un problème de contrôle optimal à consommation minimale avec contraintes sur l'état et le contrôle. Ce manuscrit propose deux approches pour résoudre ce problème de commande optimale. La première, basée sur le développement et l'exploitation de conditions nécessaires d'optimalité, consiste à découper le problème initial en trois sous-problèmes pour former une méthode de résolution à trois étapes. La première étape permet de résoudre un problème de maintien à poste expurgé des contraintes opérationnelles, tandis que la deuxième, initialisée par le résultat de la première, produit une solution assurant le respect de ces dernières contraintes. La troisième étape permet d'optimiser la valeur des instants d'allumage et d'extinction des propulseurs dans le cadre du formalisme des systèmes à commutation. La seconde approche, dite " directe ", consiste à paramétrer le profil de commande par une fonction binaire et à le discrétiser sur l'horizon temporel de résolution. Les contraintes opérationnelles sont ainsi facilement transcrites en contraintes linéaires en nombres entiers. Après l'intégration numérique de la dynamique, le problème de contrôle optimal se résume à un problème linéaire en nombres entiers. Après la résolution du problème de maintien à poste sur un horizon court d'une semaine, le problème est résolu sur un horizon long d'un an par résolutions successives sur des horizons courts d'une durée de l'ordre de la semaine. Des contraintes de fin d'horizon court doivent alors être ajoutées afin d'assurer la faisabilité de l'enchaînement des problèmes sur l'horizon court constituant le problème sur l'horizon long. / Geostationary spacecraft have to stay above a fixed point of the Earth, on a so-called geostationary Earth orbit. For this orbit, the orbital period of the spacecraft is equal to the rotation period of the Earth. Because of orbital disturbances, spacecraft drift away their station keeping position. It is therefore mandatory to create control strategies in order to make the spacecraft stay in the vicinity of the station keeping position. Due to their high thrust capabilities, chemical thrusters have been widely used. However nowadays electric propulsion based thrusters with their high specific impulse are viable alternative in order to decrease the spacecraft mass or increase its longevity. The use of such a system induce the necessity to handle operational constraints because of the limited on-board power. These operational constraints are difficult to take into account in the mathematical transcription of the station keeping problem in an optimal control problem with control and state constraints. This thesis proposed two techniques in order to solve this optimal control problem. The first one is based on the computation of first order necessary conditions and consists in decomposing the overall problem in three sub-problems, leading to a three-step decomposition method. The first step solves an optimal control problem without the operational constraints. The second steps enforces these operational constraints thanks to dedicated equivalence schemes and the third one optimises the switching times of the control profile thanks to a method borrowed from the switched systems theory. The second proposed method consists in parametrising the on-off control profile with binary functions. After a time discretisation of the station keeping horizons, the operational constraints are easily recast as linear constraints on integer variables, the dynamics is numerically integrated and the station keeping problem is recast as a mixed integer linear programming problem. After the resolution of the problem over a short time horizon of one week, the station keeping problem is solved over a long time horizon of one year. To this end, the long time horizon is split in shorter horizons over which the problem is successively solved. End-of-cycle constraints have been set up in order to ensure the feasibility of the solution one short horizon after another.

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京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(工学) / 甲第23887号 / 工博第4974号 / 新制||工||1777(附属図書館) / 京都大学大学院工学研究科航空宇宙工学専攻 / (主査)教授 藤本 健治, 教授 泉田 啓, 教授 大塚 敏之 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Philosophy (Engineering) / Kyoto University / DFAM

The content of this dissertation consists of three parts. In the first part, optimal control strategies are developed for Unified Power Flow Controller (UPFC) following the clearance of fault conditions. UPFC is one of the most versatile Flexible AC Transmission devices (FACTs) that have been implemented thus far. The optimal control scheme is composed of two parts. The first is an optimal stabilization control, which is an open-loop ‘Bang’ type of control. The second is an suboptimal damping control, which consists of segments of ‘Bang’ type control with switching functions the same as those of a corresponding approximate linear system. Simulation results show that the proposed control strategy is very effective in maintaining stability and damping out transient oscillations following the clearance of the fault. In the second part, a new power market structure is proposed. The new structure is based on a two-level optimization formulation of the market. It is shown that the proposed market structure can easily find the optimal solutions for the market while takeing factors such as demand elasticity into account. In the last part, a mathematical programming problem is formulated to obtain the maximum value of the loadibility factor, while the power system is constrained by steady-state dynamic security constraints. An iterative solution procedure is proposed for the problem, and the solution gives a slightly conservative estimate of the loadibility limit for the generation and transmission system.