Part I of this thesis concerns the question in which dimensions manifolds with higher orientability properties can have an odd Euler characteristic. In chapter 1 I prove that a k-orientable manifold (or more generally Poincare complex) has even Euler characteristic unless the dimension is a multiple of 2^k+1, where we call a manifold k-orientable if the i^th Stiefel-Whitney class vanishes for all 0 < i < 2^k (k ≥ 0). For k = 0, 1, 2, 3, k-orientable manifolds with odd Euler characteristic exist in all dimensions 2^k+1m, but whether there exist a 4-orientable manifold with an odd Euler characteristic is an open problem. In Chapter 2 I present calculations on the cohomology of the first two Rosenfeld planes, revealing that (O ⊗ C)P² is 2-orientable and (O ⊗ H)P² is at least 3-orientable. Part II discusses the homotopy type of spaces of nested manifolds. I prove that the space of d-dimensional manifolds with k-dimensional submanifolds inside Rⁿ has the homotopy type of a linearised model T_k<d, which can be thought of as a space of off-set d-planes inside Rⁿ with a (potentially empty) off-set k-plane inside of it, compactified with a point at infinity representing the empty set. Applying an induction I generalise this result to the case of higher nestings, establishing that the space Ψ_I (Rⁿ) of nested manifolds inside Rⁿ, for I a finite list of strictly increasing dimensions between 0 and n - 1, has the homotopy type of a linearised model space T_I.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:24:52Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-12-22Bitstream added on 2014-06-13T19:52:44Z : No. of bitstreams: 1 martines_mcs_me_rcla.pdf: 781716 bytes, checksum: 8987931f68f38e58e234c3d74a591306 (MD5) / Esta dissertação tem por objetivo trabalhar Topologia no Ensino Médio, usando como recurso pedagógico, a História da Matemática. Iniciaremos com o trabalho de Euler sobre as pontes de Königsberg, pois é com ele que se dá início as pesquisas neste ramo científico da Matemática. Em seguida resgataremos a descoberta de Euler acerca da “propriedade geral dos sólidos limitados por faces planas”, conhecida hoje como relação de Euler. Seu trabalho, intitulado “Demonstratio nonnullarum insignium proprieatatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita”, surgiu do incômodo de demonstrar que existia uma propriedade geral para os sólidos limitados por faces planas, uma vez que a propriedade geral para os polígonos já era conhecida. Também iremos trabalhar com as obras de Cauchy e Lhuilier que contribuíram enormemente com a evolução da propriedade citada por Euler. Para encerrar, destacaremos algumas observações sobre a Característica de Euler, assunto que se desenvolveu a partir da preocupação deste e que hoje faz parte da Topologia Algébrica. / This dissertation aims to work topology in high school using as a teaching resource the History of Mathematics. We will start with Euler’s work about the bridges of Königsberg, is with them that begins the research in this scientific branch of Mathematics. After that, we will redeem Euler’s discovery about the “ general property of the solids bounded by flat faces”, known today as Euler’s relation. His work, entitled “ Demonstratio nonnullarum Insignium proprieatatum, quibus solida sunt hedras planis included praedita” arose from the inconvenience of demonstrate that there was a general property for solid bounded by flat faces since the general property for the polygons was already known. We will also work with Cauchy and Lhuilier’s works, which contributed a lot of the evolution of property mentioned by Euler. As closing, we will detach some observations about Euler’s Characteristic, a subject that was develop from Euler’s concerns and now is part of Algebraic Topology.

Orientador: Sérgio Roberto Nobre / Banca: Alice Kimie Miwa Libardi / Banca: Carlos Roberto de Moraes / Resumo: Esta dissertação tem por objetivo trabalhar Topologia no Ensino Médio, usando como recurso pedagógico, a História da Matemática. Iniciaremos com o trabalho de Euler sobre as pontes de Königsberg, pois é com ele que se dá início as pesquisas neste ramo científico da Matemática. Em seguida resgataremos a descoberta de Euler acerca da "propriedade geral dos sólidos limitados por faces planas", conhecida hoje como relação de Euler. Seu trabalho, intitulado "Demonstratio nonnullarum insignium proprieatatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita", surgiu do incômodo de demonstrar que existia uma propriedade geral para os sólidos limitados por faces planas, uma vez que a propriedade geral para os polígonos já era conhecida. Também iremos trabalhar com as obras de Cauchy e Lhuilier que contribuíram enormemente com a evolução da propriedade citada por Euler. Para encerrar, destacaremos algumas observações sobre a Característica de Euler, assunto que se desenvolveu a partir da preocupação deste e que hoje faz parte da Topologia Algébrica. / Abstract: This dissertation aims to work topology in high school using as a teaching resource the History of Mathematics. We will start with Euler's work about the bridges of Königsberg, is with them that begins the research in this scientific branch of Mathematics. After that, we will redeem Euler's discovery about the " general property of the solids bounded by flat faces", known today as Euler's relation. His work, entitled " Demonstratio nonnullarum Insignium proprieatatum, quibus solida sunt hedras planis included praedita" arose from the inconvenience of demonstrate that there was a general property for solid bounded by flat faces since the general property for the polygons was already known. We will also work with Cauchy and Lhuilier's works, which contributed a lot of the evolution of property mentioned by Euler. As closing, we will detach some observations about Euler's Characteristic, a subject that was develop from Euler's concerns and now is part of Algebraic Topology. / Mestre

Orientador: Alice Kimie Miwa Libardi / Banca: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Karina Schiabel Silva / Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar uma demonstração combinatória dos teore- mas de Índice de Poincaré, a saber: "Sejam D um disco e γ seu bordo. Seja V um campo vetorial contínuo sobre D com pontos críticos isolados P1, P2, . . . , Pn pertencentes ao interior de D. Se V nunca se anula em γ, então W(γ) = I(P1) + I(P2) + . . . + I(Pn), onde I(Pi) é o índice do ponto crítico Pi e W(γ) o número de voltas de V sobre γ." "Seja V um campo vetorial tangente contínuo sobre uma superfície compacta, co- nexa e orientável S. Então a soma dos índices dos pontos críticos de V é igual à característica de Euler de S." / Abstract: bstract In this work we present a combinatorial proof for the Poincaré index theorems. "Let V be a continuous vector field. Let D be a cell and γ its boundary. Supposing that V is not zero on γ, then W(γ) = I(P1) + I(P2) + . . . + I(Pn) where P1, P2, . . . , Pn are the critical points of V inside D, I(Pi) is the index of Pi, and W(γ) is the winding number of V on γ." "Let V be a continuous tangent vector field on a compact, connected, orientable surface S. Then the sum of the indexes of the critical points of V equals the Euler characteristic of S." / Mestre

Esta dissertação expõe o estudo realizado sobre o artigo de R. Brown, citado na bibliografia, e sobre os conceitos necessários para a compreensão deste material. Entre os principais conceitos e resultados preliminares discutidos, podemos citar: topologia de espaços de funções, teoria de homotopia, espaços compactos ANR, característica de Euler de um compacto ANR, teorema de Lefschetz, espaços fibrados, e campos de caminhos. Os principais resultados discutidos na dissertação são os teoremas centrais do artigo de Brown: toda n-variedade topológica compacta admite um campo de caminhos com no máximo uma singularidade; e, uma n-variedade topológica compacta orientável admite um campo de caminhos sem singularidades se, e somente se, sua característica de Euler é zero. Discutimos também, suas respectivas consequências em teoria de ponto fixo / This essay has the purpose of exposing the studies on the paper by R. Brown, quoted on the references, and on the concepts necessary to the comprehension of it. Among the main concepts and preliminary results discussed, we can cite: topology of function spaces, homotopy theory, ANR compact spaces, Euler characteristic of a compact ANR, Lefschetz theorem, fiber spaces, and field paths. The main results discussed in the text are the central theorems presented on Brown\'s paper: every compact topological n-manifold admits a path field with at most one singularity, and a compact orientable topological n-manifold M admits a nonsingular path field if and only if the Euler characteristic of M is zero. We also discussed their consequences on fixed point theory

La thèse est constituée de deux parties. La première concerne la très amplitude du diviseur canonique relatif, tandis que la seconde traite de la positivité de la caractéristique d'Euler de surfaces.Dans la première partie, on se donne une courbe régulière propre sur un anneau de Dedekind (dont les corps résiduels aux points fermés sont parfaits), de fibre générique de genre plus grand ou égal à 2. Après contractions de certains diviseurs verticaux, on obtient son modèle canonique. On montre que toute puissance tensorielle supérieure ou égale à 3 du faisceau dualisant relatif sur le modèle canonique est très ample. Ceci améliore un résultat de Jongmin Lee.Dans la deuxième partie, pour tout nombre premier p différent de 2, nous montrons qu'il existe une constante positive k_p, telle que pour toute surface projective lisse X de type général définie sur un corps algébriquement clos de caractéristique p, on ait l'inégalité \xi(O_X) ≥ k_pc_1^2(X). / This thesis is divided into 2 parts. The first part concerns with the amplitude of relative canonical divisors, and the second part deals with the positivity of the Euler characteristics of surfaces.In the first part, given a minimal arithmetic surface over a Dedekind ring whose residue fields at closed points are perfect, suppose the general fibre has genus at least 2, after contracting some vertical divisor, we will obtain its canonical model. We prove in this part that 3 or more times the relative canonical divisor of this canonical model is very ample. This simplifies and generalizes a result of Jongmin Lee.In the second part, we prove that for all prime numbers p>2, there is a positive number k_p, such that \xi(O_X) ≥ k_p c_1^2(X) holds true for all algebraic surfaces X of general type in characteristic p. In particular, \xi(O_X)>0. This answers a question of N. Shepherd Barron when p>2.

We consider right modules over a ring, as models of a first order theory. We explorethe definable sets and the definable bijections between them. We employ the notionsof Euler characteristic and Grothendieck ring for a first order structure, introduced byJ. Krajicek and T. Scanlon in [24]. The Grothendieck ring is an algebraic structurethat captures certain properties of a model and its category of definable sets.If M is a module over a product of rings A and B, then M has a decomposition into a direct sum of an A-module and a B-module. Theorem 3.5.1 states that then the Grothendieck ring of M is the tensor product of the Grothendieck rings of the summands.Theorem 4.3.1 states that the Grothendieck ring of every infinite module over afield or skew field is isomorphic to Z[X].Proposition 5.2.4 states that for an elementary extension of models of anytheory, the elementary embedding induces an embedding of the corresponding Grothendieck rings. Theorem 5.3.1 is that for an elementary embedding of modules, we have the stronger result that the embedding induces an isomorphism of Grothendieck rings.We define a model-theoretic Grothendieck ring of the category Mod-R and explorethe relationship between this ring and the Grothendieck rings of general right R-modules. The category of pp-imaginaries, shown by K. Burke in [7] to be equivalentto the subcategory of finitely presented functors in (mod-R; Ab), provides a functorial approach to studying the generators of theGrothendieck rings of R-modules. It is shown in Theorem 6.3.5 that whenever R andS are Morita equivalent rings, the rings Grothendieck rings of the module categories Mod-R and Mod-S are isomorphic.Combining results from previous chapters, we derive Theorem 7.2.1 saying that theGrothendieck ring of any module over a semisimple ring is isomorphic to a polynomialring Z[X1,...,Xn] for some n.

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Neste trabalho estudamos superfícies com a propriedade que suas componentes irredutíveis são superfícies tóricas. Em particular, apresentamos uma fórmula para calcular a obstrução de Euler local destas superfícies. Como uma aplicação desta fórmula, calculamos a obstrução de Euler local para algumas famílias de superfícies determinantais. Além disso, definimos a característica de Euler evanescente de uma superfície tórica normal Xσ, damos uma fórmula para calcular tal invariante e relacionamos este número com a segunda multiplicidade polar de Xσ. Apresentamos também, uma fórmula para a obstrução de Euler de uma função f : Xσ → C e para o número de Brasselet de tal função. Como uma aplicação deste resultado, calculamos a obstrução de Euler de um tipo de polinômio definido em uma família de superfícies determinantais. / In this work we study surfaces with the property that their irreducible components are toric surfaces. In particular, we present a formula to compute the local Euler obstruction of such surfaces. As an application of this formula we compute the local Euler obstruction for some families of determinantal surfaces. Furthermore, we define the vanishing Euler characteristic of a normal toric surface Xσ, we give a formula to compute it, and we relate this number with the second polar multiplicity of Xσ. We also present a formula for the Euler obstruction of a function f : Xσ → C and for the Brasselet number of it. As an application of this result we compute the Euler obstruction of a type of polynomial on a family of determinantal surfaces.

Neste trabalho estudamos superfícies com a propriedade que suas componentes irredutíveis são superfícies tóricas. Em particular, apresentamos uma fórmula para calcular a obstrução de Euler local destas superfícies. Como uma aplicação desta fórmula, calculamos a obstrução de Euler local para algumas famílias de superfícies determinantais. Além disso, definimos a característica de Euler evanescente de uma superfície tórica normal Xσ, damos uma fórmula para calcular tal invariante e relacionamos este número com a segunda multiplicidade polar de Xσ. Apresentamos também, uma fórmula para a obstrução de Euler de uma função f : Xσ → C e para o número de Brasselet de tal função. Como uma aplicação deste resultado, calculamos a obstrução de Euler de um tipo de polinômio definido em uma família de superfícies determinantais. / In this work we study surfaces with the property that their irreducible components are toric surfaces. In particular, we present a formula to compute the local Euler obstruction of such surfaces. As an application of this formula we compute the local Euler obstruction for some families of determinantal surfaces. Furthermore, we define the vanishing Euler characteristic of a normal toric surface Xσ, we give a formula to compute it, and we relate this number with the second polar multiplicity of Xσ. We also present a formula for the Euler obstruction of a function f : Xσ → C and for the Brasselet number of it. As an application of this result we compute the Euler obstruction of a type of polynomial on a family of determinantal surfaces.