Estudamos nessa dissertação um modelo para um gás em contato com dois banhos de partículas a potenciais químicos distintos. Isso foi feito através de um modelo de gás na rede (modelo de Ising) em que esta é dividida em duas sub-redes R1 e R2 e a evolução temporal se dá através da competição de duas dinâmicas markovianas: uma (dinâmica A) realiza o fluxo de partículas de uma sub-rede a outra, simulando o contato com um banho térmico à temperatura T , enquanto a outra (dinâmica B) tira ou põe partículas nas sub-redes, simulando o contato com banhos de partículas a potenciais químicos mu1 e mu2 e temperatura T . Estudamos, através de aproximações de campo médio dinâmico e de simulações de Monte Carlo, o diagrama de fases e as propriedades críticas do modelo, obtendo comportamento crítico similar ao do modelo de Ising de equilíbrio, exceto em uma pequena região do diagrama de fases em que detectam-se fases reentrantes. Calculamos também a produção de entropia do modelo. O estudo do comportamento crítico dessa grandeza deu origem a um novo expoente crítico zeta relacionado à divergência da derivada da produção de entropia com relação à temperatura. Obtivemos zeta=0 (divergência logaritimica). Verificamos, por fim, utilizando nesse caso aproximações de campo médio, o limite de validade de dois teoremas da termodinâmica de não equilíbrio: o teorema da mínima produção de entropia e o critério universal de evolução. Com relação ao primeiro teorema, determinamos em que limites podemos considerar a dinâmica do modelo como uma dinâmica que descreve um sistema próximo a uma situação de equilíbrio termodinâmico. Com relação ao critério universal de evolução, encontramos situações para as quais o teorema aparentemente não é satisfeito. Acreditamos que esse fato se deva a um elemento de instabilidade trazido indevidamente pela aproximação (de campo médio) utilizada. A investigação dessa questão foi postergada para um próximo trabalho. / We studied a model of a gas in contact with two baths of particles. We used a model of a gas in a lattice (Ising model) in which the net is divided in two: the sub-net R1 and the sub-net R2. The system evolves in time according to the competition between two dynamics: one (dynamic A) that realizes the flow of particles from one sub-net to the other, simulating the contact with a heat bath at temperature T while the other one (dynamic B ) removes or put particles in the sub-nets, simulating the contact with particle baths at chemical potentials mu1 and mu2 and temperature T. We studied, using mean-field approximations and Monte Carlo simulations, the phase diagram and the critical properties of the model, getting similar critical behavior to the Ising model in equilibrium, except in a small region of the phase diagram in which there are reentrant phases. We also calculated the entropy production of the model. The study of its critical behavior results in the definition of a new critical exponent zeta related to the divergence of the derivative of the entropy production with respect to the temperature. We obtained zeta =0 (logarithmic divergence). We verified, finally, using in this case mean-field approximations, the limit of validity of two theorems from nonequilibrium thermodynamics: the minimum entropy production theorem and the universal evolution criteria. Regarding the first theorem, we determined in what limits we can consider the model\' s dynamics as ``close\'\' to equilibrium. Regarding the universal evolution criteria, we found situations in which the theorem is apparently violated. We believe that this violation must be consequence of an improper instability element brought by the approximation (of mean-field) used. The investigation of this question was delayed to a next work.

Estudamos nessa dissertação um modelo para um gás em contato com dois banhos de partículas a potenciais químicos distintos. Isso foi feito através de um modelo de gás na rede (modelo de Ising) em que esta é dividida em duas sub-redes R1 e R2 e a evolução temporal se dá através da competição de duas dinâmicas markovianas: uma (dinâmica A) realiza o fluxo de partículas de uma sub-rede a outra, simulando o contato com um banho térmico à temperatura T , enquanto a outra (dinâmica B) tira ou põe partículas nas sub-redes, simulando o contato com banhos de partículas a potenciais químicos mu1 e mu2 e temperatura T . Estudamos, através de aproximações de campo médio dinâmico e de simulações de Monte Carlo, o diagrama de fases e as propriedades críticas do modelo, obtendo comportamento crítico similar ao do modelo de Ising de equilíbrio, exceto em uma pequena região do diagrama de fases em que detectam-se fases reentrantes. Calculamos também a produção de entropia do modelo. O estudo do comportamento crítico dessa grandeza deu origem a um novo expoente crítico zeta relacionado à divergência da derivada da produção de entropia com relação à temperatura. Obtivemos zeta=0 (divergência logaritimica). Verificamos, por fim, utilizando nesse caso aproximações de campo médio, o limite de validade de dois teoremas da termodinâmica de não equilíbrio: o teorema da mínima produção de entropia e o critério universal de evolução. Com relação ao primeiro teorema, determinamos em que limites podemos considerar a dinâmica do modelo como uma dinâmica que descreve um sistema próximo a uma situação de equilíbrio termodinâmico. Com relação ao critério universal de evolução, encontramos situações para as quais o teorema aparentemente não é satisfeito. Acreditamos que esse fato se deva a um elemento de instabilidade trazido indevidamente pela aproximação (de campo médio) utilizada. A investigação dessa questão foi postergada para um próximo trabalho. / We studied a model of a gas in contact with two baths of particles. We used a model of a gas in a lattice (Ising model) in which the net is divided in two: the sub-net R1 and the sub-net R2. The system evolves in time according to the competition between two dynamics: one (dynamic A) that realizes the flow of particles from one sub-net to the other, simulating the contact with a heat bath at temperature T while the other one (dynamic B ) removes or put particles in the sub-nets, simulating the contact with particle baths at chemical potentials mu1 and mu2 and temperature T. We studied, using mean-field approximations and Monte Carlo simulations, the phase diagram and the critical properties of the model, getting similar critical behavior to the Ising model in equilibrium, except in a small region of the phase diagram in which there are reentrant phases. We also calculated the entropy production of the model. The study of its critical behavior results in the definition of a new critical exponent zeta related to the divergence of the derivative of the entropy production with respect to the temperature. We obtained zeta =0 (logarithmic divergence). We verified, finally, using in this case mean-field approximations, the limit of validity of two theorems from nonequilibrium thermodynamics: the minimum entropy production theorem and the universal evolution criteria. Regarding the first theorem, we determined in what limits we can consider the model\' s dynamics as ``close\'\' to equilibrium. Regarding the universal evolution criteria, we found situations in which the theorem is apparently violated. We believe that this violation must be consequence of an improper instability element brought by the approximation (of mean-field) used. The investigation of this question was delayed to a next work.

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Neste trabalho estudamos as transições de fases cinéticas e o comportamento crítico da produção de entropia em modelos de spins com interação entre primeiros vizinhos e sujeitos a duas dinâmicas de Glauber, as quais simulam dois banhos térmicos a diferentes temperaturas. Para tanto, é admitido que o sistema corresponde a um processo markoviano contínuo no tempo o qual obedece a uma equação mestra. Dessa forma, o sistema atinge naturalmente estados estacionários, que podem ser de equilíbrio ou de não-equilíbrio. O primeiro corresponde exatamente ao modelo de Ising, que ocorre quando o sistema se encontra em contato com apenas um dos reservatórios. Dessa forma, há uma transição de fase na temperatura de Curie e o balanceamento detalhado é seguramente satisfeito. No segundo caso, os dois banhos térmicos são responsáveis por uma corrente de probabilidade que só existe visto que a reversibilidade microscópica não é mais verificada. Como conseqüência, nesse regime de não-equilíbrio o sistema apresenta uma produção de entropia não nula. Para avaliarmos os diagramas de fase e a produção de entropia utilizamos as aproximações de pares e as simulações de Monte Carlo. Além disso, admitimos que a teoria de escala finita pode ser aplicada no modelo. Esses métodos foram capazes de preverem as transições de fases sofridas pelo sistema. Os expoentes e os pontos críticos foram estimados através dos resultados numéricos. Para a magnetização e a susceptibilidade obtemos = 0,124(1) e = 1,76(1), o que nos permite concluir que o nosso modelo pertence à mesma classe de Ising. Esse resultado refere-se ao princípio da universalidade do ponto crítico, que é verificado devido o nosso modelo apresentar a mesma simetria de inversão que a do modelo de Ising. Além disso, as aproximações de pares também mostraram uma singularidade na derivada da produção de entropia no ponto crítico. E as simulações de Monte Carlo nos permitem sugerir que tal comportamento é uma divergência logarítmica cujo expoente crítico associado vale 1. / We study kinetic phase transitions and the critical behavior of the entropy production in spin models with nearest neighbor interactions subject to two Glauber dynamics, which simulate two thermal baths at different temperatures. In this way, it is assumed that the system corresponds to a continuous time Markov process which obeys the master equation. Thus, the system naturally reaches steady states, which can be equilibrium or nonequilibrium. The former corresponds exactly to the Ising model, which occurs since the system is in contact with only one of the reservoirs. In this case, there is a phase transition at the Curie temperature and the detailed balance surely holds. In the second case, the two thermal baths create a non trivial probability current only when microscopic reversibility is not verified. As a consequence, there is a positive entropy production in a non-equilibrium steady state. Pair approximations and Monte Carlo simulations are employed to evaluate the phase diagrams and the entropy production. Furthermore, we assume that the finite-size scaling theory can be applied to the model. These methods were able to predict the phase transitions undergone by the system. The exponents and the critical points were estimated by the numerical results. Our best estimates of critical exponents to the magnetization and susceptibility are = 0,124 (1) and = 1,76 (1), which allows us to conclude that our model belongs to the same class of Ising. This result refers to the principle of universality of the critical point, which is checked because our model has the same inversion symmetry of the Ising model. Moreover, the pair approximation also showed a singularity in the derivative of the entropy production at the critical point. And Monte Carlo simulations allow us to suggest that the divergence at the critical point is of the logarithmic type whose critical exponent is 1

Neste trabalho estudamos as transições de fases cinéticas e o comportamento crítico da produção de entropia em modelos de spins com interação entre primeiros vizinhos e sujeitos a duas dinâmicas de Glauber, as quais simulam dois banhos térmicos a diferentes temperaturas. Para tanto, é admitido que o sistema corresponde a um processo markoviano contínuo no tempo o qual obedece a uma equação mestra. Dessa forma, o sistema atinge naturalmente estados estacionários, que podem ser de equilíbrio ou de não-equilíbrio. O primeiro corresponde exatamente ao modelo de Ising, que ocorre quando o sistema se encontra em contato com apenas um dos reservatórios. Dessa forma, há uma transição de fase na temperatura de Curie e o balanceamento detalhado é seguramente satisfeito. No segundo caso, os dois banhos térmicos são responsáveis por uma corrente de probabilidade que só existe visto que a reversibilidade microscópica não é mais verificada. Como conseqüência, nesse regime de não-equilíbrio o sistema apresenta uma produção de entropia não nula. Para avaliarmos os diagramas de fase e a produção de entropia utilizamos as aproximações de pares e as simulações de Monte Carlo. Além disso, admitimos que a teoria de escala finita pode ser aplicada no modelo. Esses métodos foram capazes de preverem as transições de fases sofridas pelo sistema. Os expoentes e os pontos críticos foram estimados através dos resultados numéricos. Para a magnetização e a susceptibilidade obtemos = 0,124(1) e = 1,76(1), o que nos permite concluir que o nosso modelo pertence à mesma classe de Ising. Esse resultado refere-se ao princípio da universalidade do ponto crítico, que é verificado devido o nosso modelo apresentar a mesma simetria de inversão que a do modelo de Ising. Além disso, as aproximações de pares também mostraram uma singularidade na derivada da produção de entropia no ponto crítico. E as simulações de Monte Carlo nos permitem sugerir que tal comportamento é uma divergência logarítmica cujo expoente crítico associado vale 1. / We study kinetic phase transitions and the critical behavior of the entropy production in spin models with nearest neighbor interactions subject to two Glauber dynamics, which simulate two thermal baths at different temperatures. In this way, it is assumed that the system corresponds to a continuous time Markov process which obeys the master equation. Thus, the system naturally reaches steady states, which can be equilibrium or nonequilibrium. The former corresponds exactly to the Ising model, which occurs since the system is in contact with only one of the reservoirs. In this case, there is a phase transition at the Curie temperature and the detailed balance surely holds. In the second case, the two thermal baths create a non trivial probability current only when microscopic reversibility is not verified. As a consequence, there is a positive entropy production in a non-equilibrium steady state. Pair approximations and Monte Carlo simulations are employed to evaluate the phase diagrams and the entropy production. Furthermore, we assume that the finite-size scaling theory can be applied to the model. These methods were able to predict the phase transitions undergone by the system. The exponents and the critical points were estimated by the numerical results. Our best estimates of critical exponents to the magnetization and susceptibility are = 0,124 (1) and = 1,76 (1), which allows us to conclude that our model belongs to the same class of Ising. This result refers to the principle of universality of the critical point, which is checked because our model has the same inversion symmetry of the Ising model. Moreover, the pair approximation also showed a singularity in the derivative of the entropy production at the critical point. And Monte Carlo simulations allow us to suggest that the divergence at the critical point is of the logarithmic type whose critical exponent is 1

The presented work deals with two distinct problems in the field of Mathematical Physics. The first part is dedicated to an 'almost' solution of Villani's conjecture, a known conjecture related to a Statistical Mechanics model invented by Kac in 1956, giving a rigorous explanation of some simple cases of the Boltzmann equation. In 2003 Villani conjectured that the time it will take the system of particles in Kac's model to equilibrate is proportional to the number of particles in the system. Our main result in this part is a proof, up to an epsilon, of that conjecture, showing that for all practical purposes we can consider it to be true. The second part of the presentation is based on a joint work with Prof. Michael Loss and is dedicated to a newly developed trace inequality for the fractional Laplacian, connecting between the fractional Laplacian of a function and its restriction to intersection of hyperplanes. The newly found inequality is sharp and the functions that attain equality in it are completely classified.

In this thesis, we aim to create a framework for the derivation of thermodynamically consistent anisotropic viscoelastic models. As an example we propose simple models extending the isotropic Oldroyd-B and Giesekus models to illustrate the models' behavior and the process of finding the correct equations. We show what behavior in sheer we can expect and continue with a 3D simulation inspired by the experiment on a real liquid crystal mixture. Finally, we compare the simulation and the experiment to find similarities and possible further research topics.

The discovery of the entropy production paradox (Hoffmann et al., 1998) raised basic questions about the nature of irreversibility in the regime between diffusion and waves. First studied in the form of spatial movements of moments of H functions, pseudo propagation is the pre-limit propagation-like movements of skewed probability density function (PDFs) in the domain between the wave and diffusion equations that goes over to classical partial differential equation propagation of characteristics in the wave limit. Many of the strange properties that occur in this extraordinary regime were thought to be connected in some manner to this form of proto-movement. This paper eliminates pseudo propagation by employing a similar evolution equation that imposes spatial unimodal symmetry on evolving PDFs. Contrary to initial expectations, familiar peculiarities emerge despite the imposed symmetry, but they have a distinct character.

Quando um sistema quântico é acoplado à diversos banhos térmicos de diferentes temperaturas, eventualmente um estado estacionário fora do equilíbrio (NESS), caracterizado por correntes internas de calor é atingido. Por um lado, essas correntes são responsáveis por causar decoerência e produzir entropia no sistema. Entretanto, sua existência também induz correlações entre diferentes partes do sistema. Neste trabalho, nós exploramos este duplo aspecto dos NESSs. Usando técnicas do espaço de fase nós calculamos a produção de entropia de Wigner em redes lineares harmônicas. Trabalhando no célebre limite de fraco acoplamento interno e dissipativo, nós obtivemos expressões simples e frechadas para a contribuição de cada corrente de quasi-probabilidade na entropia. Nossa análise também mostra que, a dinâmica interna (reversével) é exclusivamente responsável em manter a produção de entropia (irreversível) estacionária. Considerando um ponto de vista informacional, nós trabalhamos no problema de como quantificar a informação compartilhada entre partes desconexas de uma cadeia quântica em um estado estacionário fora do equilíbrio. Nós mostramos então que esta é mais precisamente caracterizada utilizando a informação mútua condicional (CMI), um quantificador mais geral de correlações tripartites do que a usual informação mútua. Como aplicação, nós utilizamos o paradigmático problema da transferência de energia em uma cadeia de osciladores sujeita a banhos internos auto-consistentes, que podem ser usados para mudar de um transporte balístico para difusivo. Nós encontramos que a produção de entropia escala com diferentes leis de potência nos regimes balístico e difusivo, permitindo então quantificar o \'\'custo entrópico da difusividade\'\'. Nós também computamos a CMI para cadeias de diversos tamanhos e assim encontramos leis de escala relacionando a informação compartilhada com a difusividade. Finalmente nós discutimos como esta nova perspectiva na caracterização de sistemas fora do equilíbrio pode ser aplicada para entender o problema de equilibração local em estados fora do equilíbrio. / When a quantum system is coupled to several heat baths at different temperatures, it eventually reaches a non-equilibrium steady state (NESS) featuring stationary internal heat currents. From one side, these currents are responsible to cause decorehence and produce entropy in the system. However, their existence also induce correlations between different parts of the system. In this work, we explore this two-folded aspect of NESSs. Using phase-space techniques we calculate the Wigner entropy production on general linear networks of harmonic nodes. Working in the ubiquitous limit of weak internal coupling and weak dissipation, we obtain simple closed-form expressions for the entropic contribution of each individual quasi-probability current. Our analysis also shows that, it is exclusively the (reversible) internal dynamics which maintain the stationary (irreversible) entropy production. From the informational point of view, we address how to quantify the amount of information that disconnected parts of a quantum chain share in a non-equilibrium steady-state. As we show, this is more precisely captured by the conditional mutual information (CMI), a more general quantifier of tripartite correlations than the usual mutual information. As an application, we apply our framework to the paradigmatic problem of energy transfer through a chain of oscillators subject to self-consistent internal baths that can be used to tune the transport from ballistic to diffusive. We find that the entropy production scales with different power law behaviors in the ballistic and diffusive regimes, hence allowing us to quantify what is the \'\'entropic cost of diffusivity\'\'. We also compute the CMI for arbitrary sizes and thus find the scaling rules connecting information sharing and diffusivity. Finally, we discuss how this new perspective in the characterization of non-equilibrium systems may be applied to understand the issue of local equilibration in non-equilibrium states.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-04-11T14:36:03Z No. of bitstreams: 1 edwinmarcosmaravipercca.pdf: 1012447 bytes, checksum: f4600cdbca54aedbb08335b949e92788 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-04-17T20:09:05Z (GMT) No. of bitstreams: 1 edwinmarcosmaravipercca.pdf: 1012447 bytes, checksum: f4600cdbca54aedbb08335b949e92788 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-17T20:09:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 edwinmarcosmaravipercca.pdf: 1012447 bytes, checksum: f4600cdbca54aedbb08335b949e92788 (MD5) Previous issue date: 2017-02-20 / As leis de balanço expressam de uma maneira mais geral as leis de conservação e, portanto, é natural que coincidam em algumas definições ou resultados que vamos mostrar aqui. Um sistema de leis de conservação estritamente hiperbólico numa dimensão espacial sob certas condições é um sistema simetrizável, portanto, possui uma entropia convexa. Isto induz a definiroparentropia-fluxodeentropiaeaproduçãodeentropia,ingredientesmínimospara usar o critério de admissibilidade da taxa de entropia e conferir se a solução do problema de Riemann respectivo é ótimo. A taxa de entropia definida aqui em termos da entropia é um funcional que pode ser minimizada nos leques de ondas com estados constantes do problema de Riemann, usando as equações de Euler-Lagrange. Primeiramente, mostramos que as soluções do problema de Riemann são funções de variação limitada, resultando num método variacional para resolver o problema. Neste trabalho será mostrado que a solução obtida pelo método variacional, coincide com a solução obtida pelo método das curvas caraterísticas. / The balance laws express in a more general way the conservation laws and therefore it is naturalthattheycoincideinsomedefinitionsorresultsthatwewillshowhere. Thestrictly hyperbolic systems of conservation laws in a spatial dimension under certain conditions is a symmetrizable system, therefore it has a convex entropy. This induces to define the entropy-entropy flux pair and the entropy production, minimum ingredients to use the Entropy rate admissibility criterion and check whether the solution of the respective Riemann problem is optimal. The entropy rate defined here in terms of entropy is a functional that can be minimized in the wave fans with constant states of the Riemann problem using the Euler-Lagrange equations, we show that the solutions of the Riemann problem are functions of bounded variation, resulting in a variational method to solve the respective problem. In this work it will be shown that the solution obtained by the variational method, coincides with the solution obtained by the method of characteristics.