Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Uma análise utilizando a série de Taylor é apresentada para se estimar a priori os erros envolvidos na solução numérica da equação de advecção unidimensional com termo fonte, através do Método dos Volumes Finitos em uma malha do tipo uniforme e uma malha não uniforme. Também faz-se um estudo a posteriori para verificar a magnitude do erro de discretização e corroborar os resultados obtidos através da análise a priori. Por meio da técnica de solução manufaturada tem-se uma solução analítica para o problema, a qual facilita a análise dos resultados numéricos encontrados, e estuda-se ainda a influência das funções de interpolação UDS e CDS e do parâmetro u na solução numérica. / An analysis based on Taylor series is presented for estimating a priori the errors involved in the numerical solution of advection equation one-dimensional with source term, using the Finite Volume Method in a mesh uniform and a nonuniform mesh. Also is accomplished a study to determine the magnitude of discretization error and corroborate the results obtained on analyzing a priori. By using the technique of solution manufactured is produced an analytical solution for the problem, which facilitates analysis of the numeric results, and was also studied the influence functions of interpolation UDS and CDS and of parameter u in the numerical solution.

Tendo em vista o aumento considerável da poltúção do ar provocado em grande parte pela industrialização e o aumento da emissão de poluentes resultantes da queima de combustíveis fósseis por veículos automotores, o presente trabalho tem como objetivo melhorar a previsão e o entendimento da dispersão turbulenta atmosférica. Para tanto, apresenta-se, pela primeira vez, uma representação analít ica para a equação de advecção-difusão-reação tridimensional transiente, com perfil de vento e coeficientes de difusão tmbulenta dependentes da altura, que modelam a dispersão de poluentes na atmosfera. A solução da equação é obtida pela combinação do método GILTT ( Generalized Integral Laplace Transform Technique) com o método da Decomposição de Adomian modificado. Consideram-se dois casos para a aplicação do modelo: no primeiro modela-se a dispersão de um poluente secundário formado por uma reação fotoquímica e no segundo caso, utiliza-se o modelo para determinar o campo de concentração de um poluente que sofre perdas e ganhos devido a influência da radiação solar. Para poder realizar essas análises propôs-se uma parametrização para o termo de reação fotoquímica. São apresentados os resultados numéricos e estatísticos, comparandose com os dados da campanha experimental da Usina Termelétrica de Candiota e com os dados de medições realizadas pela Fundação Estadual de Proteção Ambiental Henrique Luiz Roessler (FEPAM). / In view of the considerable increase of air pollution caused largely by industrialization and the increase of emission pollutants resulting from burning of fossil fuels by motor vehicles, the present work aims to improve the prediction and understanding of atmospheric turbu- lent dispersion. Therefore, is presented, for the rst time, an analytical representation to the transient three-dimensional advection-diffusion-reaction equation, with wind pro le and turbulent diffusion coefficients dependent of height, modeling the dispersion of pollutants in the atmosphere. The solution of the equation is obtained by combining of the GILTT method (Generalized Integral Laplace Transform Technique) with the modi ed Adomian Decomposition method. It is considered two cases for the application of the model: in the rst is modeled the dispersion of a secondary pollutant formed by a photochemical reaction, and in the second case the model is used to determine the concentration eld of a pollutant that suffers losses and gains due to the in uence of solar radiation. To realise these analisis a parameterization for the photochemical reaction term is proposed. Numerical and statistical results are presented, comparing with the experimental campaign data of the thermoelectric plant of Candiota and with data from measurements performed by the \Funda c~ao Estadual de Prote c~ao Ambiental Henrique Luiz Roessler" (FEPAM).

Este trabalho apresenta um estudo sobre a solução numérica da equação geral de advecção-difusão usando uma metodologia numérica conservativa. Para a discretização espacial, é usado o Método de Volumes Finitos devido à natureza conservativa da equação em questão. O método é configurado de modo a ter suas variáveis centradas em centro de célula e, para as variáveis, como a velocidade, centradas nas faces um método de interpolação de segunda ordem é utilizado para um ajuste numérico ao centro. Embora a implementação computacional tenha sido feita de forma paramétrica de maneira a acomodar outros esquemas numéricos, a discretização temporal dá ênfase ao Método de Crank-Nicolson. Tal método numérico, sendo ele implícito, dá origem a um sistema linear de equações que, aqui, é resolvido empregando-se o Método Multigrid-Multinível. A corretude do código implementado é verificada a partir de testes por soluções manufaturadas, de modo a checar se a ordem de convergência prevista em teoria é alcançada pelos métodos numéricos. Um jato laminar é simulado, com o acoplamento entre a equação de Navier-Stokes e a equação geral de advecção-difusão, em um domínio computacional tridimensional. O jato é uma forma de vericar se o algoritmo de geração de malhas adaptativas funciona corretamente. O módulo produzido neste trabalho é baseado no código computacional AMR3D-P desenvolvido pelos grupos de pesquisa do IME-USP e o MFLab/FEMEC-UFU (Laboratório de Dinâmica de Fluidos da Universidade Federal de Uberlândia). A linguagem FORTRAN é utilizada para o desenvolvimento da metodologia numérica e as simulações foram executadas nos computadores do LabMAP(Laboratório da Matemática Aplicada do IME-USP) e do MFLab/FEMEC-UFU. / This work presents a study about the numerical solution of variable coecients advectiondi usion equation, or simply, general advection-diusion equation using a conservative numerical methodology. The Finite Volume Method is choosen as discretisation of the spatial domain because the conservative nature of the focused equation. This method is set up to have the scalar variable in a cell centered scheme and the vector quantities, such velocity, are face centered and they need a second order interpolation to get adjusted to the cell center. The computational code is parametric, in which, any implicit temporal discretisation can be choosen, but the emphasis relies on Crank-Nicolson method, a well-known second order method. The implicit nature of aforementioned method gives a linear system of equations which is solved here by the Multilevel-Multigrid method. The correctness of the computational code is checked by manufactured solution method used to inspect if the theoretical order of convergence is attained by the numerical methods. A laminar jet is simulated, coupling the Navier-Stokes equation and the general advection-diusion equation in a 3D computational domain. The jet is a good way to check the corectness of adaptative mesh renement algorithm. The module designed here is based in a previous implemented code AMR3D-P designed by IME-USP and MFLab/FEMEC-UFU (Fluid Dynamics Laboratory, Federal University of Uberlândia). The programming language used is FORTRAN and the simulations were run in LabMAP(Applied Mathematics Laboratoy at IME-USP) and MFLab/FEMEC-UFU computers.

Na presente tese é apresentada uma nova solução analítica para a equação de ad-vecção-difusão bidimensional transiente para simular a dispersão de poluentes na atmosfera. Para tanto, a equação de advecção-difusão é resolvida pela combinação da transformada de Laplace e da técnica GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique). O fechamento da turbulência para os casos Fickiano e não-Fickiano é considerado. É investigado o problema de modelagem da dispersão de poluentes em condições de ventos fortes e fracos considerando, para o caso de ventos fracos, a difusão longitudinal na equação de advecção-difusão. Além disso, foi incluída no modelo a velocidade vertical e avaliada sua influência considerando-se o campo de velocidades constante e também geradas via LES (Large Eddy Simulation), para poder simular uma camada limite turbulenta mais realística. Os resultados obtidos por essa metodologia são validados com resultados experimentais disponíveis na literatura. / In the present thesis it is presented a new analytical solution for the transient two- dimensional advection-diffusion equation to simulate the pollutant dispersion in atmosphere. For that, the advection-diffusion equation is solved combining the Laplace transform and the GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique) techniques. The turbulence closure for Fickian and non-Fickian cases is considered. It is investigated the problem of modeling the pollutant dispersion in strong and weak winds considering, for the case of low wind conditions, the longitudinal diffusion in the advection-diffusion equation. Moreover, it was considered in the model the vertical velocity and its influence was evaluated considering velocities field constant and also generated by means of LES (Large Eddy Simulation), to simulate a more realistic turbulent boundary layer. The results attained by this methodology are validated with experimental results available in literature.

Na presente tese é apresentada uma nova solução analítica para a equação de ad-vecção-difusão bidimensional transiente para simular a dispersão de poluentes na atmosfera. Para tanto, a equação de advecção-difusão é resolvida pela combinação da transformada de Laplace e da técnica GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique). O fechamento da turbulência para os casos Fickiano e não-Fickiano é considerado. É investigado o problema de modelagem da dispersão de poluentes em condições de ventos fortes e fracos considerando, para o caso de ventos fracos, a difusão longitudinal na equação de advecção-difusão. Além disso, foi incluída no modelo a velocidade vertical e avaliada sua influência considerando-se o campo de velocidades constante e também geradas via LES (Large Eddy Simulation), para poder simular uma camada limite turbulenta mais realística. Os resultados obtidos por essa metodologia são validados com resultados experimentais disponíveis na literatura. / In the present thesis it is presented a new analytical solution for the transient two- dimensional advection-diffusion equation to simulate the pollutant dispersion in atmosphere. For that, the advection-diffusion equation is solved combining the Laplace transform and the GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique) techniques. The turbulence closure for Fickian and non-Fickian cases is considered. It is investigated the problem of modeling the pollutant dispersion in strong and weak winds considering, for the case of low wind conditions, the longitudinal diffusion in the advection-diffusion equation. Moreover, it was considered in the model the vertical velocity and its influence was evaluated considering velocities field constant and also generated by means of LES (Large Eddy Simulation), to simulate a more realistic turbulent boundary layer. The results attained by this methodology are validated with experimental results available in literature.

Na presente tese é apresentada uma nova solução analítica para a equação de ad-vecção-difusão bidimensional transiente para simular a dispersão de poluentes na atmosfera. Para tanto, a equação de advecção-difusão é resolvida pela combinação da transformada de Laplace e da técnica GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique). O fechamento da turbulência para os casos Fickiano e não-Fickiano é considerado. É investigado o problema de modelagem da dispersão de poluentes em condições de ventos fortes e fracos considerando, para o caso de ventos fracos, a difusão longitudinal na equação de advecção-difusão. Além disso, foi incluída no modelo a velocidade vertical e avaliada sua influência considerando-se o campo de velocidades constante e também geradas via LES (Large Eddy Simulation), para poder simular uma camada limite turbulenta mais realística. Os resultados obtidos por essa metodologia são validados com resultados experimentais disponíveis na literatura. / In the present thesis it is presented a new analytical solution for the transient two- dimensional advection-diffusion equation to simulate the pollutant dispersion in atmosphere. For that, the advection-diffusion equation is solved combining the Laplace transform and the GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique) techniques. The turbulence closure for Fickian and non-Fickian cases is considered. It is investigated the problem of modeling the pollutant dispersion in strong and weak winds considering, for the case of low wind conditions, the longitudinal diffusion in the advection-diffusion equation. Moreover, it was considered in the model the vertical velocity and its influence was evaluated considering velocities field constant and also generated by means of LES (Large Eddy Simulation), to simulate a more realistic turbulent boundary layer. The results attained by this methodology are validated with experimental results available in literature.

O objetivo desse trabalho consiste no estudo de métodos de identificação de parâmetros em problemas envolvendo a equação de advecção-difusão 2D. Essa equação é resolvida utilizando o método dos volumes finitos, sendo empregada métodos de reconstrução de alta ordem em malhas não-estruturadas de triângulos para calcular os fluxos nas faces dos volumes de controle. Como ferramenta de busca dos parâmetros é empregada a técnica baseadas em gradientes, sendo os mesmos calculados utilizando processos baseados em métodos adjuntos. / The aim of this work concern to study parameter identification methods on problems involving the advection-diffusion equation in two dimensions. This equation is solved employing the finite volume methods, and high-order reconstruction methods, on triangle unstructured meshes to solve the fluxes across the faces of control volumes. As parameter searching tool is employed technicals based on gradients. The gradients are solved using processes based on adjoint methods.

Devido aos riscos de contaminação dos recursos naturais solo e água, ao alto custo, ao tempo e ao esforço humano nas investigações de campo, os modelos matemáticos, aliados às técnicas numéricas e aos avanços computacionais, constituem uma ferramenta importante na previsão do deslocamento de solutos, contribuindo assim, para o controle de alterações ambientais. No Brasil, a modelação de fluxo e transporte de solutos na zona não-saturada é voltada, quase que exclusivamente, aos problemas relacionados às atividades agrícolas. Entretanto, tão importante quanto a problemática dos produtos químicos nas atividades agrícolas é a questão de poluição e contaminação do solo e da água por chorume, gerado pelos resíduos sólidos domiciliares. Neste trabalho, é desenvolvido e validado um modelo computacional unidimensional para simulação de fluxo e transporte de solutos na zona não-saturada do solo. O modelo matemático é dado pela equação diferencial parcial não-linear de Richards, que rege o movimento de água no solo, e a equação diferencial parcial linear de advecção-dispersão, do transporte de solutos, acompanhadas das condições iniciais e de contorno. A equação de Richards é dada em função do potencial matricial da água e a equação de transporte de solutos estima a evolução temporal da concentração de solutos no perfil do solo. Devido à dificuldade de se obter soluções analíticas destas equações, são resolvidas numericamente pelo método de elementos finitos. As referidas equações são resolvidas utilizando-se malhas uniformes inicialmente. Com a finalidade de obter simulações mais eficientes, a um custo computacional reduzido, é empregada a adaptatividade com refinamento h na malha de elementos finitos. A função interpolação polinomial utilizada é de grau 2 ou maior que garante a conservação de massa. Na equação de Richards, a derivada temporal é aproximada por um quociente de diferença finita e é aplicado o esquema de Euler explícito e na equação de advecção-dispersão, é aproximada por um quociente de diferença finita, aplicando-se o esquema de Euler implícito, devido à linearidade da equação. O sistema operacional é o Linux Ubuntu 32 bits, o ambiente de programação é o PZ, escrito em linguagem de programação C++. Na validação do modelo, utilizam-se dados disponíveis na literatura. Os resultados são comparados, utilizando-se malhas uniformes e malhas adaptativas com refinamento h. Usando-se as malhas uniformes para o problema de Richards e de transporte de potássio, o tempo de execução é de 22 minutos e a memória utilizada de 6164 Kb. Com as malhas adaptadas, o tempo de execução é de 3 minutos e 27 segundos, consumindo 5876 Kb de memória. Houve, portanto, uma redução de 84,32% no tempo de execução, usando-se malhas adaptativas. A utilização da função interpolação polinomial de grau 2 ou maior e o refinamento h, permitem uma boa concordância do modelo na comparação com soluções disponíveis na literatura. / Due to the risks of contamination of soil and water resources, the high cost, time and human effort in the field investigations, the mathematical models, combined with numerical techniques and computational advances, are important tools in forecasting the movement of solutes thereby contributing to the control of environmental alteration. In Brazil, modeling of flow and solute transport in the unsaturated zone is focused, almost exclusively, on problems related to agricultural activities. However, as important as the problematical of chemicals products in agricultural activities is the issue of pollution and contamination of soil and water by leachate, generated by municipal solid wastes. In this work, an one-dimensional computational model for simulation of flow and solute transport in the unsaturated soil has been developed and validated. The mathematical model is given by the Richards\'s non-linear partial differential equation, which determines the movement of water in the soil, and the advection-dispersion linear partial differential equation, of the solute transport, together with initial and boundary conditions. The Richards equation is a function of the water pressure head and the solute transport equation estimate the temporal evolution of the solutes concentration in the soil profile. Due to the difficulty of obtaining analytical solutions of these equations, they are solved numerically using the finite element method. The governing equations are solved using initially a uniform mesh. In order to obtain more efficient simulations with low computational cost, adaptativity with h refinement on the finite element mesh is implemented. The interpolation function is of degree two or higher, assuring mass conservation. In Richards\' equation, the temporal derivative is approximated by Euler explicit finite difference. For the advection-dispersion equation, due to the linearity of the equation, an implicit finite difference scheme is used. The code is written in the programming language C++ based on the programming environment PZ using operating system Linux Ubuntu 32 bit. Model results are validated in comparison with data available in the literature. The results are evaluated using uniform meshes and with h refinement adaptive mesh. Using the uniform meshes for the problem of Richards and transport of potassium, the running time is 22 minutes and 6164 Kb of memory is used. With the adapted meshes, the execution time is 3 minutes and 27 seconds, consuming 5,876 Kb of memory. Therefore there was a reduction of 84.32% in execution time, using adaptive meshes. The interpolation function with degree two or higher and the h refinement, with reduction of the computation time, showed a good agreement in comparison with the literature.

O objetivo desse trabalho consiste no estudo de métodos de identificação de parâmetros em problemas envolvendo a equação de advecção-difusão 2D. Essa equação é resolvida utilizando o método dos volumes finitos, sendo empregada métodos de reconstrução de alta ordem em malhas não-estruturadas de triângulos para calcular os fluxos nas faces dos volumes de controle. Como ferramenta de busca dos parâmetros é empregada a técnica baseadas em gradientes, sendo os mesmos calculados utilizando processos baseados em métodos adjuntos. / The aim of this work concern to study parameter identification methods on problems involving the advection-diffusion equation in two dimensions. This equation is solved employing the finite volume methods, and high-order reconstruction methods, on triangle unstructured meshes to solve the fluxes across the faces of control volumes. As parameter searching tool is employed technicals based on gradients. The gradients are solved using processes based on adjoint methods.

Devido aos riscos de contaminação dos recursos naturais solo e água, ao alto custo, ao tempo e ao esforço humano nas investigações de campo, os modelos matemáticos, aliados às técnicas numéricas e aos avanços computacionais, constituem uma ferramenta importante na previsão do deslocamento de solutos, contribuindo assim, para o controle de alterações ambientais. No Brasil, a modelação de fluxo e transporte de solutos na zona não-saturada é voltada, quase que exclusivamente, aos problemas relacionados às atividades agrícolas. Entretanto, tão importante quanto a problemática dos produtos químicos nas atividades agrícolas é a questão de poluição e contaminação do solo e da água por chorume, gerado pelos resíduos sólidos domiciliares. Neste trabalho, é desenvolvido e validado um modelo computacional unidimensional para simulação de fluxo e transporte de solutos na zona não-saturada do solo. O modelo matemático é dado pela equação diferencial parcial não-linear de Richards, que rege o movimento de água no solo, e a equação diferencial parcial linear de advecção-dispersão, do transporte de solutos, acompanhadas das condições iniciais e de contorno. A equação de Richards é dada em função do potencial matricial da água e a equação de transporte de solutos estima a evolução temporal da concentração de solutos no perfil do solo. Devido à dificuldade de se obter soluções analíticas destas equações, são resolvidas numericamente pelo método de elementos finitos. As referidas equações são resolvidas utilizando-se malhas uniformes inicialmente. Com a finalidade de obter simulações mais eficientes, a um custo computacional reduzido, é empregada a adaptatividade com refinamento h na malha de elementos finitos. A função interpolação polinomial utilizada é de grau 2 ou maior que garante a conservação de massa. Na equação de Richards, a derivada temporal é aproximada por um quociente de diferença finita e é aplicado o esquema de Euler explícito e na equação de advecção-dispersão, é aproximada por um quociente de diferença finita, aplicando-se o esquema de Euler implícito, devido à linearidade da equação. O sistema operacional é o Linux Ubuntu 32 bits, o ambiente de programação é o PZ, escrito em linguagem de programação C++. Na validação do modelo, utilizam-se dados disponíveis na literatura. Os resultados são comparados, utilizando-se malhas uniformes e malhas adaptativas com refinamento h. Usando-se as malhas uniformes para o problema de Richards e de transporte de potássio, o tempo de execução é de 22 minutos e a memória utilizada de 6164 Kb. Com as malhas adaptadas, o tempo de execução é de 3 minutos e 27 segundos, consumindo 5876 Kb de memória. Houve, portanto, uma redução de 84,32% no tempo de execução, usando-se malhas adaptativas. A utilização da função interpolação polinomial de grau 2 ou maior e o refinamento h, permitem uma boa concordância do modelo na comparação com soluções disponíveis na literatura. / Due to the risks of contamination of soil and water resources, the high cost, time and human effort in the field investigations, the mathematical models, combined with numerical techniques and computational advances, are important tools in forecasting the movement of solutes thereby contributing to the control of environmental alteration. In Brazil, modeling of flow and solute transport in the unsaturated zone is focused, almost exclusively, on problems related to agricultural activities. However, as important as the problematical of chemicals products in agricultural activities is the issue of pollution and contamination of soil and water by leachate, generated by municipal solid wastes. In this work, an one-dimensional computational model for simulation of flow and solute transport in the unsaturated soil has been developed and validated. The mathematical model is given by the Richards\'s non-linear partial differential equation, which determines the movement of water in the soil, and the advection-dispersion linear partial differential equation, of the solute transport, together with initial and boundary conditions. The Richards equation is a function of the water pressure head and the solute transport equation estimate the temporal evolution of the solutes concentration in the soil profile. Due to the difficulty of obtaining analytical solutions of these equations, they are solved numerically using the finite element method. The governing equations are solved using initially a uniform mesh. In order to obtain more efficient simulations with low computational cost, adaptativity with h refinement on the finite element mesh is implemented. The interpolation function is of degree two or higher, assuring mass conservation. In Richards\' equation, the temporal derivative is approximated by Euler explicit finite difference. For the advection-dispersion equation, due to the linearity of the equation, an implicit finite difference scheme is used. The code is written in the programming language C++ based on the programming environment PZ using operating system Linux Ubuntu 32 bit. Model results are validated in comparison with data available in the literature. The results are evaluated using uniform meshes and with h refinement adaptive mesh. Using the uniform meshes for the problem of Richards and transport of potassium, the running time is 22 minutes and 6164 Kb of memory is used. With the adapted meshes, the execution time is 3 minutes and 27 seconds, consuming 5,876 Kb of memory. Therefore there was a reduction of 84.32% in execution time, using adaptive meshes. The interpolation function with degree two or higher and the h refinement, with reduction of the computation time, showed a good agreement in comparison with the literature.