Diss. (sammanfattning) Uppsala : Univ., 2003. / Härtill 6 uppsatser.

Thesis (Ph. D.)--University of Texas at Austin, 2007. / Vita. Includes bibliographical references.

Le travail présenté dans ce mémoire de thèse est consacré à l'analyse du système des équations de Navier-Stokes stationnaires pour les fluides barotropiques compressibles en géométrie bornée tridimensionnelle. La principale originalité tient au choix de conditions aux limites non classiques. Dans le cas inviscide, il s'agit alors des équations d'Euler, les conditions aux limites naturelles sont celles d'imperméabilité pour le champ des vitesses. Dans le cas visqueux, il faut introduire des conditions supplémentaires : en 2004 pour le modèle incompressible les professeurs J. Neustupa et P. Penel ont proposé de compléter les équations de Navier-Stokes par des conditions dites d'imperméabilité généralisée concernant également le champ de vorticité. Ils ont ainsi établi une théorie alternative à la théorie classique. Nous étendons cette théorie au modèle visqueux barotropique compressible. Nous présentons deux modèles approchés fondés sur un possible découplage en un problème de Stokes adéquat au choix des conditions aux limites et deux problèmes de Poisson avec conditions de Neumann. Cette approche met notamment en avant l'intérêt de la décomposition de Helmholtz, l'importance du théorème de Leray-Schauder pour démontrer l'existence de solutions, et le rôle essentiel d'une pression, dite pression effective. Quant aux passages à la limite, ils sont techniques et diffciles, mais désormais classiques. Nous nous sommes inspirés des travaux des écoles française (P.L. Lions) et tchèque (A. Novotny et I. Straskraba). Le second modèle approché fournit une solution à densité bornée. P.B. Mucha et M. Pokorny ont développé tout récemment la même analyse avec des conditions aux limites de Navier.

Ce travail a été consacré à la simulation numérique des équations de la mécanique des fluides par des méthodes de volumes finis implicites. Tout d'abord, nous avons étudié et mis en place une version implicite du schéma de Roe pour les écoulements monophasiques et diphasiques compressibles. Grâce à la méthode de Newton utilisée pour résoudre les systèmes nonlinéaires, nos schémas sont conservatifs. Malheureusement, la résolution de ces systèmes est très coûteuse. Il est donc impératif d'utiliser des algorithmes de résolution performants. Pour des matrices de grande taille, on utilise souvent des méthodes itératives dont la convergence dépend de leur spectre. Nous avons donc étudié le spectre du système linéaire et proposé une stratégie de Scaling pour améliorer le conditionnement de la matrice. Combinée avec le préconditionneur classique ILU, notre stratégie de Scaling a réduit de façon significative le nombre d'itérations GMRES du système local et le temps de calcul. Nous avons également montré l'intérêt du schéma centré pour la simulation de certains écoulements à faible nombre de Mach. Nous avons ensuite étudié et implémenté la méthode de décomposition de domaine pour les écoulements compressibles. Nous avons proposé une nouvelle variable interface qui rend la méthode du complément de Schur plus facile à construire et nous permet de traiter les termes de diffusion. L'utilisation du solveur itératif GMRES plutôt que Richardson pour le système interface apporte aussi une amélioration des performances par rapport aux autres méthodes. Nous pouvons également découper notre domaine de calcul en un nombre quelconque de sous-domaines. En utilisant la stratégie de Scaling pour le système interface, nous avons amélioré le conditionnement de la matrice et réduit le nombre d'itérations GMRES de ce système. En comparaison avec le calcul distribué classique, nous avons montré que notre méthode est robuste et efficace.

Ce travail a été consacré à la simulation numérique des équations de la mécanique des fluides par des méthodes de volumes finis implicites. Tout d’abord, nous avons étudié et mis en place une version implicite du schéma de Roe pour les écoulements monophasiques et diphasiques compressibles. Grâce à la méthode de Newton utilisée pour résoudre les systèmes nonlinéaires, nos schémas sont conservatifs. Malheureusement, la résolution de ces systèmes est très coûteuse. Il est donc impératif d’utiliser des algorithmes de résolution performants. Pour des matrices de grande taille, on utilise souvent des méthodes itératives dont la convergence dépend de leur spectre. Nous avons donc étudié le spectre du système linéaire et proposé une stratégie de Scaling pour améliorer le conditionnement de la matrice. Combinée avec le préconditionneur classique ILU, notre stratégie de Scaling a réduit de façon significative le nombre d’itérations GMRES du système local et le temps de calcul. Nous avons également montré l’intérêt du schéma centré pour la simulation de certains écoulements à faible nombre de Mach. Nous avons ensuite étudié et implémenté la méthode de décomposition de domaine pour les écoulements compressibles. Nous avons proposé une nouvelle variable interface qui rend la méthode du complément de Schur plus facile à construire et nous permet de traiter les termes de diffusion. L’utilisation du solveur itératif GMRES plutôt que Richardson pour le système interface apporte aussi une amélioration des performances par rapport aux autres méthodes. Nous pouvons également découper notre domaine de calcul en un nombre quelconque de sous-domaines. En utilisant la stratégie de Scaling pour le système interface, nous avons amélioré le conditionnement de la matrice et réduit le nombre d’itérations GMRES de ce système. En comparaison avec le calcul distribué classique, nous avons montré que notre méthode est robuste et efficace. / This thesis deals with numerical simulations of compressible fluid flows by implicit finite volume methods. Firstly, we studied and implemented an implicit version of the Roe scheme for compressible single-phase and two-phase flows. Thanks to Newton method for solving nonlinear systems, our schemes are conservative. Unfortunately, the resolution of nonlinear systems is very expensive. It is therefore essential to use an efficient algorithm to solve these systems. For large size matrices, we often use iterative methods whose convergence depends on the spectrum. We have studied the spectrum of the linear system and proposed a strategy, called Scaling, to improve the condition number of the matrix. Combined with the classical ILU preconditioner, our strategy has reduced significantly the GMRES iterations for local systems and the computation time. We also show some satisfactory results for low Mach-number flows using the implicit centered scheme. We then studied and implemented a domain decomposition method for compressible fluid flows. We have proposed a new interface variable which makes the Schur complement method easy to build and allows us to treat diffusion terms. Using GMRES iterative solver rather than Richardson for the interface system also provides a better performance compared to other methods. We can also decompose the computational domain into any number of subdomains. Moreover, the Scaling strategy for the interface system has improved the condition number of the matrix and reduced the number of GMRES iterations. In comparison with the classical distributed computing, we have shown that our method is more robust and efficient.

Pas de résumé / In order to give a general statistical description of turbulence, one tries to identify universal statistical features, common to a wider class of turbulent flows. In 1988, Kraichnan and Panda discovered one such possibly universal feature, namely, the fact that Navier-Stokes turbulence tends to reduce the strength of the nonlinearity in its governing equations. In the flrst part of the manuscript we consider the strength of the nonlinear term and, more precisely, of its fluctuations in isotropic turbulence. In order to measure this strength, we compare to the case of a flow fleld with the same energy distribution where the modes are statistically independent, as is the case in Gaussian noise. It is shown that the turbulent flow self-organizes towards a state in which the nonlinearity is reduced, and it is discussed what the implications of this reduction are. Also, in two dimensions it is illustrated how this self-organization manifests itself through the appearance of well-deflned vortical flow structures. In the second part of the manuscript, we investigate the dynamics of the Hasegawa- Wakatani model, a model relevant in the study of magnetically conflned fusion plasmas. The two-dimensional version of this model is considered, which includes some key features of the turbulent dynamics of a tokamak-edge. We consider the limit of the model in which the nonlinearity is reduced with respect to the linear forces. For this weakly nonlinear, wave dominated regime, analytical predictions suggest the presence of a feedback loop in which energy is transferred to highly anisotropic zonal flows by nonlocal interactions. We confirm these predictions and we demonstrate a strong suppression of the turbulent radial particle flux. In wall bounded geometry, the same mechanism is observed and here also the flux is eflciently reduced by the turbulence-zonal flow interaction.

Dans cette thèse, nous étudions des modèles mathématiques concernant certains problèmes d'écoulement de fluide à densité variable. Le premier chapitre résume l'ensemble de la thèse et se concentre sur les résultats obtenus, la nouveauté et la comparaison avec la littérature existante. Dans le deuxième chapitre, nous étudions la stabilisation locale des équations non homogènes de Navier-Stokes dans un canal 2d autour du flot de Poiseuille. Nous concevons un contrôle feedback de la vitesse qui agit sur l'entrée du domaine de sorte que la vitesse et la densité du fluide soient stabilisées autour du flot de Poiseuille, à condition que la densité initiale soit donnée par une constante additionnée d'une perturbation dont le support se situe loin du bord latéral du canal. Dans le troisième chapitre, nous étudions un système couplant les équations de Navier-Stokes compressibles à une structure élastique située à la frontière du domaine fluide. Nous prouvons l'existence locale de solutions solides pour ce système couplé. Dans le quatrième chapitre, notre objectif est d'étudier la nulle- contrôlabilité d'un problemè d'interaction fluide-structure linéarisé dans un canal bi dimensional. L'écoulement du fluide est ici modélisé par les équations de Navier-Stokes compressibles. En ce qui concerne la structure, nous considérons une poutre de type Euler-Bernoulli amortie située sur une partie du bord. Dans ce chapitre, nous établissons une inégalité d'observabilité pour le problème considéré d'interaction fluid-structure linéarisé qui constitue le premier pas vers la preuve de la nulle contrôlabilité du système. / In this thesis we study mathematical models concerning some fluid flow problems with variable density. The first chapter is a summary of the entire thesis and focuses on the results obtained, novelty and comparison with the existing literature. In the second chapter we study the local stabilization of the non-homogeneous Navier-Stokes equations in a 2d channel around Poiseuille flow. We design a feedback control of the velocity which acts on the inflow boundary of the domain such that both the fluid velocity and density are stabilized around Poiseuille flow provided the initial density is given by a constant added with a perturbation, such that the perturbation is supported away from the lateral boundary of the channel. In the third chapter we prove the local in time existence of strong solutions for a system coupling the compressible Navier-Stokes equations with an elastic structure located at the boundary of the fluid domain. In the fourth chapter our objective is to study the null controllability of a linearized compressible fluid structure interaction problem in a 2d channel where the structure is elastic and located at the fluid boundary. In this chapter we establish an observability inequality for the linearized fluid structure interaction problem under consideration which is the first step towards the direction of proving the null controllability of the system.

Le but de cette thèse est la construction et l'implémentation d'une méthode de Lagrange-Galerkin d'ordre élevé dans un code de simulation d'interactions fluide/structure. Cette méthode repose sur une formulation par éléments finis mixtes et une méthode des caractéristiques d'ordre 2 en maillage fixe ou mobile. La stabilité de ce schéma a été étudiée dans des cas simples. Des analyses aéroélastiques de structures généralement rencontrées dans le Génie Civil ont été effectuées à travers des tests numériques sur des coupes de ponts en mouvements forcés et libres. Les résultats obtenus ont été comparés à ceux obtenus avec la méthode de Lagrange-Galerkin d'ordre 1 ainsi qu'à des études réalisées en soufflerie expérimentale. Enfin, l'utilisation des méthodes de Lagrange-Galerkin dans des problèmes de contrôle optimal a été étudiée. Un schéma discret linéarisé basé sur la méthode des caractéristiques a été construit et quelques tests simples pour des problèmes de contrôle et d'identification en maillages fixes et mobiles ont été effectués.

Les écoulements de mélanges de deux fluides incompressibles, miscibles et ayant des densités très différentes sont gouvernés par les équations de Navier-Stokes non-homogène, couplées à une équation de convection-diffusion décrivant l'évolution de la composition du mélange. Nous proposons un algorithme associant la méthode des caractéristiques, pour la discrétisation des termes de transport, à la méthode des éléments finis avec une adaptation automatique de maillage, et démontrons que la solution de cet algorithme converge vers la solution exacte lorsque les pas de discrétisation tendent vers zéro. La robustesse de cet algorithme permet d'obtenir les premiers résultats de simulations numériques directes d'écoulements d'échange à très forte différence de densité, et de les valider par comparaison avec des expériences. Des écoulements de nuages denses sur des pentes sont simulés, et permettent d'analyser l'influence de la différence de densité sur les écoulements d'avalanches.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la simulation numérique d'écoulements instationnaires de deux fluides visqueux non miscibles, séparés par une interface mobile. Plus particulièrement des écoulements sans choc constitués d'une phase gazeuse et d'une phase liquide sont considérés. Pour modéliser de tels écoulements, une approche dans laquelle le gaz est décrit par les équations de Navier-Stokes compressible et le liquide par les équations de Navier-Stokes incompressible est proposée. C'est le couplage de ces deux modèles qui constitue l'originalité et l'enjeu principal de de cette thèse. Pour traiter cette difficulté majeure, une méthode globale (i.e. la même dans chaque phase) et simple à mettre en \oe uvre est élaborée. L'utilisation des équations de Navier-Stokes formulées de façon unifiée pour les inconnues primitives (pression, vitesse et température) constitue le point de départ pour la construction de notre méthode qui repose sur les composants suivants: - une méthode d'éléments finis stabilisés pour la discrétisation spatiale des équations de Navier-Stokes; - une approche Level Set pour représenter précisément l'interface dont l'équation de transport a été résolue par une méthode de type Galerkin Discontinu; \item et des grandeurs moyennées pour traiter les discontinuités à l'interface. Le bon comportement de notre approche est illustré sur différents tests mono et bi-dimensionnels.