On sait depuis vingt ans maintenant qu'un ordinateur quantique permettrait de résoudre en temps polynomial plusieurs problèmes considérés comme difficiles dans le modèle classique de calcul, comme la factorisation ou le logarithme discret. Entre autres, un tel ordinateur mettrait à mal tous les systèmes de chiffrement à clé publique actuellement utilisés en pratique, mais sa réalisation se heurte, entre autres, aux phénomènes de décohérence qui viennent entacher l'état des qubits qui le constituent. Pour protéger ces qubits, on utilise des codes correcteurs quantiques, qui doivent non seulement être performants mais aussi munis d'un décodage très rapide, sous peine de voir s'accumuler les erreurs plus vite qu'on ne peut les corriger. Une solution très prometteuse est fournie par des équivalents quantiques des codes LDPC (Low Density Parity Check, à matrice de parité creuse). Ces codes classiques offrent beaucoup d'avantages : ils sont faciles à générer, rapides à décoder (grâce à un algorithme de décodage itératif) et performants. Mais leur version quantique se heurte (entre autres) à deux problèmes. On peut voir un code quantique comme une paire de codes classiques, dont les matrices de parité sont orthogonales entre elles. Le premier problème consiste alors à construire deux « bons » codes qui vérifient cette propriété. L'autre vient du décodage : chaque ligne de la matrice de parité d'un des codes fournit un mot de code de poids faible pour le second code. En réalité, dans un code quantique, les erreurs correspondantes sont bénignes et n'affectent pas le système, mais il est difficile d'en tenir compte avec l'algorithme de décodage itératif usuel. On étudie dans un premier temps une construction existante, basée sur un produit de deux codes classiques. Cette construction, qui possède de bonnes propriétés théoriques (dimension et distance minimale), s'est avérée décevante dans les performances pratiques, qui s'expliquent par la structure particulière du code produit. Nous proposons ensuite plusieurs variantes de cette construction, possédant potentiellement de bonnes propriétés de correction. Ensuite, on étudie des codes dits q-Aires~: ce type de construction, inspiré des codes classiques, consiste à agrandir un code LDPC existant en augmentant la taille de son alphabet. Cette construction, qui s'applique à n'importe quel code quantique 2-Régulier (c'est-À-Dire dont les matrices de parité possèdent exactement deux 1 par colonne), a donné de très bonnes performances dans le cas particulier du code torique. Ce code bien connu se décode usuellement très bien avec un algorithme spécifique, mais mal avec l'algorithme usuel de propagation de croyances. Enfin, un équivalent quantique des codes spatialement couplés est proposé. Cette idée vient également du monde classique, où elle améliore de façon spectaculaire les performances des codes LDPC : le décodage s'effectue en temps quasi-Linéaire et atteint, de manière prouvée, la capacité des canaux symétriques à entrées binaires. Si dans le cas quantique, la preuve éventuelle reste encore à faire, certaines constructions spatialement couplées ont abouti à d'excellentes performances, bien au-Delà de toutes les autres constructions de codes LDPC quantiques proposées jusqu'à présent. / Quantum information is a developping field of study with various applications (in cryptography, fast computing, ...). Its basic element, the qubit, is volatile : any measurement changes its value. This also applies to unvolontary measurements due to an imperfect insulation (as seen in any practical setting). Unless we can detect and correct these modifications, any quantum computation is bound to fail. These unwanted modifications remind us of errors that can happen in the transmission of a (classical) message. These errors can be accounted for with an error-Correcting code. For quantum errors, we need to set quantum error-Correcting codes. In order to prevent the clotting of errors that cannot be compensated, these quantum error-Correcting codes need to be both efficient and fast. Among classical error-Correcting codes, Low Density Parity Check (LDPC) codes provide many perks: They are easy to create, fast to decode (with an iterative decoding algorithme, known as belief propagation) and close to optimal. Their quantum equivalents should then be good candidates, even if they present two major drawbacks (among other less important ones). A quantum error correction code can be seen as a combination of two classical codes, with orthogonal parity-Check matrices. The first issue is the building of two efficient codes with this property. The other is in the decoding: each row of the parity-Check matrix from one code gives a low-Weight codeword of the other code. In fact, with quantum codes, corresponding errors do no affect the system, but are difficult to account for with the usual iterative decoding algorithm. In the first place, this thesis studies an existing construction, based on the product of two classical codes. This construction has good theoritical properties (dimension and minimal distance), but has shown disappointing practical results, which are explained by the resulting code's structure. Several variations, which could have good theoritical properties are also analyzed but produce no usable results at this time. We then move to the study of q-Ary codes. This construction, derived from classical codes, is the enlargement of an existing LDPC code through the augmentation of its alphabet. It applies to any 2-Regular quantum code (meaning with parity-Check matrices that have exactly two ones per column) and gives good performance with the well-Known toric code, which can be easily decoded with its own specific algorithm (but not that easily with the usual belief-Propagation algorithm). Finally this thesis explores a quantum equivalent of spatially coupled codes, an idea also derived from the classical field, where it greatly enhances the performance of LDPC codes. A result which has been proven. If, in its quantum form, a proof is still not derived, some spatially-Coupled constructions have lead to excellent performance, well beyond other recent constuctions.

Les fonctions de F_q dans lui-même sont des objets étudiés dans de divers domaines tels que la cryptographie, la théorie des codes correcteurs d'erreurs, la géométrie finie ainsi que la géométrie algébrique. Il est bien connu que ces fonctions sont en correspondance exacte avec les polynômes en une variable à coefficients dans F_q. Nous étudierons trois classes de polynômes particulières: les polynômes Presque Parfaitement Non linéaires (Almost Perfect Nonlinear (APN)), les polynômes planaires ou parfaitement non linéaire (PN) et les o-polynômes.Les fonctions APN sont principalement étudiées pour leurs applications en cryptographie. En effet, ces fonctions sont celles qui offre la meilleure résistance contre la cryptanalyse différentielle.Les polynômes PN et les o-polynômes sont eux liés à des problèmes célèbres de géométrie finie. Les premiers décrivent des plans projectifs et les seconds sont en correspondance directe avec les ovales et hyperovales de P^2(F_q). Néanmoins, leurs champ d'application a été récemment étendu à la cryptographie symétrique et à la théorie des codes correcteurs d'erreurs.L'un des moyens utilisé pour compléter la classification est de considérer les polynômes présentant l'une des propriétés recherchées sur une infinité d'extension de F_q. Ces fonctions sont appelées fonction APN (respectivement PN ou o-polynômes) exceptionnelles.Nous étendrons la classification des polynômes APN et PN exceptionnels et nous donneront une description complète des o-polynômes exceptionnels. Les techniques employées sont basées principalement sur la borne de Lang-Weil et sur des méthodes élémentaires. / Functions from F_q to itself are interesting objects arising in various domains such as cryptography, coding theory, finite geometry or algebraic geometry. It is well known that these functions admit a univariate polynomial representation. There exists many interesting classes of such polynomials with plenty of applications in pure or applied maths. We are interested in three of them: Almost Perfect Nonlinear (APN) polynomials, Planar (PN) polynomials and o-polynomials. APN polynomials are mostly used in cryptography to provide S-boxes with the best resistance to differential cryptanalysis and in coding theory to construct double error-correcting codes. PN polynomials and o-polynomials first appeared in finite geometry. They give rise respectively to projective planes and ovals in P^2(F_q). Also, their field of applications was recently extended to symmetric cryptography and error-correcting codes.A complete classification of APN, PN and o-polynomials is an interesting open problem that has been widely studied by many authors. A first approach toward the classification was to consider only power functions and the studies were recently extended to polynomial functions.One way to face the problem of the classification is to consider the polynomials that are APN, PN or o-polynomials over infinitely many extensions of F_q, namely, the exceptional APN, PN or o-polynomials.We improve the partial classification of exceptional APN and PN polynomials and give a full classification of exceptional o-polynomials. The proof technique is based on the Lang-Weil bound for the number of rational points in algebraic varieties together with elementary methods.

Les applications dans le domaine des communications numériques deviennent de plus en plus complexes et diversifiées. En témoigne la nécessité de corriger les erreurs des messages transmis. Pour répondre à cette problématique, des codes correcteurs d’erreurs sont utilisés. En particulier, les Codes Polaires qui font l’objet de cette thèse. Ils ont été découverts récemment (2008) par Arıkan. Ils sont considérés comme une découverte importante dans le domaine des codes correcteurs d’erreurs. Leur aspect pratique va de paire avec la capacité à proposer une implémentation matérielle de décodeur. Le sujet de cette thèse porte sur l’exploration architecturale de décodeurs de Codes Polaires implémentant des algorithmes de décodage particuliers. Ainsi, le sujet gravite autour de deux algorithmes de décodage : un premier algorithme de décodage à décisions dures et un autre algorithme de décodage à décisions souples.Le premier algorithme de décodage, à décisions dures, traité dans cette thèse repose sur l’algorithme par annulation successive (SC) comme proposé originellement. L’analyse des implémentations de décodeurs montre que l’unité de calcul des sommes partielles est complexe. De plus,la quantité mémoire ressort de cette analyse comme étant un point limitant de l’implémentation de décodeurs de taille importante. Les recherches menées afin de palier ces problèmes montrent qu’une architecture de mise à jour des sommes partielles à base de registres à décalages permet de réduire la complexité de cette unité. Nous avons également proposé une nouvelle méthodologie permettant de revoir la conception d’une architecture de décodeur déjà existante de manière relativement simple afin de réduire le besoin en mémoire. Des synthèses en technologie ASIC et sur cibles FPGA ont été effectués pour caractériser ces contributions. Le second algorithme de décodage, à décisions souples, traité dans ce mémoire, est l’algorithme SCAN. L’étude de l’état de l’art montre que le seul autre algorithme à décisions souples implémenté est l’algorithme BP. Cependant, il nécessite une cinquantaine d’itérations pour obtenir des performances de décodages au niveau de l’algorithme SC. De plus, son besoin mémoire le rend non implémentable pour des tailles de codes élevées. L’intérêt de l’algorithme SCAN réside dans ses performances qui sont meilleures que celles de l’algorithme BP avec seulement 2 itérations.De plus, sa plus faible empreinte mémoire le rend plus pratique et permet l’implémentation de décodeurs plus grands. Nous proposons dans cette thèse une première implémentation de cetalgorithme sur cibles FPGA. Des synthèses sur cibles FPGA ont été effectuées pour pouvoir comparer le décodeur SCAN avec les décodeurs BP de l’état de l’art.Les contributions proposées dans cette thèse ont permis d’apporter une réduction de la complexité matérielle du calcul des sommes partielles ainsi que du besoin général du décodeur en éléments de mémorisation. Le décodeur SCAN peut être utilisé dans la chaîne de communication avec d’autres blocs nécessitant des entrées souples. Cela permet alors d’ouvrir le champ d’applications des Codes Polaires à ces blocs. / Applications in the field of digital communications are becoming increasingly complex and diversified. Hence, the need to correct the transmitted message mistakes becomes an issue to be dealt with. To address this problem, error correcting codes are used. In particular, Polar Codes that are the subject of this thesis. They have recently been discovered (2008) by Arikan. They are considered an important discovery in the field of error correcting codes. Their practicality goes hand in hand with the ability to propose a hardware implementation of a decoder. The subject of this thesis focuses on the architectural exploration of Polar Code decoders implementing particular decoding algorithms. Thus, the subject revolves around two decoding algorithms: a first decoding algorithm, returning hard decisions, and another decoding algorithm, returning soft decisions.The first decoding algorithm, treated in this thesis, is based on the hard decision algorithm called "successive cancellation" (SC) as originally proposed. Analysis of implementations of SC decoders shows that the partial sum computation unit is complex. Moreover, the memory amount from this analysis limits the implementation of large decoders. Research conducted in order to solve these problems presents an original architecture, based on shift registers, to compute the partial sums. This architecture allows to reduce the complexity and increase the maximum working frequency of this unit. We also proposed a new methodology to redesign an existing decoder architecture, relatively simply, to reduce memory requirements. ASIC and FPGA syntheses were performed to characterize these contributions.The second decoding algorithm treated in this thesis is the soft decision algorithm called SCAN. The study of the state of the art shows that the only other implemented soft decision algorithm is the BP algorithm. However, it requires about fifty iterations to obtain the decoding performances of the SC algorithm. In addition, its memory requirements make it not implementable for huge code sizes. The interest of the SCAN algorithm lies in its performances which are better than those of the BP algorithm with only two iterations. In addition, its lower memory footprint makes it more convenient and allows the implementation of larger decoders. We propose in this thesis a first implementation of this algorithm on FPGA targets. FPGA syntheses were carried out in order to compare the SCAN decoder with BP decoders in the state of the art.The contributions proposed in this thesis allowed to bring a complexity reduction of the partial sum computation unit. Moreover, the amount of memory required by an SC decoder has been decreased. At last, a SCAN decoder has been proposed and can be used in the communication field with other blocks requiring soft inputs. This then broadens the application field of Polar Codes.

This work involves in anti-error coding systems with interleaving. At first is given summary of high-frequency use error correction codes. Below there are described two basic techniques of interleaving and their confrontation. The next text is focusing on survey and characteristics of codes which conform to submission. After selection of optimal system is verified its function in MATLAB environment. Final step is creation of functional application in C++ environment. This application serves to transmission of error correction BMP pictures.