Le thème central de cette thèse est le plongement des espaces métriques dans les espaces de Banach. Les principaux plongements étudiés sont les plongements grossiers, uniformes ou Lipschitziens. On considère des questions concernant le plongement Lipschitzien de certaines classes d'espaces métriques, notamment les espaces métriques localement finis ou plus généralement les sous-ensembles localement finis des espaces de Banach Lp, avec 1<= p <= [infini]. Ces questions sont étroitement liées à la classification Lipschitzienne des espaces de Banach. Les plongements grossiers sont un outil clé pour l'étude de plusieurs conjectures célèbres (conjecture de Baum-Connes grossière, conjecture de Novikov grossière...). On mène alors une étude détaillée du plongement grossier, mais aussi uniforme, des espaces métriques propres dans les espaces de Banach sans cotype. Un troisième thème concerne ce qui est appelé le “programme de Ribe” par Manor Mendel et Assaf Naor. Cela consiste en la recherche d'invariants métriques qui caractérisent des propriétés locales des espaces de Banach. Dans cette optique on étudie le plongement de certains arbres.

Le thème central de cette thèse est l'étude de plongements d'espaces métriques dans des espaces de Banach. La première étude concerne les plongements grossièrement Lipschitz entre les espaces de James Jp pour p≻1 et p fini. On obtient que, pour p,q différents, Jq ne se plonge pas grossièrement Lipschitz dans Jp. Nous avons également obtenu, dans le cas où q≺p, une majoration de l'exposant de compression de Jq dans Jp par q/p. La question naturelle qui se pose ensuite est de savoir si le résultat obtenu pour les espaces de James est vrai aussi en ce qui concerne leurs duaux. Nous obtenons que, pour p,q différents, Jp* ne se plonge pas grossièrement lipschitz dans Jq*. Suite à ce travail, on établit des résultats plus généraux sur la non-plongeabilité des espaces de Banach q-AUS dans les espaces de Banach p-AMUC pour p≺q. On en déduit aussi, à l'aide d'un théorème de renormage, un résultat sur les indices de Szlenk. Par ailleurs, on obtient un résultat sur la plongeabilité quasi-Lipschitz dont la définition diffère légèrement de la plongeabilité presque Lipschitz : pour deux espaces de Banach X et Y, si, pour C≻1, X est C-finiment crûment représentable dans tout sous-espace vectoriel de codimension finie de Y, alors tout sous-espace propre M de X se plonge quasi-Lipschitz dans Y. Pour conclure, on obtient le corollaire suivant : soient X et Y deux espaces de Banach tels que X est localement minimal et Y est finiment crûment représentable dans X. Alors, pour M sous-espace propre de Y, M se plonge quasi-Lipschitz dans X. / The central theme of this thesis is the study of embeddings of metric spaces into Banach spaces.The first study focuses on the coarse Lipschitz embeddings between James Spaces Jp for p≻1 and p finite. We obtain that, for p,q different, Jq does not coarse Lipschitz embed into Jp. We also obtain, in the case where q≺p, that the compression exponent of Jq in Jp is lower or equal to q/p. Another natural question is to know whether we have similar results for the dual spaces of James spaces. We obtain that, for p,q different, Jp* does not coarse Lipschitz embed into Jq*. Further to this work, we establish a more general result about the coarse Lipschitz embeddability of a Banach space which has a q-AUS norm into a Banach space which has a p-AMUC norm for p≺q. With the help of a renorming theorem, we deduce also a result about the Szlenk index. Moreover, after defining the quasi-Lipschitz embeddability, which is slightly different to the almost Lipschitz embeddability, we obtain the following result: For two Banach spaces X, if X is crudely finitely representable with constant C (where C≻1) in any subspace of Y of finite codimension, then every proper subset M of X quasi-Lipschitz embeds into Y. To conclude, we obtain the following corollary: Let X be a locally minimal Banach space, and Y be a Banach space which is crudely finitely representable in X. Then, for M a proper subspace of Y, M quasi-Lipschitz embeds into X.

Ce document de synthèse s'articule autour de l'analyse convexe, de l'analyse quasi-convexe et des applications en optimisation. Dans le premier domaine on aborde les thèmes de la continuité, de la différentiabilité et des critères de coïncidence pour les fonctions convexes, puis la convexification des fonctions semi-continues inférieurement. Pour l'étude des fonctions quasi-convexes deux approches sont adoptées : une approche analytique, via un sous-différentiel généralisé, et une approche géométrique, basée sur les normales aux tranches. La dernière partie est consacrée à des applications à l'intégration d'opérateurs multivoques, aux inéquations variationnelles et à des problèmes d'optimisation multicritères en dimension finie et infinie. Parmi les nouveautés de ce travail, on trouve la notion de monotonie fortement cyclique, qui caractérise le sous-différentiel d'une fonction convexe dont la restriction à son domaine est continue, la quasi-monotonie cyclique, qui est une propriété intrinsèque du sous-différentiel d'une fonction quasi-convexe avec des applications importantes en économie mathématique, et la notion de quasi-monotonie propre, qui caractérise les opérateurs pour lesquels l'inéquation variationnelle associée a toujours des solutions sur toute sous-partie convexe et faiblement compacte de leur domaine. Notons encore une nouvelle caractérisation de la propriété de Radon-Nikodym, et une extension à la dimension infinie d'un résultat de Janin concernant l'intégration d'un opérateur maximal cycliquement sous-monotone, résultat qui généralise le théorème classique de Rockafellar pour les opérateurs maximaux cycliquement monotones.

Cette thèse traite quatre sujets différents de la théorie des espaces de Banach: Le premier est une caractérisation de la propriété de Radon-Nikodym en utilisant la notion du jeu des points et tranches: Le deuxième est une évaluation de l'indice de dentabilité préfaible des espaces C(K) où K est un compact du hauteur dénombrable: Le troisième est un renormage des espaces non séparables qui est simultanément LUC, lisse et approximable par des normes d'une lissité plus élevée. Le quatrième est une approche par le théorème de Baire aux principes variationnels paramétriques. La thèse commence par une introduction qui examine le contexte de ces résultats. / The thesis deals with four topics in the theory of Banach spaces. The first of them is a characterization of the Radon-Nikodym property using the notion of point-slice games. The second is a computation of the w* dentability index of the spaces C(K), where K is a compact of countable height. The third is a renorming result in nonseparable spaces, producing norms which are differentiable, LUR and approximated by norms of higher smoothness. The fourth topic is a Baire cathegory approach to parametric smooth variational principles. The thesis features an introduction which surveys the background of these results.

Cette thèse se compose de deux chapitres distincts. Les problématiques abordées y sont différentes, mais ils ont en commun de relier des objets de nature géométrique à des objets issus de la théorie de Hodge p-adique. Les résultats du premier chapitre s’inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Nous décrivons le complexe de de Rham des revêtements du demi-plan de Drinfeld pour GL_2(Q_p). Cette description, conjecturée par Breuil et Strauch, fournit une réalisation géométrique de la correspondance de Langlands locale $p$-adique pour certaines représentations de de Rham de dimension 2 du groupe de Galois absolu de Q_p. Le second chapitre est consacré à l’étude de la catégorie des espaces de Banach-Colmez. Notre résultat principal est une description de cette catégorie abélienne en termes de la catégorie des faisceaux cohérents sur la courbe de Fargues-Fontaine. Au passage, nous démontrons quelques résultats d’intérêt indépendant sur la cohomologie pro-étale et la cohomologie syntomique des variétés rigides. / This PhD thesis contains two chapters. The topics of these two chapters are quite different, but they have in common to draw connections between geometric objects and objects which come from p-adic Hodge theory. The framework of the first chapter is the p-adic Langlands program. We describe the de Rham complex of the étale overings of Drinfeld's p-adic upper half-plane for GL_2(Q_p). Conjectured by Breuil and Strauch, this description gives a geometric realization of the p-adic local Langlands correspondence for certain two-dimensional de Rham representations of the absolute Galois group of Q_p. The second chapter is devoted to the study of the category of Banach-Colmez spaces. Our main result is a precise description of this abelian category in terms of the category of coherent sheaves on the Fargues-Fontaine. Along the way we also prove a few results of independent interest about the pro-étale cohomology and syntomic cohomology of rigid spaces.

Dans le premier chapitre, nous définissons la notion d’espaces à partitions pondérées qui généralise la structure d’espaces à murs mesurés et qui fournit un cadre géométrique à l’étude des actions isométriques affines sur des espaces de Banach pour les groupes localement compacts à base dénombrable. Dans un premier temps, nous caractérisons les actions isométriques affines propres sur des espaces de Banach en termes d’actions propres par automorphismes sur des espaces à partitions pondérées. Puis, nous nous intéressons aux structures de partitions pondérées naturelles pour les actions de certaines constructions de groupes : somme directe ; produit semi-directe ; produit en couronne et produit libre. Nous établissons ainsi des résultats de stabilité de la propriété PLp par ces constructions. Notamment, nous généralisons un résultat de Cornulier, Stalder et Valette de la façon suivante : le produit en couronne d’un groupe ayant la propriété PLp par un groupe ayant la propriété de Haagerup possède la propriété PLp. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons aux espaces métriques quasi-médians - une généralisation des espaces hyperboliques à la Gromov et des espaces médians - et à leurs propriétés. Après l’étude de quelques exemples, nous démontrons qu’un espace δ-médian est δ′-médian pour tout δ′ ≥ δ. Ce résultat nous permet par la suite d’établir la stabilité par produit directe et par produit libre d’espaces métriques - notion que nous développons par la même occasion. Le troisième chapitre est consacré à la définition et l’étude d’une distance propre, invariante à gauche et qui engendre la topologie explicite sur les groupes localement compacts, compactement engendrés. Après avoir montré les propriétés précédentes, nous prouvons que cette distance est quasi-isométrique à la distance des mots sur le groupe et que la croissance du volume des boules est contrôlée exponentiellement. / In the first chapter, we define the notion of spaces with labelled partitions which generalizes the structure of spaces with measured walls : it provides a geometric setting to study isometric affine actions on Banach spaces of second countable locally compact groups. First, we characterise isometric affine actions on Banach spaces in terms of proper actions by automorphisms on spaces with labelled partitions. Then, we focus on natural structures of labelled partitions for actions of some group constructions : direct sum ; semi-direct product ; wreath product and free product. We establish stability results for property PLp by these constructions. Especially, we generalize a result of Cornulier, Stalder and Valette in the following way : the wreath product of a group having property PLp by a Haagerup group has property PLp. In the second chapter, we focus on the notion of quasi-median metric spaces - a generalization of both Gromov hyperbolic spaces and median spaces - and its properties. After the study of some examples, we show that a δ-median space is δ′-median for all δ′ ≥ δ. This result gives us a way to establish the stability of the quasi-median property by direct product and by free product of metric spaces - notion that we develop at the same time. The third chapter is devoted to the definition and the study of an explicit proper, left-invariant metric which generates the topology on locally compact, compactly generated groups. Having showed these properties, we prove that this metric is quasi-isometric to the word metric and that the volume growth of the balls is exponentially controlled.