W e review some results in reordering of series in Banach spaces that have some applications in Analytic Number Theory.

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / Uno de los resultados clásicos dentro de la teoría de espacios topológicos y funciones continuas es el Teorema de Banach-Stone, el cual relaciona la estructura topológica de un espacio compacto $X$ con la estructura de espacio vectorial normado del espacio de funciones continuas a valores reales $\left(C(X,\R),\|\cdot\|_\infty\right)$. A partir de este teorema surgieron diversos resultados en el mismo espíritu: caracterizar la estructura de un espacio a través de la estructura de un espacio de funciones adecuado. A estos resultados se les conoce como ``teoremas tipo Banach-Stone''. En 2017, J. Cabello y J.A. Jaramillo probaron un teorema tipo Banach-Stone para espacios cuasi-métricos completos, usando el espacio de funciones 1-semi-Lipschitz a valores reales $\mathrm{SLip_1}(X)$, el cual fue dotado de estructura de lattice convexo. Esta tesis se centra en estudiar la estructura de las variedades de Finsler, las cuales son una generalización de las variedades Riemannianas. Dichas variedades poseen una estructura cuasi-métrica íntimamente relacionada con su estructura de variedad diferenciable. Con el fin de estudiar estas variedades, basándonos en las ideas de J. Cabello y J.A. Jaramillo, definimos un subespacio de funciones suaves de $\mathrm{SLip_1}(X)$, denotado por $SC_1^1(X)$, el cual dotamos de estructura convexa y de orden parcial (lo cual es estrictamente más débil que una estructura de lattice). Usando teoremas de aproximación suave de funciones Lipschitz, y adaptándolos para funcionar en el contexto asimétrico, se logró suplir la falta de estructura de lattice del espacio $SC_1^1(X)$, obteniendo así un teorema tipo Banach-Stone para variedades de Finsler conexas y completas, similar al presentado en la publicación de Cabello y Jaramillo. La demostración del teorema principal de este trabajo puede adaptarse para funcionar en dos clases de espacios de Banach de dimensión infinita: espacios de Hilbert y espacios de Asplund separables cuyos espacios duales sean localmente uniformemente rotundos. / CMM - Conicyt PIA AFB170001

Ingeniero Civil Matemático / En esta memoria se extiende el resultado de integración de Correa y Hantoute presentado en \cite{Correa1}, que dice que si un espacio de Banach $X$ tiene la propiedad de Radon-Nykod\'ym (RNP), entonces para todo par de funciones $f,g:X\to\Rex$ con $f$ epi-pointed y semicontinua inferior, y tal que $\partial f\subseteq \partial g$, se cumple que existe una constante $c\in\R$ tal que \[ \cco f = \overline. \] Se introduce la noción de funciones integrables, que tienen las condiciones necesarias y suficientes para que la fórmula de integración anterior se cumpla, independiente de la RNP. Además, se definen las funciones cuasi-integrables, que son aquellas funciones $f$ epi-pointed que sólo necesitan para ser integrables que exista un denso $D$ del interior del dominio de $f^*$ donde se satisfaga que \[ \clss = \partial f^*(x^*),\quad\forall x^*\in D. \] Se dan caracterizaciones de la ecuación anterior y luego se define la familia de espacios de Banach donde para toda función $f$ epi-pointed, su conjugada satisface dicha ecuación en un denso del interior de su dominio: Los espacios cuyo dual tiene la propiedad de continuidad del subdiferencial débil ($w$-SCP). Se muestra que esta es la familia de espacios de Banach más grande donde toda función cuasi-integrable es integrable. Se termina la memoria dando varias caracterizaciones de los espacios cuyo dual tiene la $w$-SCP y se plantean algunas conjeturas sobre la estructura de los mismos.

Ingeniero Civil Matemático / En la presente memoria se estudia la propiedad de regularidad asintótica para una variante de la iteración de \textit{Krasnoselskii-Mann} en un espacio de Banach general. Este problema está enmarcado en la teoría métrica de puntos fijos de operadores no expansivos, pues resulta ser que, bajo ciertas hipótesis, la sucesión de iterados de Krasnoselskii-Mann converge a un punto dijo de cierto operador $T$.\\ La regularidad asintótica de la iteración de Krasnoselskii-Mann ha sido ampliamente estudiada por muchos autores, ya que sirve para aproximar puntos fijos de un operador no expansivo $T:C\to C$ definido sobre un conjunto no vacío, convexo, cerrado y acotado en un espacio de Banach. Se ha establecido la regularidad asintótica de los iterados de Krasnosleskii-Mann en un espacio de Banach bajo condiciones simples, y además se conoce la tasa de regularidad asintótica en un espacio de Banach general. En esta memoria se prueba la regularidad asintótica de la iteración $$x_{k+1}=(1-\alpha_{k+1})x_k+\alpha_{k+1}(Tx_k+e_{k+1}),$$ donde $x_0\in C$, $(\alpha_k)_{k\in\N}\subseteq[0,1]$, $e_n\to 0$, $\sum\alpha_k(1-\alpha_k)=\infty$ y $\sum\alpha_k\|e_k\|<\infty$. Además, se establece la tasa de convergencia de $\|x_n-Tx_n\|$ cuando los coeficientes $(\alpha_k)_{k\in\N}$ están lo suficientemente alejados de $0$ y $1$. Por último, se aplican los resultados obtenidos en esta tesis para estudiar la regularidad asintótica de otros procesos iterativos y para estudiar cotas de la solución de una ecuación de evolución no lineal. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto Fondecyt 1130564

Para aplicar el Teorema del Punto Fijo de Banach ( T.P.F.B.), se necesita una aplicación contractiva de un espacio completo en sí mismo; este resultado garantiza la existencia y unicidad de la solución de un problema específico. El teorema nos provee de un método iterativo, para construir la solución aproximada con cierto margen de error previamente fijado. Por lo mencionado, el T.P.F.B. ó método de las aproximaciones sucesivas (M.A.S.) se convierte en una potente herramienta del análisis, lo que quedará evidenciado luego de presentar algunas importantes aplicaciones del T.P.F.B. / -- To apply the Fixed Point Banach’s Theorem (F.P.B.T.) , we need a contracting application mapping a complete metric space into itself. The hypothesis guarantees the existences and uniqueness of solution of a specific problem, whose must be planted as a problem to find fixed points. The theorem provides to us with a iterative method to construct the approximated solution with a certain margin of error previously fixed.

En este trabajo se estudia el problema de optimización mín xES f(x) donde S es un subconjunto convexo en un espacio normado X f : X (flecha funcional) R. Asimismo, se presenta una extensión del teorema de Kuhn-Tucker que resuelve el problema de minimización sobre el conjunto S = {x E S/g(x) E -C donde C ∧ h(x) = 0Z}es un cono de orden y h, g dos funcionales Fréchet diferenciables. / Tesis

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En el presente trabajo se muestran algunos resultados obtenidos recientemente en ciertos espacios de Banach, los llamados espacios Lipschitz-libres. Junto con las definiciones básicas y resultados que principalmente se encuentran en \cite{GK} y \cite{K}, se añaden resultados presentes en diversos artículos y trabajos publicados. Así mismo, se incluye una introducción a los conceptos de integración de funciones vector-valuadas, más precisamente, la noción de Bochner-integrabilidad, la cual resulta ser un punto clave en el desarrollo del resultado principal. Se muestra dentro de estos resultados una identificación que puede ser hallada, por ejemplo, en \cite{W} para el espacio Lipschitz-libre $\mathcal{F}(\R)$. En virtud de esto, se propone una generalización para el caso finito-dimensional, con el fin de entregar una nueva herramienta para el estudio de los espacios Lipschitz-libres en el caso mencionado. En el transcurso de la identificación de este espacio, se hace uso de herramientas clásicas de espacios de Banach y de teoría de la medida. Además, se define el espacio de funciones esencialmente Lipschitz, así como un subespacio de éste que refleja la estructura de las funciones Lipschitz nulas en $0$. Haciendo uso del espacio obtenido, se propone una vía de estudio para los espacios $\mathcal{F}(\ell^{p})$, para $1\leq p < +\infty$, usando para ello la densidad de $c_{00}$ en $\ell^{p}$ y la estructura de los espacios que identifican a $\mathcal{F}(\R^{n})$. Se incluye por completitud además en el anexo una demostración de un resultado clásico asociado a las funciones Lipchitz definidas y a valores en espacios de dimensión finita, el Teorema de Rademacher. Éste último es la pieza clave en la identificación de $\mathcal{F}(\R)$ y así mismo se proponen posibles generalizaciones en la identificación de $\mathcal{F}(\R^{n})$ para espacios de dimensión infinita en los cuales existan resultados similares a dicho teorema.

Chapter 1 We study different classes of compact sets. In particular, the class of convex-compact sets is analyzed in depth. Using these classes of sets, we provide compactness criteria by checking on a quite relaxed set of conditions. In order to ensure that we are really dealing with more general notions, we pay attention to separate the classes introduced. We also provide some stability results of the classes of compact sets used. Some Valdivia and Orihuela theorems are pushed further and an extension of a theorem due to Howard is provided. Chapter 2 We formulate some results on Banach disks and prove that every convex, relatively convex-compact subset of a locally convex space is contained in a Banach disk. We study in which cases some properties, such as separability and reflexivity, are preserved by passing to the generated Banach space. Chapter 3 The drop property, the property (alpha) and the condition (beta) are analyzed. A single technique provides short proofs of some results about drop properties on locally convex spaces. It is shown that the quasi-drop property is equivalent to a drop property for countably closed sets. We prove that the drop and quasi-drop properties, the property (alpha) and the condition (beta) are separably determined. We also study the relation between drop property, property (alpha), condition (beta), compactness and reflexivity. / Monterde Pérez, I. (2009). Some compactness criteria in locally convex and banach spaces [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/14569 / Palancia

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Estudia la ecuación de onda no lineal que modela la actividad neuronal del cerebro. Busca estudiar la existencia de la solución débil global del sistema dado utilizando el método de Faedo - Galerkin y además establecer la unicidad y estabilidad de la soluci´on utilizando criterios de desigualdades integrales e inmersiones de Sobolev. Los términos a(u, p)ut y b(u, p, pt) son términos no lineales que caracterizan la actividad neuronal del modelo. El estudio del sistema es planteado por Mauhamad y Maitine, quienes prueban que el sistema tiene una única solución estable, bajo supuestos datos reales. De hecho, estos supuestos están motivados por el modelo de la actividad cerebral física subyacente, que conduce a una ecuación que es un caso particular de la ecuación que se va a desenvolver. / Tesis