Se prosigue con el estudio de los espacios métricos fuzzy introducidos por George y Veeramani. Se aportan nuevas propiedades y se tratan cuestiones como la completación, la continuidad uniforme y teoremas de punto fijo. Se introducen nuevos ejemplos (alguno de ellos de especial relevancia) y se dan resultados acerca de la precompacidad en espacios métricos fuzzy. Además, se desarrolla el estudio de las métricas fuzzy no arquimedianas y se aborda la cuestión de la completación de los espacios métricos fuzzy y se comprueba que, en este aspecto, existe una diferencia significativa con la teoría de los espacios métricos, pues no todo espacio métrico fuzzy admite completación. Se estudia la noción de continuidad uniforme y se definen los conceptos de equinormalidad y propiedad de Lebesgue para una métrica fuzzy ("análogos" a los clásicos) que permiten demostrar un teorema en el que se caracterizan los espacios métricos fuzzy en los que toda función real continua es uniformemente continua por el hecho de que la métrica fuzzy sea equinormal o cumpla la propiedad de Lebesgue. Además, se introduce el concepto de continuidad t-uniforme (que no tiene "homólogo" en la teoría clásica pero está estrechamente relacionado con la noción de contractividad que se aporta en el último capítulo) que permite caracterizar los espacios métricos fuzzy en los que toda función real continua es t-uniformemente continua mediante una adecuada definición de métrica fuzzy t-equinormal. Por último se introduce el concepto de aplicación contractiva fuzzy y se obtienen teoremas de punto fijo para este tipo de aplicaciones en espacios métricos fuzzy. Se establece que toda aplicación contractiva fuzzy en un espacio métrico fuzzy completo en el que toda sucesión contractiva fuzzy es una sucesión de Cauchy posee un único punto fijo. / Sapena Piera, A. (2002). Espacios métricos fuzzy definidos por t-normas [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/5425

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Doctora en Ciencias, Mención Computación / En muchas aplicaciones multimedia y de reconocimiento de patrones es necesario hacer consultas por proximidad a grandes bases de datos modelándolas como un espacio métrico, donde los elementos son los objetos de la base de datos y la proximidad se mide usando una distancia, generalmente costosa de calcular. El objetivo de un índice es preprocesar la base de datos para responder consultas haciendo el menor número de evaluaciones de distancia. Los índices métricos existentes hacen uso de la desigualdad triangular para responder consultas de proximidad, ya sea partiendo el espacio en regiones compactas o utilizando distancias precalculadas a un conjunto distinguido de elementos. En esta tesis presentamos una nueva manera de resolver el problema, representando los elementos como permutaciones. La permutación se obtiene eligiendo un conjunto de objetos, llamados permutantes, y considerando el orden relativo en el que se ven los permutantes desde cada elemento a indexar. Nuestra contribución principal es el haber descubierto que la proximidad entre elementos se puede predecir con mucha precisión midiendo la distancia entre las permutaciones que representan esos elementos. Una aplicación directa de nuestra técnica deriva en un método probabilístico simple y eficiente: Se ordena la base de datos por proximidad de las permutaciones de los elementos a la permutación de la consulta, y se recorre en ese orden. De la comparación experimental de esta técnica contra el estado del arte, en diversos espacios reales y sintéticos, se concluye que las permutaciones son mucho mejores predictores de proximidad que las técnicas hasta ahora usadas, sobre todo en dimensiones altas. Generalmente basta revisar una pequeña fracción de la base de datos para tener un alto porcentaje de la respuesta correcta. Otra aplicación menos directa de nuestra técnica consiste en modificar el algoritmo exacto AESA, que por 20 años ha sido el índice más eficiente, en términos de cálculos de distancia, para buscar en espacios métricos. Nuestra variante, iAESA, utiliza las permutaciones para determinar el siguiente candidato a compararse contra la consulta. Los resultados experimentales muestran que es posible mejorar el desempeño de AESA hasta en 35\%. Esta técnica es adaptable a otros algoritmos existentes. Se aplicó nuestra técnica al problema de identificación de rostros en imágenes, y se lograron resultados hasta ahora no alcanzados por los típicos algoritmos vectoriales usados en estas aplicaciones. Asimismo, dado que nuestra técnica no aplica explícitamente la desigualdad triangular, la probamos en algunos espacios de similaridad no métrica, obteniendo un índice que permite la búsqueda por proximidad con resultados semejantes al caso de los espacios métricos. / Este trabnajo fue financiado por Núcleo Milenio Centro de Investigación de la Web, Mediplan, Chile y la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, México

The purpose of this paper is to introduce and discuss the concept of gα-compactness for topological spaces. An example is considered to show that it is strictly stronger than that of compactness.

Una de las operaciones más importantes en datos multimedia es la de buscar objetos similares entre sí. Para realizar esta búsqueda, es que se recurre al concepto de espacio métrico, el cual permite modelar la relación de similitud por medio de una función de distancia, que cumple la desigualdad triangular, entre otras propiedades. Esta distancia, resulta, generalmente, costosa de calcular, por lo que es necesario la construcción de índices para resolver las búsquedas de manera eficiente. El tema de la eficacia es también un aspecto muy importante, cuando se trabaja con búsquedas por similitud, ya que no solamente es necesario poder responder las consultas rápidamente, sino que también es necesario entregar resultados relevantes. Para mejorar este aspecto, es que se utiliza un espacio multimétrico, el que define dinámicamente la distancia a utilizar, ponderando en mayor medida aquellas características que sean más relevantes para la consulta. El problema de esta estrategia es que existen pocos índices que permitan trabajar con espacios multimétricos y los índices de espacios métricos no pueden ser usados directamente, pues la distancia de éstos es fija. Es por esta razón que en esta memoria se busca contribuir con nuevas técnicas de indexamiento para espacios multimétricos. Para esto se estudia y propone una metodología que permite adaptar índices métricos para ser utilizados en un contexto de espacios multimétricos. Se muestra también cómo esta técnica puede ser utilizada para modificar las estructuras List of Clusters y GNAT, así como también el hecho que las estructuras previamente existentes también resultan de utilizar la metodología propuesta. Finalmente se realiza una evaluación experimental, comparando los índices propuestos con los ya existentes, obteniendo que unos de los índices propuestos, MMGNAT, muestra un mejor desempeño que el estado del arte.

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[ES] En 1965 L. Zadeh introdujo el concepto de conjunto fuzzy, estableciendo una nueva línea de investigación, conocida como matemática fuzzy. Desde entonces, varios autores han estado investigando la construcción de una definición consistente de espacio métrico fuzzy. En 1994, George y Veeramani introdujeron y estudiaron un concepto de espacio métrico fuzzy, que era una adecuada modificación del concepto dado por Kramosil y Michalek. Estos conceptos han sido estudiados y desarrollados en diversas líneas durante los últimos 25 años. Con la intención de contribuir a este desarrollo de la teoría fuzzy, en esta tesis hemos introducido y estudiado los siguientes ítems: 1. Hemos introducido el concepto de espacio métrico fuzzy extendido M0, que es una extensión adecuada de una GV-métrica fuzzy donde el parámetro t puede tomar el valor 0. Además, hemos estudiado conceptos relacionados con la convergencia y las sucesiones de Cauchy en este contexto, así como teoremas sobre contractividad y punto fijo. 2. Hemos probado la existencia de sucesiones contractivas en el sentido de D.Mihet en un espacio métrico fuzzy en el sentido de George y Veeramani que no son de Cauchy. En consecuencia, hemos introducido y estudiado un concepto adecuado de sucesión estrictamente contractiva y hemos corregido el Lema 3.2 de [V. Gregori and J.J. Miñana, On fuzzy psi-contractive sequences and fixed point theorems, Fuzzy Sets and Systems 300 (2016), 93-101]. 3. Hemos introducido y estudiado una noción de (GV-)espacio métrico parcial fuzzy (X,P,*) sin ninguna condición adicional sobre la t-norma *. Después, hemos definido una topologia T_P sobre X deducida de P y hemos demostrado que (X,T_P) es un espacio T0. 4. Hemos relacionado el mencionado concepto de GV-espacio métrico parcial fuzzy con la noción de GV-espacio casi-métrico fuzzy definido por Gregori y Romaguera en [V. Gregori and S. Romaguera, Fuzzy quasi-metric spaces, Applied General Topology 5 (2004), 129-136]. Se ha estudiado una dualidad entre estos espacios, imitando las técnicas utilizadas por Matthews en [S.G.Matthews, Partial metric topology, Annals of the New York Academy of Sciences 728 (1994), 183-197]. / [CA] En 1965, L. Zadeh va introduir el concepte de conjunt fuzzy, establint una nova línia d'investigació, coneguda com matemàtica fuzzy. Des d'aquell moment, molts autors han investigat la construcció d'una definició consistent d'espai mètric fuzzy. En 1994, George i Veeramani van introduir i estudiar una noció d'espai mètric fuzzy, realitzant una modificació adequada del concepte donat per Kramosil i Michalek. Aquests conceptes han estat estudiats i desenvolupats en diversos sentits durant els últims 25 anys. Amb la intenció de contribuir a aquest desenvolupament de la teoria fuzzy, en aquesta tesi hem introduït i estudiat els següents continguts: 1. Hem introduït el concepte d'espai mètric extés M0, que és una extensió adequada d'una GV -mètrica fuzzy M on el paràmetre t pot prendre el valor 0. A més, hem estudiat conceptes relacionats amb la convergència i les successions de Cauchy en aquest context, així com teoremes sobre contractivitat i punt fixe. 2. Hem provat l'existència de successions contractives en el sentit de D. Mihet en un GV -espai mètric fuzzy que no són Cauchy. Conseqüentment, hem aportat i estudiat un concepte apropiat de successió estrictament contractiva i hem corregit el Lema 3.2 de [V. Gregori and J.J. Miñana, On fuzzy psi-contractive sequences and fixed point theorems, Fuzzy Sets and Systems 300 (2016), 93-101]. 3. Hem introduït i estudiat una noció de (GV -)espai mètric parcial fuzzy (X,P,*) sense cap tipus de condició addicional sobre la t-norma contínua *. A continuació, hem definit una topologia T_P sobre X deduïda de P i hem demostrat que (X, T_P) es un espai T0. 4. Hem relacionat el ja mencionat concepte de GV -espai mètric parcial fuzzy amb la noció de GV -espai quasi-mètric fuzzy definit per Gregori i Romaguera en [V. Gregori and S. Romaguera, Fuzzy quasi-metric spaces, Applied General Topology 5 (2004), 129-136]. S'ha estudiat una dualitat entre ambdós espais, imitant les tècniques utilitzades per Matthews en [S.G.Matthews, Partial metric topology, Annals of the New York Academy of Sciences 728 (1994), 183-197]. / [EN] In 1965, L. Zadeh introduced the concept of fuzzy set, and thus established a new topic of research, known as fuzzy mathematics. Since then, several authors have been investigating the approach of a consistent fuzzy metric space theory. In 1994, George and Veeramani introduced and studied a concept of fuzzy metric space which was a proper modification of the concept given by Kramosil and Michalek. These notions have been studied and developed in several ways during the last 25 years. With the purpose of contributing to the development of the study of the fuzzy theory, in this thesis we have introduced and studied the following items: 1. We have introduced the concept of extended fuzzy metric M0 which is an appropriate extension of a GV -fuzzy metric M where the parameter t can take the value 0. Furthermore, we have studied convergence and Cauchyness concepts in this context, as well as contractivity and fixed point theorems. 2. We have proved the existence of contractive sequences in the sense of D. Mihet in a GV -fuzzy metric space which are not Cauchy. Then we have given and studied an appropriate concept of strictly contractive sequence and we have corrected Lemma 3.2 of [V. Gregori and J.J. Miñana, On fuzzy psi-contractive sequences and fixed point theorems, Fuzzy Sets and Systems 300 (2016), 93-101]. 3. We have introduced and studied a concept of (GV -)fuzzy partial metric space (X,P,*) without any extra conditions on the continuous t-norm *. Then we have defined a topology T_P on X deduced from P and we have proved that (X, T_P) is a T0 space. 4. We have related the aforementioned notion of GV -fuzzy partial metric space with the concept of GV -fuzzy quasi-metric space given by Gregori and Romaguera in [V. Gregori and S. Romaguera, Fuzzy quasi-metric spaces, Applied General Topology 5 (2004), 129-136]. A duality is studied by mimicking the techniques used in [S.G.Matthews, Partial metric topology, Annals of the New York Academy of Sciences 728 (1994), 183-197] by Matthews. / Miravet Fortuño, D. (2019). GENERALIZED FUZZY METRIC SPACES DEFINED BY MEANS OF T-NORMS [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/124816

En este trabajo, introducimos los conjuntos densificables, una nueva clase de subconjuntos de espacios métricos en los que problemas de optimización global e integración múltiple se pueden reducir a problemas unidimensionales, resolviendo el mismo problema sobre ciertas curvas (llamadas curvas alfa-densas). Para realizar el estudio de los conjuntos densificables en espacios métricos, introducimos las nociones de densificador, pseudo-densificabilidad, aproximabilidad por caminos y aproximabilidad numerable por caminos, que proporcionan propiedades topológicas y métricas de dichos conjuntos. Estos conceptos han permitido caracterizar la clase de subconjuntos densificables de los espacios euclídeos con interior no vacío. Extendemos el concepto de densificabilidad a espacios topológicos en general, introduciendo las nociones de densificabilidad simple, condicional, secuencial y topológica. De esta manera, problemas de optimización global pueden ser simplificados aun en ausencia de una métrica. Además, probamos que una de estas extensiones es óptima, en el sentido que ninguna condición más débil permite la mencionada simplificación utilizando una sucesión prefijada de curvas. Asimismo, comparamos la densificabilidad topológica con la extensión de la densificabilidad ya existente a subconjuntos de espacios vectoriales topológicos. Introducimos la noción de densificabilidad lineal, que combina ventajas de ambos conceptos. Finalmente, presentamos una aplicación de la teoría de curvas alfa-densas al cálculo de la dimensión logarítmica.

Uno de los problemas más importantes en Topología Fuzzy es obtener un concepto apropiado de espacio métrico fuzzy. Este problema ha sido abordado por muchos autores desde diferentes puntos de vista. En particular, es de gran interés la noción de métrica fuzzy sobre un conjunto que, con la ayuda de t-normas continuas, introdujeron y estudiaron George y Veeramani. En el presente trabajo hemos continuado con el estudio de estos espacios métricos fuzzy, hemos aportado nuevos ejemplos que nos ayudarán a desarrollar la teoría y hemos tratado otras cuestiones relacionadas con la convergencia, la continuidad y dos tipos de métricas fuzzy llamadas principales y fuertes. En la presente tesis, aportamos nuevos ejemplos de métricas fuzzy y en algunos casos obtenemos que las métricas fuzzy más habituales en la literatura sobre el tema, son casos particulares de las que aquí damos. Tratamos también la extensión de dos métricas fuzzy estacionarias cuando coinciden en la intersección de dos conjuntos. También hemos continuado con el estudio del concepto de p-convergencia en espacios métricos fuzzy introducido por D. Mihet, estudiando algunos aspectos relativos a él y damos una caracterización de aquellos espacios métricos fuzzy, que llamamos principales, en los que la familia de las sucesiones p-convergentes coincide con la familia de las sucesiones convergentes. Además damos un ejemplo de espacio métrico fuzzy no completable y no principal. Definimos el concepto de aplicación t-continua entre espacios métricos fuzzy, que es más fuerte que el de continuidad y revisamos algunas cuestiones referentes a este tipo de aplicaciones, obteniendo como resultado que si el espacio métrico fuzzy de partida es principal entonces las aplicaciones t-continuas coinciden con las aplicaciones continuas. En lo que respecta al capítulo de métricas fuertes, estudiamos una clase de métricas fuzzy estacionarias que incluye la clase de las ultramétricas fuzzy estacionarias. / López Crevillén, A. (2010). Métricas fuzzy. Aplicaciones al filtrado de imágenes en color [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/7351

Desde que L.A. Zadeh presentó la teoría de conjuntos difusos en 1965, esta se ha usado en una amplia serie de áreas de las matemáticas y se ha aplicado en una gran variedad de escenarios de la vida real. Estos escenarios cubren procesos complejos sin modelo matemático sencillo tales como dispositivos de control industrial, reconocimiento de patrones o sistemas que gestionen información imprecisa o altamente impredecible. La topología difusa es un importante ejemplo de uso de la teoría de L.A. Zadeh. Durante años, los autores de este campo han buscado obtener la definición de un espacio métrico difuso para medir la distancia entre elementos según grados de proximidad. El presente trabajo trata acerca de la bicompletación de espacios casi-métricos difusos en el sentido de Kramosil y Michalek. Sherwood probó que todo espacio métrico difuso admite completación que es única excepto por isometría basándose en propiedades de la métrica de Lévy. Probamos aquí que todo espacio casi-métrico difuso tiene bicompletación usando directamente el supremo de conjuntos en [0,1] y límites inferiores de secuencias en [0,1] en lugar de usar la métrica de Lévy. Aprovechamos tanto la bicompletitud y bicompletación de espacios casi-métricos difusos como las propiedades de los espacios métricos difusos y difusos intuicionistas para presentar varias aplicaciones a problemas del campo de la informática. Así estudiamos la existencia y unicidad de solución para las ecuaciones de recurrencia asociadas a ciertos algoritmos formados por dos procedimientos recursivos. Para analizar su complejidad aplicamos el principio de contracción de Banach tanto en un producto de casi-métricas no-Arquimedianas en el dominio de las palabras como en la casi-métrica producto de dos espacios de complejidad casi-métricos de Schellekens. Estudiamos también una aplicación de espacios métricos difusos a sistemas de información basados en localidad de accesos. / Castro Company, F. (2010). Fuzzy Quasi-Metric Spaces: Bicompletion, Contractions on Product Spaces, and Applications to Access Predictions [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/8420