Cellular automata (CA) are fully discrete dynamical systems. Space is represented by a regular lattice while time proceeds in finite steps. Each cell of the lattice is assigned a state, chosen from a finite set of "values". The states of the cells are updated synchronously according to a local interaction rule, whereby each cell obeys the same rule. Formal definitions of deterministic, probabilistic and lattice-gas CA are presented. With the so-called mean-field approximation any CA model can be transformed into a deterministic model with continuous state space. CA rules, which characterise movement, single-component growth and many-component interactions are designed and explored. It is demonstrated that lattice-gas CA offer a suitable tool for modelling such processes and for analysing them by means of the corresponding mean-field approximation. In particular two types of many-component interactions in lattice-gas CA models are introduced and studied. The first CA captures in abstract form the essential ideas of activator-inhibitor interactions of biological systems. Despite of the automaton´s simplicity, self-organised formation of stationary spatial patterns emerging from a randomly perturbed uniform state is observed (Turing pattern). In the second CA, rules are designed to mimick the dynamics of excitable systems. Spatial patterns produced by this automaton are the self-organised formation of spiral waves and target patterns. Properties of both pattern formation processes can be well captured by a linear stability analysis of the corresponding nonlinear mean-field (Boltzmann) equations.

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Cette thèse étudie des ondes localisées pour certaines classes d'équations différentielles non linéaires décrivant des systèmes mécaniques excitables. Ces systèmes correspondent à une chaîne infinie de blocs reliés par des ressorts et qui glissent sur un surface en présence d'une force de frottement non linéaire dépendant de la vitesse. Nous analysons à la fois le modèle de Burridge-Knopoff (avec des blocs attachés à des ressorts tirés à une vitesse constante) et une chaîne de blocs libres glissant sur un plan incliné sous l'effet de la gravité. Pour une classe de fonctions de frottement non-monotones, ces deux systèmes présentent une réponse de grande amplitude à des perturbations au-dessus d'un certain seuil, ce qui constitue l'une des principales propriétés des systèmes excitables. Cette réponse provoque la propagation d'ondes solitaires ou des fronts, en fonction du modèle et des paramètres. Nous étudions ces ondes localisées numériquement et théoriquement pour une grande gamme de lois de frottement et des régimes de paramètres, ce qui conduit à l'analyse d'équations différentielles non linéaires avec avance et retard. Les phénomènes d'extinction de propagation et d'apparition d'oscillations sont également étudiés pour les ondes progressives. L'introduction d'une fonction de frottement linéaire par morceaux permet de construire explicitement des ondes localisées sous la forme d'intégrales oscillantes et d'analyser certaines de leurs propriétés telles que la forme et la vitesse d'ondes. Une preuve de l'existence d'ondes solitaires est obtenue pour le modèle de Burridge-Knopoff pour un couplage faible. / This thesis analyses localized travelling waves for some classes of nonlinearlattice differential equations describing excitable mechanical systems. Thesesystems correspond to an infinite chain of blocks connected by springs and sliding on a surface in the presence of a nonlinear velocity-dependent friction force. We investigate both the Burridge-Knopoff model (with blocks attached to springs pulled at constant velocity) and a chain of free blocks sliding on an inclined plane under the effect of gravity. For a class of non-monotonic friction functions, both systems display a large response to perturbations above a threshold, one of the main properties of excitable systems. This response induces the propagation of either solitary waves orfronts, depending on the model and parameter regime. We study these localized waves numerically and theoretically for a broad range of friction laws and parameter regimes, which leads to the analysis of nonlinear advance-delay differential equations. Phenomena of propagation failure and oscillations of the travelling wave profile are also investigated. The introduction of a piecewise linear friction function allows one to construct localized waves explicitly in the form of oscillatory integrals and to analyse some of their properties such as shape and wave speed. An existence proof for solitary waves is obtained for the excitable Burridge-Knopoff model in the weak coupling regime.

Die elektrische Signalverarbeitung in Nervenzellen basiert auf deren erregbarer Zellmembran. Üblicherweise wird angenommen, dass die in der Membran eingebetteten leitfähigen Ionenkanäle nicht auf direkte Art gekoppelt sind und dass die Kapazität des von der Membran gebildeten Kondensators konstant ist. Allerdings scheinen diese Annahmen nicht für alle Nervenzellen zu gelten. Im Gegenteil, verschiedene Ionenkanäle “kooperieren” und auch die Vorstellung von einer konstanten spezifischen Membrankapazität wurde kürzlich in Frage gestellt. Die Auswirkungen dieser Abweichungen auf die elektrischen Eigenschaften von Nervenzellen ist das Thema der folgenden kumulativen Dissertationsschrift. Im ersten Projekt wird gezeigt, auf welche Weise stark kooperative spannungsabhängige Ionenkanäle eine Form von zellulärem Kurzzeitspeicher für elektrische Aktivität bilden könnten. Solche kooperativen Kanäle treten in der Membran häufig in kleinen räumlich getrennte Clustern auf. Basierend auf einem mathematischen Modell wird nachgewiesen, dass solche Kanalcluster als eine bistabile Leitfähigkeit agieren. Die dadurch entstehende große Speicherkapazität eines Ensembles dieser Kanalcluster könnte von Nervenzellen für stufenloses persistentes Feuern genutzt werden -- ein Feuerverhalten von Nutzen für das Kurzzeichgedächtnis. Im zweiten Projekt wird ein neues Dynamic Clamp Protokoll entwickelt, der Capacitance Clamp, das erlaubt, Änderungen der Membrankapazität in biologischen Nervenzellen zu emulieren. Eine solche experimentelle Möglichkeit, um systematisch die Rolle der Kapazität zu untersuchen, gab es bisher nicht. Nach einer Reihe von Tests in Simulationen und Experimenten wurde die Technik mit Körnerzellen des *Gyrus dentatus* genutzt, um den Einfluss von Kapazität auf deren Feuerverhalten zu studieren. Die Kombination beider Projekte zeigt die Relevanz dieser oft vernachlässigten Facetten von neuronalen Membranen für die Signalverarbeitung in Nervenzellen. / Electrical signaling in neurons is shaped by their specialized excitable cell membranes. Commonly, it is assumed that the ion channels embedded in the membrane gate independently and that the electrical capacitance of neurons is constant. However, not all excitable membranes appear to adhere to these assumptions. On the contrary, ion channels are observed to gate cooperatively in several circumstances and also the notion of one fixed value for the specific membrane capacitance (per unit area) across neuronal membranes has been challenged recently. How these deviations from the original form of conductance-based neuron models affect their electrical properties has not been extensively explored and is the focus of this cumulative thesis. In the first project, strongly cooperative voltage-gated ion channels are proposed to provide a membrane potential-based mechanism for cellular short-term memory. Based on a mathematical model of cooperative gating, it is shown that coupled channels assembled into small clusters act as an ensemble of bistable conductances. The correspondingly large memory capacity of such an ensemble yields an alternative explanation for graded forms of cell-autonomous persistent firing – an observed firing mode implicated in working memory. In the second project, a novel dynamic clamp protocol -- the capacitance clamp -- is developed to artificially modify capacitance in biological neurons. Experimental means to systematically investigate capacitance, a basic parameter shared by all excitable cells, had previously been missing. The technique, thoroughly tested in simulations and experiments, is used to monitor how capacitance affects temporal integration and energetic costs of spiking in dentate gyrus granule cells. Combined, the projects identify computationally relevant consequences of these often neglected facets of neuronal membranes and extend the modeling and experimental techniques to further study them.

Die vorliegende Arbeit behandelt die kollektive Dynamik identischer Klasse-I-anregbarer Elemente. Diese können im Rahmen der nichtlinearen Dynamik als Systeme nahe einer Sattel-Knoten-Bifurkation auf einem invarianten Kreis beschrieben werden. Der Fokus der Arbeit liegt auf dem Studium aktiver Rotatoren als Prototypen solcher Elemente. In Teil eins der Arbeit besprechen wir das klassische Modell abstoßend gekoppelter aktiver Rotatoren von Shinomoto und Kuramoto und generalisieren es indem wir höhere Fourier-Moden in der internen Dynamik der Rotatoren berücksichtigen. Wir besprechen außerdem die mathematischen Methoden die wir zur Untersuchung des Aktive-Rotatoren-Modells verwenden. In Teil zwei untersuchen wir Existenz und Stabilität periodischer Zwei-Cluster-Lösungen für generalisierte aktive Rotatoren und beweisen anschließend die Existenz eines Kontinuums periodischer Lösungen für eine Klasse Watanabe-Strogatz-integrabler Systeme zu denen insbesondere das klassische Aktive-Rotatoren-Modell gehört und zeigen dass (i) das Kontinuum eine normal-anziehende invariante Mannigfaltigkeit bildet und (ii) eine der auftretenden periodischen Lösungen Splay-State-Dynamik besitzt. Danach entwickeln wir mit Hilfe der Averaging-Methode eine Störungstheorie für solche Systeme. Mit dieser können wir Rückschlüsse auf die asymptotische Dynamik des generalisierten Aktive-Rotatoren-Modells ziehen. Als Hauptergebnis stellen wir fest dass sowohl periodische Zwei-Cluster-Lösungen als auch Splay States robuste Lösungen für das Aktive-Rotatoren-Modell darstellen. Wir untersuchen außerdem einen "Stabilitätstransfer" zwischen diesen Lösungen durch sogenannte Broken-Symmetry States. In Teil drei untersuchen wir Ensembles gekoppelter Morris-Lecar-Neuronen und stellen fest, dass deren asymptotische Dynamik der der aktiven Rotatoren vergleichbar ist was nahelegt dass die Ergebnisse aus Teil zwei ein qualitatives Bild für solch kompliziertere und realistischere Neuronenmodelle liefern. / We study the collective dynamics of class I excitable elements, which can be described within the theory of nonlinear dynamics as systems close to a saddle-node bifurcation on an invariant circle. The focus of the thesis lies on the study of active rotators as a prototype for such elements. In part one of the thesis, we motivate the classic model of repulsively coupled active rotators by Shinomoto and Kuramoto and generalize it by considering higher-order Fourier modes in the on-site dynamics of the rotators. We also discuss the mathematical methods which our work relies on, in particular the concept of Watanabe-Strogatz (WS) integrability which allows to describe systems of identical angular variables in terms of Möbius transformations. In part two, we investigate the existence and stability of periodic two-cluster states for generalized active rotators and prove the existence of a continuum of periodic orbits for a class of WS-integrable systems which includes, in particular, the classic active rotator model. We show that (i) this continuum constitutes a normally attracting invariant manifold and that (ii) one of the solutions yields splay state dynamics. We then develop a perturbation theory for such systems, based on the averaging method. By this approach, we can deduce the asymptotic dynamics of the generalized active rotator model. As a main result, we find that periodic two-cluster states and splay states are robust periodic solutions for systems of identical active rotators. We also investigate a 'transfer of stability' between these solutions by means of so-called broken-symmetry states. In part three, we study ensembles of higher-dimensional class I excitable elements in the form of Morris-Lecar neurons and find the asymptotic dynamics of such systems to be similar to those of active rotators, which suggests that our results from part two yield a suitable qualitative description for more complicated and realistic neural models.