Die Genauigkeit der Ergebnisse einer numerischen Simulation von Umformvorgängen wird maßgeblich durch die Beschreibung des Materialverhaltens bestimmt. Neben der Auswahl eines geeigneten Stoffgesetzes zur Darstellung einer Klasse von Werkstoffen ist die Identifikation der in den Modellen enthaltenen Materialparameter zur Charakterisierung seiner besonderen Eigenschaften notwendig. In der vorliegenden Arbeit wird die Bestimmung der Materialparameter eines elastisch-plastischen Deformationsgesetzes zur Beschreibung der plastischen Anisotropie auf Basis der Fließbedingung von Hill unter Berücksichtigung großer Deformationen vorgenommen. Die Ermittlung der Parameter erfolgt durch die Lösung einer nichtlinearen Optimierungsaufgabe (Fehlerquadratminimum) basierend auf dem Vergleich von experimentell durchgeführten Eindringversuchen mit Ergebnissen der numerischen Simulation.

Zur numerischen Simulation piezoelektrischer Probleme mit linearem Materialgesetz wird die adaptive Finite-Element-Methode genutzt. Bei der Lösung der entstehenden Gleichungssysteme vom Sattelpunktstyp wird auf eine Variante des Bramble-Pasciak-CG zurückgegriffen. Die Einbettung von Projektionstechniken in den Löser erlaubt eine Behandlung von verschiedenen Problembesonderheiten, speziell wird hier auf die Fälle konstanten Potentials auf Teilrändern sowie Kontaktprobleme an wachsenden Rissen eingegangen. Erste numerische Ergebnisse werden an einigen Beispielen demonstriert.:1 Einführung 1.1 Problembeschreibung Piezoelektrizität 1.2 Abgeleitete Größen, Materialgesetz, Gleichungen 1.3 Bilinearformen, schwache Formulierung 2 Implementierung 2.1 Sattelpunktsproblem 2.2 FE-Formulierung 2.3 Löser und Vorkonditionierung 2.4 Adaptivität 3 Besonderheiten von Randbedingungen 3.1 Konstantes Potential auf Teilrändern 3.2 Rissproblem 4 Rissschließen und Kontaktproblem 4.1 Motivation für Risskontaktbetrachtung 4.2 Bezeichnungen 4.3 Kontaktproblem für Verschiebung und Behandlung des Potentials 4.4 FEM-Implementierung des Risskontaktes 4.5 Numerische Beispiele

Ziel dieser Arbeit ist die Simulation der Deformation von Bauteilen, welche aus nahezu inkompressiblem Material bestehen. Dabei soll sich das Material sowohl linear als auch nichtlinear elastisch verhalten können. Zusätzlich soll die Belastung des Bauteils beliebig gewählt werden können, das heißt, es sollen kleine als auch große Deformationen möglich sein.:1. Einleitung 2. Grundlagen 3. Aufgabenstellung für linear elastisches Material unter kleinen Deformationen 4. Gemischte Methode der finiten Elemente 5. Herleitung der Fehlerschätzung 6. Aufgabenstellung für nichtlinear elastisches Material unter großen Deformationen 7. Lösungsstrategie A. Anhang

Im Rahmen des Modellierungsseminars wurde die Kopplung einer Strömung mit der Ausbreitung einer reaktiven Substanz im Strömungsgebiet untersucht. Die Strömung wurde dabei durch die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben. Zusätzlich wurde ein mathematisches Modell für die Ausbreitung der Substanz durch eine Diffusions-Konvektions-Gleichung bestimmt. Beide wurden durch die FEM- Sofware NAVIER berechnet und simuliert.:0 Notation 3 1 Aufgabenstellung 4 1.1 Projekt 4 1.2 Navier-Stokes-Strömung gekoppelt mit (passivem) Transport einiger (reaktiver) Substanzen 4 2 Einleitung 6 2.1 Strömungslehre 6 2.2 Regelungstheorie 7 3 Mathematische Modellierung 8 3.1 Strömungsmodellierung 8 3.2 Modell zur Ausbreitung des gelösten Stoffes 8 3.3 Gekoppeltes Modell und Randbedingungen 12 3.4 Grenzschichten 13 3.5 Feedback-Steuerung 15 4 Numerische Simulation 19 4.1 Umsetzung des Modells in NAVIER 19 4.1.1 Mathematische Grundlagen für NAVIER 20 4.1.2 Problemimplementation 21 4.2 Beispielsimulation 24 4.2.1 Gebietstriangulation 24 4.2.2 Konfigurationsdaten sowie Anfangs- und Randbedingungen 25 4.2.3 Ergebnisauswertung 28 4.3 Zusatzfunktionen für die Regelung 34 4.3.1 outflow-Funktion 34 4.3.2 Systemmatrizen 34 4.3.3 Feedback-Funktion 34 5 Zusammenfassung/Ausblick 35 5.1 Zusammenfassung 35 5.2 Ausblick 36 6 Schlusswort 37 7 Quellenverzeichnis 38 8 Verzeichnisse 39

In order to get a better insight into the function of the human middle ear it is necessary to simulate its dynamic behaviour by means of the finite-element method. Three-dimensional measurements of the surfaces of the tympanic membrane and of the auditory ossicles malleus, incus and stapes are carried out and geometrical models are created. On the basis of these data, finite-element models are constructed and the dynamic behaviour of the combinations tympanic membrane with malleus in its elastic suspensions and stapes with annular ligament is simulated. Natural frequencies and mode shapes are computed by modal analysis. These investigations showed that the ossicles can be treated as rigid bodies only in a restricted frequency range from 0 to 3.5 kHz. / Dieser Beitrag ist mit Zustimmung des Rechteinhabers aufgrund einer (DFG-geförderten) Allianz- bzw. Nationallizenz frei zugänglich.

Für die anschauliche Darstellung der Ergebnisse mechanischer Untersuchungen von Bauteilbeanspruchungen existieren diverse Visualisierungsformen. Eine solche Visualisierungsform ist die Darstellung von Hauptspannungstrajektorien, vorwiegend der Hauptnormalspannungstrajektorien des Spannungszustandes eines Bauteils. Trajektorienbilder sind im Bereich des Bauingenieurwesens insbesondere im Massivbau nach wie vor von großem Interesse. So werden beispielsweise die in der Stahlbetonnormung fest verankerten Stabwerkmodelle in erster Linie auf der Basis von Hauptspannungstrajektorien entwickelt. Aus diesem Grund gehören Trajektorienbilder heute nicht nur zum akademischen Standardlehrstoff, sondern werden auch in wissenschaftlichen Veröffentlichungen gern zur Erläuterung von komplexen Spannungszuständen herangezogen. Unglücklicherweise finden sich in der einschlägigen Fachliteratur und in wissenschaftlichen Arbeiten nicht selten grundlegende Fehldarstellungen. Diese Arbeit stellt einen geeigneten Algorithmus zur korrekten Darstellung von Trajektorienbildern auf der Basis numerisch (beispielsweise mit der Finite-Elemente-Methode) berechneter Spannungslösungen bereit. Anhand von systematischen Untersuchungen zu verschiedenen Bauteilgeometrien und Beanspruchungs-konstellationen konnte eine Reihe von immer wieder zu findenden Fehlinterpretationen von Trajektorienbildern aufgezeigt werden. Die oft angenommene Analogie von Spannungstrajektorien zu Stromlinien von Fluidströmungen im Sinne eines „Kraftflusses“ wurde widerlegt. Das Problem bei herkömmlichen Trajektorienbildern, dass diese nicht imstande sind, Auskunft über die Größe der Spannungen zu geben, führte mitunter zu der bisweilen verbreiteten Annahme, die Verdichtung von Trajektorien in einem Trajektorienbild bedeute eine Spannungskonzentration an entsprechender Stelle. Anhand von Beispielen wird dies eindeutig widerlegt. Zur Vermeidung dieses Fehleindrucks wurde eine neue Darstellungsform eingeführt, die neben den Richtungen auch die Größen der Hauptspannungen anhand eines Farbmaßstabes ablesbar macht. Mithilfe einer variablen Schrittweitensteuerung konnte die Genauigkeit bei der Pfadverfolgung der Trajektorien gegenüber festen Schrittweiten maßgeblich verbessert werden. Geeignete Abbruchkriterien gewährleisten das zuverlässige Auffinden von äußeren sowie innenliegenden Bauteilbegrenzungen und die Detektion geschlossener Trajektorien. Einen wesentlichen Punkt stellen mögliche Singularitäten wie isotrope Punkte, isotrope Grenzen oder isotrope Gebiete dar, in denen die Hauptspannungsrichtungen mithilfe der Lösung des Eigenwertproblems nicht eindeutig ermittelbar sind. Deren Nichtbeachtung ist eine wesentliche Ursache für Fehldarstellungen in der Literatur. Die an solchen Stellen auftretenden Effekte und entstehenden Probleme bei der Ermittlung und Interpretierbarkeit von Trajektorienbildern wurden systematisch analysiert und entsprechende Lösungsvorschläge erarbeitet. Bisher blieb die Verwendung von Trajektorienbildern praktisch auf zweidimensionale Probleme beschränkt. Das Potenzial von Spannungstrajektorien zur Visualisierung dreidimensionaler Spannungszustände war bislang noch unerforscht. Daher wurde das Verfahren zur Berechnung von Spannungstrajektorien auf dreidimensionale Spannungszustände übertragen. Während sich einige Teilbereiche des entwickelten Algorithmus, wie beispielsweise die Schrittweitensteuerung, problemlos unter Hinzuziehung einer weiteren Richtungskomponente für dreidimensionale Probleme erweitern lassen, hat sich gezeigt, dass diese Erweiterung auch diverse Nichttrivialitäten enthält. Bei den aus der Berechnung erhaltenen Trajektorien handelt es sich im dreidimensionalen Fall um räumliche Kurven. Eine wesentliche Erkenntnis aus berechneten dreidimensionalen Trajektorienbildern ist, dass sich diese Raumkurven im Unterschied zum ebenen Fall in der Regel nicht schneiden und somit keine Maschen zwischen den Trajektorien wie im Zweidimensionalen aufspannen. Eine noch verbleibende Schwierigkeit bei der Anwendung dreidimensionaler Trajektorienbilder besteht in deren interpretierbarer Darstellung. In der vorliegenden Arbeit wurden hierzu einige Vorschläge erarbeitet sowie deren Anwendbarkeit getestet und bewertet. Um die Möglichkeit der eigenständigen Berechnung von Trajektorienbildern einem breiten Nutzerkreis zugänglich zu machen, können aufbauend auf den Erkenntnissen dieser Arbeit leicht bedienbare Softwarelösungen mit grafischer Benutzeroberfläche entwickelt werden. Der Algorithmus zur Trajektorienermittlung wurde mit diesem Ansinnen in allen Details beschrieben. Auf dem Gebiet der Trajektorien dreidimensionaler Spannungszustände hat sich darüber hinaus noch weiterer Forschungsbedarf herausgestellt, hierzu werden in der Arbeit an den entsprechenden Stellen einige Vorschläge zur Weiterentwicklung gemacht. Der entwickelte Algorithmus ermöglicht darüber hinaus auch direkt auch die Ermittlung von Trajektorien materiell oder geometrisch nichtlinearer sowie dynamischer und sonstiger Probleme, sofern der entsprechende Spannungszustand vorliegt. Außerdem kann der Algorithmus prinzipiell auch zur Bestimmung von Hauptschubspannungstrajektorien oder Hauptmomentenlinien angewandt werden. / There are several kinds of visualisation for the illustration of the results of mechanical investigations of structural elements’ load bearing behaviour. The illustration of the stress state via principal stress trajectories, mainly principal normal stress trajectories, is one of them. In the field of civil engineering, trajectory plots are still of notable interest, particularly in solid construction. Thus, the truss models as part of the European engineering standards for steel-reinforced concrete are primarily developed using principal stress trajectories. For this reason, trajectory plots are not only part of the academic subjects taught at university, but they are also used in scientific publications for the illustration of complex stress states. Unfortunately, fundamental misrepresentations are not rare in the relevant literature and scientific works. This work provides a suitable algorithm for accurate trajectory plots based on numerically computed stress solutions (e.g. using the finite element method). By means of systematic investigations of several structural element’s geometries and loading situations, a number of prevalent misinterpretations was identified. The analogy often assumed between stress trajectories and streamlines of fluid flow in terms of “load flow” has been disproved. A property of traditional trajectory plots is not able to indicate the level of stress. Thus, in areas of narrowing trajectories stress concentrations are often assumed. By means of examples this assumption was clearly disproved. To prevent the appearance of such misimpressions, the stress levels are represented using a colour scale known from contour plots. An adaptive incrementation during path tracing allows a significant increase of accuracy compared with uniform incrementation. Suitable stop criteria ensure reliable detection of outer and inner borders as well as closing of trajectories. One important aspect is the appearance of singularities like isotropic points, isotropic borders and isotropic areas, where the principal stress directions in terms of eigenvectors are not unique. Non-observance is one of the main causes of misrepresentations of trajectory plots in literature. The effects due to the appearance of isotropic points and the arising problems for calculation and interpretation of stress trajectories were systematically analysed, and proposals for a solution were made. Up to now, the usage of trajectory plots was limited to two-dimensional problems. The potential of stress trajectories for the visualisation of three-dimensional stress states was still unexplored. Therefore, the algorithm for the calculation of stress trajectories was augmented in three dimensions. Some parts of the two-dimensional algorithm like adaptive incrementation could be directly translated simply considering the third coordinate, whereas the necessary modifications of some parts turned out to be non-trivial. The stress trajectories of three-dimensional stress states prove to be space curves. An essential finding from the calculated three-dimensional trajectory plots was, that three-dimensional trajectories – compared to two-dimensional trajectories – generally do not intersect each other. According to this, three-dimensional trajectories generally do not build meshes. The interpretable display of three-dimensional trajectories is still a difficulty. In this work, the applicability of some methods has been tested and assessed. To enable a large group of users to create stress trajectory plots individually, easily operated software solutions with a graphical user interface should be developed. For this purpose, the developed algorithm for tracing trajectories is described in every detail. In the field of three-dimensional stress trajectories need of further research came to light, which is specified in the corresponding parts of this work. In addition, the developed algorithm allows also the calculation of stress trajectories of geometrical and material non-linear as well as dynamic and other problems, if only the stress state is available. Furthermore, the algorithm can be applied for the calculation of principal shear stress trajectories and principal moment trajectories.

Be it in the weather forecast or while swimming in the Baltic Sea, in almost every aspect of every day life we are confronted with flow phenomena. A common model to describe the motion of viscous incompressible fluids are the Navier-Stokes equations. These equations are not only relevant in the field of physics, but they are also of great interest in a purely mathematical sense. One of the difficulties of the Navier-Stokes equations originates from a non-linear term. In this thesis, we consider the Oseen equations as a linearisation of the Navier-Stokes equations. We restrict ourselves to the two-dimensional case. Our domain will be the unit square. The aim of this thesis is to find a suitable numerical method to overcome known instabilities in discretising these equations. One instability arises due to layers of the analytical solution. Another instability comes from a divergence constraint, where one gets poor numerical accuracy when the irrotational part of the right-hand side of the equations is large. For the first cause, we investigate the layer behaviour of the analytical solution of the corresponding stream function of the problem. Assuming a solution decomposition into a smooth part and layer parts, we create layer-adapted meshes in Chapter 3. Using these meshes, we introduce a numerical method for equations whose solutions are of the assumed structure in Chapter 4. To reduce the instability caused by the divergence constraint, we add a grad-div stabilisation term to the standard Galerkin formulation. We consider Taylor-Hood elements and elements with a discontinous pressure space. We can show that there exists an error bound which is independent of our perturbation parameter and get information about the convergence rate of the method. Numerical experiments in Chapter 5 confirm our theoretical results.:Acknowledgement III Notation IV 1 Introduction 1 1.1 Existence of solutions 2 1.2 Transformation into a fourth-order problem 4 2 Asymptotic analysis 6 2.1 A fourth-order problem in 1D 6 2.2 A fourth-order problem in 2D 14 2.2.1 Asymptotic expansion 19 2.2.2 Estimation of the residual 26 2.2.3 Asymptotic expansion without compatibility conditions 30 3 Solution decomposition and layer-adapted meshes 32 3.1 Solution decomposition 32 3.2 Layer-adapted meshes 33 3.3 Interpolation errors on layer-adapted meshes 36 4 Galerkin method and stabilisation 41 4.1 Discrete problem and stabilised formulation 41 4.2 A priori error estimates 44 5 Numerical results 48 5.1 Numerical evaluation of inf-sup constants 48 5.1.1 Theoretical aspects 48 5.1.2 Numerical results for β0 and B0 50 5.2 Convergence studies 53 5.2.1 Uniformity in ε 54 5.2.2 Convergence order 55 5.2.3 Necessity of stabilisation 56 5.2.4 Further experiments without known exact solution 56 6 Conclusions and outlook 60 A Numerical study of the stability estimate (2.35) 62 Bibliography 67

Die simulative Absicherung von Produkten in den frühen Phasen der Produktentwicklung wird immer wichtiger, um den Anforderungen nach steigender Effizienz gerecht zu werden. Da das Angebot an erfahrenen Berechnungsingenieuren mit langjähriger Berufserfahrung begrenzt ist gilt es weniger erfahrene Simulationsanwender bei der Durchführung von aussagekräftigen Finite-Elemente-Simulationen zu unterstützen. Die Autoren stellen im Rahmen des Beitrags das Konzept des Analyseteils FEdelM eines FEA-Assistenzsystems vor, welches strukturmechanische Finite-Elemente (FE) Simulationen auf Plausibilität überprüft und auftretende Fehler möglichst automatisiert zu erkennt und behebt. Hierbei werden die einzelnen Module und deren Verknüpfungen untereinander und zu anderen Anwendungen vorgestellt.

Einleitung Moderne Simulations- und Berechnungsmethoden, wie beispielsweise die Finite-Elemente-Methode (FEM), erlauben dem Konstrukteur bereits in einer relativ frühen Phase des Entwicklungsprozesses die wesentlichen Eigenschaften des Produktes virtuell am Computer zu analysieren. Die Ergebnisse dieser Berechnungen können anschließend zur zielgerichteten Verbesserung ausgewählter Produkteigenschaften genutzt werden. Der Aufwand für die Optimierung ist dabei in erster Linie von der Komplexität des Produktes abhängig. Produkte, bei welchen die mathematischen Zusammenhänge zwischen den Ein- und Ausgangsparametern bekannt ist, lassen sich oftmals recht einfach analytisch optimieren. Bei komplexen Produkten oder einer großen Anzahl an Einflussparametern lassen sich diese Zusammenhänge in vielen Fällen nicht herleiten, so dass die Optimierung bisher meist nach dem Trial and Error-Verfahren erfolgte. Diese heuristische Vorgehensweise führt durch eine hohe Anzahl an notwendigen Iterationsschleifen zu einem extremen Anstieg der Zeit und der Kosten, wobei die Wiederholungsrate des Entwicklungsprozessschrittes in hohem Maße von der Erfahrung und dem vorhandenen Wissen des Konstrukteurs abhängig ist. Der Einsatz von wissenschaftlichen Optimierungsverfahren, wie beispielsweise der Topologieoptimierung, ermöglicht eine zielgerichtete und weitestgehend automatisierbare Optimierung von komplexen Produkten. Die hohe Komplexität des Produktes ist dabei oftmals nicht auf den ersten Blick ersichtlich. Beispielsweise gestaltet sich die Gewichtsoptimierung von Druckbehältern mit nicht rotationsymmetrischen Querschnitten aufgrund der komplexen Spannungsverläufe schwierig. Grundsätzlich wird bei Leichtbaukonstruktionen versucht, die zur Verfügung stehende Werkstofffestigkeit in den gegebenen Sicherheitsgrenzen voll auszuschöpfen. Hierfür ist es notwendig, die Materialverteilung an dem Kraftverlauf anzupassen. Bei einem mehrachsigen Spannungszustand, wie er bei den Druckbehältern mit komplexen Geometrien vorliegt, bestehen zwischen der Materialverteilung und den Spannungsverläufen über die Geometrie komplexe Zusammenhänge, so dass für die optimale Materialverteilung keine allgemeingültige triviale Lösung existiert.

Die Finite Elemente Analyse (FEA) ist aus heutiger Sicht aus dem Produktentwicklungsprozess nicht mehr wegzudenken. Zur Sicherstellung einer kontinuierlich wachsenden Innovationskraft sind viele kleine und mittelständische Unternehmen auf einen wirtschaftlichen Einsatz der FEA angewiesen, weshalb diese vermehrt auf Freeware Programme (z.B. Z88Aurora) zurückgreifen. Die dabei meist verwendete, linear statische Analyse von Einzelkomponenten gehört deshalb bei heutigen Simulationsaufgaben längst zum Tagesgeschäft. Diese isolierte Betrachtung von einzelnen Bauteilen ist allerdings oftmals aufgrund der fehlenden Interaktion mit benachbarten Komponenten nicht realitätsnah, weshalb komplexe numerische Simulationen von Baugruppen herangezogen werden müssen. Die Abbildung der gegenseitigen Wechselwirkung entspricht dabei einer nichtlinearen Randbedingung, da sich der Zustand zwischen den Kontaktzonen (offen oder geschlossen) während des Rechenlaufes ändern kann. Dieser technisch-physikalische Effekt lässt sich in nahezu jedem technischen System – beispielsweise einer Zahnradpaarung, einem Kettentrieb, usw. – beobachten, weshalb dessen Berücksichtigung für die Ergebnisgüte eine große Rolle spielt. Das hierfür in Z88Aurora implementierte Kontaktmodul erlaubt dem Anwender ebendiese Anbindung des elastischen Umfeldes sowie eine Detailbetrachtung der Verbindungsstelle (Kontaktdruck). Die für den industriellen Einsatz essentielle Validität der Berechnungsergebnisse wird anhand analytisch berechenbarer Geometrien, wie etwa einem Zugstab, nachgewiesen. Zusätzlich werden die Benchmark-Tests von der National Agency for Finite Element Methods and Standards (NAFEMS) sowie der Kontakt Patch-Test nach Bathe herangezogen, um die Leistungsfähigkeit und Stabilität des Z88-Kontaktalgorithmus zu erproben. Hierbei wird unabhängig von der Ausprägung des Kontaktabstands und der Oberflächenvernetzung der Bauteile die korrekte Finite-Elemente-Kontaktanalyse anhand der Homogenität der Kontaktdruckverteilung bewertet. Auf Basis dieser Benchmark-Tests und weiterführender Vergleichsrechnungen mit kommerziellen FE-Systemen zeigt sich, dass die Ergebnisse des Kontaktmoduls von Z88Aurora valide sind und die Software für den produktiven Einsatz in der Industrie geeignet ist.