Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

L'ensemble des travaux présentés dans cette thèse porte sur la simulation numérique des procédés de coextrusion par un modèle d'écoulement stratifié basé sur la méthode du champ de phase. L'avantage technologique offert par la coextrusion réside dans la possibilité de combiner des matériaux ayant des propriétés physiques très spécifiques dans un produit unique. Toutefois, les différences rhéologiques entre les divers matériaux sont elles-mêmes responsables d'un phénomène de distorsion de l'interface séparant deux couches adjacents. Les données expérimentales en coextrusion bicouches montrent que, en raison des différences de viscosité et d'élasticité entre le deux composants, le fluide le moins visqueux encapsule le fluide plus visqueux et le passage d'une configuration stratifiée à une encapsulée comporte une perte de qualité du produit final. Ce phénomène, dit d'enrobage représente donc un sujet de très grande actualité dans la recherche industrielle et la compréhension des mécanismes le générant sera utile pour l'amélioration des procédés de mise en forme des polymères. La nature intrinsèquement tridimensionnelle de l'enrobage a requis le développement d'un code pour la simulation tridimensionnelle basée sur la méthode des volumes finis pour la discrétisation des équations de Navier-Stokes pour les écoulement incompressibles et isothermes couplées avec une loi constitutive différentielle non linéaire (modèles de Giesekus ou PTT). La présence de deux fluides est prise en compte par une équation scalaire supplémentaire décrivant l'évolution de l'interface sur un maillage fixe. Cette équation offre une interprétation physique précise car elle est dérivée de la thermodynamique de séparation de phase d'un fluide binaire. Le modèle proposé est validé par confrontation avec les résultats expérimentaux et numériques disponibles dans la littérature. Une étude numérique de la coextrusion en filière rectangulaire est effectuée afin de mettre en évidence les facteurs influençant l'enrobage et la nature de son origine / The objective of the present work is the analysis of coextrusion processes by numerical simulation based on phase-field modeling of stratified confined flows. The study of such flows is motivated by the presence of complex phenomena appearing in a vast range of industrial operational coextrusion conditions due to the differences in the components properties and their viscoelastic behavior. The basic idea in coextrusion is to combine several layers of different polymers in a common die, to form a unique product with enhanced properties. However, the existence of fluid stratification in the die is responsible of a severe distortion of the interface between the fluid components, causing a loss of efficiency for the whole process. Experimental data show that, even if a stratified initial configuration is imposed at the die entry, one fluid eventually encapsulates the other in most of the flow condition analyzed. The intrinsically three-dimensional nature of this phenomenon has required the development of a three-dimensional flow solver based on the finite volume discretization of the Navier-Stokes equations for incompressible and isothermal flow, together with differential nonlinear constitutive equations (Giesekus, PTT models). The presence of two fluid phases is taken into account by a phase field model that implies the solution of an additional scalar equation to describe the evolution of the interface on a fixed Eulerian grid. This model, unlike others of the same family, has a thermodynamic derivation and can be physically interpreted. The proposed method is tested against experimental data and solutions already available in literature and a study of coextrusion in rectangular dies is performed to identify the dependence of encapsulation on the flow parameters

Cette thèse est consacrée à la modélisation, à l'analyse mathématique et à la simulation numérique d'écoulements de divers fluides complexes dans des domaines de faible épaisseur. En effet, les modèles de fluides newtoniens ne sont pas toujours suffisants pour décrire de manière réaliste les écoulements considérés. Plusieurs phénomènes peuvent être pris en compte :<br /> * le caractère complexe des fluides eux-mêmes, comme pour des fluides non-newtoniens ;<br /> * l'hétérogénéité de l'écoulement, dans le cas de mélanges de fluides par exemple.<br />Il est important d'analyser comment ces modèles peuvent être simplifiés dans le cas de domaines minces, et d'étudier rigoureusement les modèles approchés.<br />Dans une première partie, des écoulements de fluides non newtoniens visco-élastiques représentés par une loi de comportement de type Oldroyd-B couplée aux équations de Navier-Stokes sont étudiés. Dans le cas de géométries minces, un modèle approché a été proposé. On justifie la validité de cette approximation ; la démonstration repose sur des estimations et des résultats de régularité fins.<br />Dans une deuxième partie, on considère un modèle d'écoulement piezovisqueux utilisé en lubrification hydrodynamique. Ce modèle fait aussi intervenir la déformation élastohydrodynamique du domaine (déformation du type Hertz), et l'aspect diphasique de la cavitation, qui est décrit par le modèle d'Elrod-Adams (en pression-saturation). On montre l'existence d'une solution à ce problème pour des lois pression-viscosité réalistes.<br />Dans une troisième partie, on introduit un modèle diphasique à interface diffuse, permettant de rendre compte de phénomènes plus fins tels que les gouttes. Pour cela, un paramètre d'ordre est introduit (fraction volumique d'une phase dans le mélange), gouverné par le modèle de Cahn-Hilliard. Un système approché est obtenu de manière heuristique pour un domaine de faible épaisseur. On étudie les propriétés mathématiques de ce système, et on montre un résultat d'existence, avec prise en compte ou non de la tension de surface.<br />Dans la dernière partie, un schéma numérique est mis en place pour simuler le modèle décrit précédemment d'écoulements diphasiques en domaines minces. Il permet de prendre en compte différents phénomènes physiques, comme de grandes variations de la viscosité ou la présence de recirculations à l'intérieur d'une goutte, ainsi que de simuler des mélanges dans le cadre d'écoulements lubrifiés.

La matière molle se consacre à l'étude des propriétés de fluides complexes. Ces fluides diffèrent des fluides simples à cause de l'existence d'une microstructure qui provient de l'arrangement particulier des éléments mésoscopiques constitutifs du matériau (agrégats de particules de noir de carbone, enchevêtrements de polymères, micelles de molécules tensioactives). C'est le couplage entre microstructure et déformation qui confère aux fluides complexes des comportements singuliers et qui engendre des écoulements hétérogènes. Comprendre ces états hors-équilibre et les dynamiques associées présente un intérêt à la fois industriel et fondamental. La rhéologie en cellule de Taylor-Couette est une technique très répandue pour l'étude de la déformation et de l'écoulement de fluides complexes. Cependant, cette méthode n'est pas adaptée à l'étude des écoulements hétérogènes car elle ne fournit qu'une description globale de l'écoulement. Pour pallier ce problème, une technique de vélocimétrie ultrasonore à deux dimensions a été couplée à la rhéologie classique. Cette visualisation locale nous a permis d'étudier l'instabilité inertielle de Taylor-Couette dans les fluides newtoniens, les instabilités élastiques de fluides viscoélastiques (polymères et solutions micellaires), la fluidification de fluides à seuil (gels de noir de carbone, microgels de carbopol et émulsions) et enfin la rupture de gels de protéine soumis à une contrainte de cisaillement. Tous ces exemples montrent des coexistences entre différents états induits par l'écoulement et permettent de revisiter les approches rhéologiques à partir de caractérisations locales des champs de déformation et de vitesse.

La matière molle se consacre à l'étude des propriétés de fluides complexes. Ces fluides diffèrent des fluides simples à cause de l'existence d'une microstructure qui provient de l'arrangement particulier des éléments mésoscopiques constitutifs du matériau (agrégats de particules de noir de carbone, enchevêtrements de polymères, micelles de molécules tensioactives). C'est le couplage entre microstructure et déformation qui confère aux fluides complexes des comportements singuliers et qui engendre des écoulements hétérogènes. Comprendre ces états hors-équilibre et les dynamiques associées présente un intérêt à la fois industriel et fondamental. La rhéologie en cellule de Taylor-Couette est une technique très répandue pour l'étude de la déformation et de l'écoulement de fluides complexes. Cependant, cette méthode n'est pas adaptée à l'étude des écoulements hétérogènes car elle ne fournit qu'une description globale de l'écoulement. Pour pallier ce problème, une technique de vélocimétrie ultrasonore à deux dimensions a été couplée à la rhéologie classique. Cette visualisation locale nous a permis d'étudier l'instabilité inertielle de Taylor-Couette dans les fluides newtoniens, les instabilités élastiques de fluides viscoélastiques (polymères et solutions micellaires), la fluidification de fluides à seuil (gels de noir de carbone, microgels de carbopol et émulsions) et enfin la rupture de gels de protéine soumis à une contrainte de cisaillement. Tous ces exemples montrent des coexistences entre différents états induits par l'écoulement et permettent de revisiter les approches rhéologiques à partir de caractérisations locales des champs de déformation et de vitesse. / Soft matter scientists are dedicated to studying the properties of complex fluids. Complex fluids differ from simple fluids in that they possess a microstructure resulting from the particular arrangement of mesoscopic elements which constitute the material (aggregates of carbon black particles, entangled polymers, micelles of surfactant molecules, etc.). Peculiar flow behaviors in complex fluids, such as heterogeneous flows, arise from the coupling between microstructure and flow. Understanding these non-equilibrium states and the associated dynamics is both of industrial and fundamental interest. Rheology in a Taylor-Couette cell is a wide-spread technique for investigating the deformation and flow of complex fluids. However, this method is mostly blind to heterogeneous flows as it only provides a global description of the flow. To overcome this problem, an ultrasonic imaging technique has been combined with classical rheology. This local visualisation has allowed us to study the inertial Taylor-Couette instability in Newtonian fluids, elastic instabilities in viscoelastic fluids (polymers and micellar solutions), the fluidisation of yield stress fluids (carbon black gels, carbopol microgels and emulsions) and finally the failure of protein gels under stress. In all these cases we evidence a coexistence between different flow-induced states and revisit global rheological approaches through local characterizations of deformation and velocity fields.

Dans une première partie, nous étudions des schémas numériques utilisant la méthode des éléments finis pour discrétiser le système d'équations Oldroyd-B modélisant un fluide viscolélastique avec conditions de collement dans un domaine borné, en dimension deux ou trois. Le but est d'obtenir des schémas stables au sens où ils dissipent une énergie libre, imitant ainsi des propriétés thermodynamiques de dissipation similaires à celles identifiées pour des solutions régulières du modèle continu. Cette étude s'ajoute a de nombreux travaux antérieurs sur les instabilités observées dans les simulations numériques d'équations viscoélastiques (dont celles connues comme étant des Problèmes à Grand Nombre de Weissenberg). A notre connaissance, c'est la première étude qui considère rigoureusement la stabilité numérique au sens de la dissipation d'une énergie pour des discrétisations de type Galerkin. Dans une seconde partie, nous adaptons et utilisons les idées d'une méthode numérique initialement développée dans des travaux de Y. Maday, A. T. Patera et al., la méthode des bases réduites, pour simuler efficacement divers modèles multi-échelles. Le principe est d'approcher numériquement chaque élément d'une collection paramétrée d'objets complexes dans un espace de Hilbert par la plus proche combinaison linéaire dans le meilleur sous-espace vectoriel engendré par quelques éléments bien choisis au sein de la même collection paramétrée. Nous appliquons ce principe pour des problèmes numériques liés : à l'homogénéisation numérique d'équations elliptiques scalaires du second-ordre, avec coefficients de diffusion oscillant à deux échelles, puis ; à la propagation d'incertitudes (calculs de moyenne et de variance) dans un problème elliptique avec coefficients stochastiques (un champ aléatoire borné dans une condition de bord du troisième type), enfin ; au calcul Monte-Carlo de l'espérance de nombreuses variables aléatoires paramétrées, en particulier des fonctionnelles de processus stochastiques d'Itô paramétrés proches de ce qu'on rencontre dans les modèles micro-macro de fluides polymériques, avec une variable de contrôle pour en réduire la variance. Dans chaque application, le but de l'approche bases-réduites est d'accélérer les calculs sans perte de précision / In a first part, we study numerical schemes using the finite-element method to discretize the Oldroyd-B system of equations, modelling a viscoelastic fluid under no flow boundary condition in a 2- or 3- dimensional bounded domain. The goal is to get schemes which are stable in the sense that they dissipate a free-energy, mimicking that way thermodynamical properties of dissipation similar to those actually identified for smooth solutions of the continuous model. This study adds to numerous previous ones about the instabilities observed in the numerical simulations of viscoelastic fluids (in particular those known as High Weissenberg Number Problems). To our knowledge, this is the first study that rigorously considers the numerical stability in the sense of an energy dissipation for Galerkin discretizations. In a second part, we adapt and use ideas of a numerical method initially developped in the works of Y. Maday, A.T. Patera et al., the reduced-basis method, in order to efficiently simulate some multiscale models. The principle is to numerically approximate each element of a parametrized family of complicate objects in a Hilbert space through the closest linear combination within the best linear subspace spanned by a few elementswell chosen inside the same parametrized family. We apply this principle to numerical problems linked : to the numerical homogenization of second-order elliptic equations, with two-scale oscillating diffusion coefficients, then ; to the propagation of uncertainty (computations of the mean and the variance) in an elliptic problem with stochastic coefficients (a bounded stochastic field in a boundary condition of third type), last ; to the Monte-Carlo computation of the expectations of numerous parametrized random variables, in particular functionals of parametrized Itô stochastic processes close to what is encountered in micro-macro models of polymeric fluids, with a control variate to reduce its variance. In each application, the goal of the reduced-basis approach is to speed up the computations without any loss of precision