Reproduction de : Thèse de doctorat : Sciences Mathématiques : Faculté des sciences de Paris : 1887. / Titre provenant de la page de titre du document numérisé.

Titre de l'écran-titre (visionné le 13 novembre 2023) / Dans les dernières années, un analogue non linéaire aux séries de Fourier a intéressé plusieurs mathématiciens. Ce dernier permet d'approximer un signal par une somme de termes dont les composantes représentent la fréquence et l'amplitude. Il s'agit du déroulement de Blaschke de fonctions analytiques introduit par Coifman, ou développement de Fourier adaptatif. L'idée de Coifman a été de factoriser toutes les racines dans le disque unité en interprétant les monômes z ↦ zⁿ présents dans la série de Taylor comme des produits de Blaschke. Il a aussi utilisé la factorisation de Blaschke pour les fonctions analytiques sur un voisinage du disque unité. Ce développement en série a été appliqué à plusieurs autres problèmes depuis, car il présente de nombreux avantages sur les séries de Fourier classiques. Néanmoins, la question de convergence de cette représentation en série est un problème majeur depuis plusieurs décennies. On sait seulement qu'il y a convergence de la série dans certains sous-espaces de H² avec poids et, par des résultats récents, dans les espaces de Hardy. Dans ce mémoire, on présente un déroulement de fonctions dans les espaces de Hilbert à noyau reproduisant et dans les espaces de Hardy qui est une généralisation du déroulement de Blaschke et qui est inspiré par la théorie des opérateurs et les espaces de de Branges-Rovnyak. Pour ce faire, on développe d'abord les notions préalables de l'analyse complexe, harmonique et fonctionnelle. Nos résultats principaux sont des théorèmes de convergence pour ces développements en série. Quelques applications et exemples sont aussi présentés. / Over the last few years, many mathematicians became interested in a nonlinear analogue of Fourier series that allows them to approximate a signal by a sum of terms whose components represent frequency and amplitude. It is the Blaschke unwinding series introduced by Coifman, or adaptive Fourier decomposition. Coifman's idea was to factor all the roots in the unit disk by thinking of the monomials z ↦ zⁿ in the Taylor series as Blaschke products. He also used the Blaschke factorization for analytic functions in a neighbourhood of the unit disk. Because it has many advantages over the classical Fourier series, this series expansion has been used in several other problems since. Yet, the question of convergence of the series has remained a major problem for a few decades. We only know that it converges in certain weighted subspaces of H² and, by recent work, in Hardy spaces. In this thesis, we introduce an expansion scheme in reproducing kernel Hilbert spaces and Hardy spaces. It is a generalization of the Blaschke unwinding series expansion which is motivated by operator theory and de Branges-Rovnyak spaces. To do this, we first introduce the necessary background material in complex analysis, harmonic analysis, and functional analysis. Our main results are convergence theorems for these series expansions. We also present some applications and examples.

Thesis Ph. D.--Mathematics--Åbo (Finland)--Åbo akademi university, 2006.

Thèse de doctorat : Sciences mathématiques : Paris, Faculté des sciences : 1858. / Titre provenant de l'écran-titre.

Thèse--Paris.

Soit p un polynôme d'une variable complexe z. On peut trouver plusieurs inégalités reliant le module maximum de p et une combinaison de ses coefficients. Dans ce mémoire, nous étudierons principalement les preuves connues de l'inégalité de Visser. Nous montrerons aussi quelques généralisations de cette inégalité. Finalement, nous obtiendrons quelques applications de l'inégalité de Visser à l'inégalité de Chebyshev. / Let p be a polynomial in the variable z. There exist several inequalities between the coefficents of p and its maximum modulus. In this work, we shall mainly study known proofs of the Visser inquality together with some extensions. We shall finally apply the inequality of Visser to obtain extensions of the Chebyshev inequality.

Soit p un polynôme d'une variable complexe z. On peut trouver plusieurs inégalités reliant le module maximum de p et une combinaison de ses coefficients. Dans ce mémoire, nous étudierons principalement les preuves connues de l'inégalité de Visser. Nous montrerons aussi quelques généralisations de cette inégalité. Finalement, nous obtiendrons quelques applications de l'inégalité de Visser à l'inégalité de Chebyshev. / Let p be a polynomial in the variable z. There exist several inequalities between the coefficents of p and its maximum modulus. In this work, we shall mainly study known proofs of the Visser inquality together with some extensions. We shall finally apply the inequality of Visser to obtain extensions of the Chebyshev inequality.

Dans cette thèse, nous allons dans un premier temps proposer une définition d'espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme induite par le maximum des normes de ses différents plongements complexes. Cette définition s'appuie sur la théorie des espaces analytiques sur un corps non archimédien introduite par V. Berkovich.Nous montrerons ensuite que la définition que nous proposons donne lieu à une catégorie qui satisfait des propriétés essentielles comme une description " simple " des ensembles morphismes entre espaces analytiques, l'existence de produits fibrés et d'un foncteur d'analytification induit par une propriété universelle.Dans une troisième partie, nous étudierons divers propriétés des morphismes finis entre espaces analytiques et en déduirons la connexité locale par arcs des espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme décrite ci-dessus.Enfin, nous définirons une notion de dimension pour les espaces de Berkovich sur un anneau d'entiers de corps de nombres et étudierons plus en détail le foncteur d'analytification en montrant par exemple que le morphisme d'analytification est fidèlement plat et que ce foncteur respecte la dimension. / In the first part of this thesis, we give a definition of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm induced by the maximum of the norms of thel complex embeddings. This definition uses V. Berkovich’s theory of analytic spaces over a non-archimedean field. Then we show that this definition leads to a category which satisfies some basic properties as a “simple” description of sets of morphisms between analytic spaces, the existence of fiber products and analytification functor defines by a universal property. In a third part, we study some properties of finite morphisms between analytic spaces and deduce the local arcwise connectedness of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm described above. Finally, we define a notion of dimension for Berkovich spaces over a ring of integers of number field and study in more detail the analytification functor, in particular, that the analytification morphism is faithfully flat and that this functor respects dimension.

Cette thèse traite de la résolution théorique et constructive de problèmes inverses pour des équations de diffusion isotropes dans des domaines plan simplement et doublement connexes. A partir de données de Cauchy (potentiel, flux) disponibles sur une partie de la frontière du domaine, il s'agit de retrouver ces quantités sur la partie du bord où l'on ne dispose pas d'information, ainsi qu'à l'intérieur du domaine. L'approche mise au point consiste à considérer les solutions de l'équation de diffusion comme les parties réelles des solutions complexes d'une équation de Beltrami conjuguée. Ces fonctions analytiques généralisées d'un type particulier permettent de définir des classes de Hardy, dans lesquelles le problème inverse est régularisé en étant reformulé comme un problème de meilleure approximation sous contrainte (ou encore problème extrémal borné, d'adéquation aux données). Le caractère bien posé de celui-ci est assuré par des résultats d'existence et de régularité auxquels s'ajoutent des propriétés de densité à la frontière. Une application au calcul de la frontière libre d'un plasma sous confinement magnétique dans le tokamak Tore Supra (CEA-IRFM Cadarache) est proposée. La résolution du problème extrémal à partir d'une base de fonctions adaptées (harmoniques toroïdales) fournit un critère permettant de qualifier les estimations de la frontière plasma. Un algorithme de descente permet de le faire décroître, en améliorant l'estimation de la frontière. Cette méthode, qui ne requiert pas d'intégration de l'équation dans le domaine, fournit de très bons résultats et semble appelée à connaître des extensions pour d'autres tokamaks tels que JET et ITER.