Les électrons dans les atomes lourds, en particulier ceux qui sont proches du noyau, sont soumis à des effets relativistes importants. Il est nécessaire de prendre en compte ces effets si l'on veut, par exemple, décrire précisément les niveaux d'énergies des atomes. L'étude des modèles atomiques quantiques relativistes remonte aux travaux fondateurs de P.A.M. Dirac, dès 1928. Ses travaux ont permis d'anticiper la découverte des antiparticules. En effet, le hamiltonien quantique qu'il obtient pour l'atome d'hydrogène n'a de sens physique que si l'on peut interpréter ses énergies négatives comme celles d'une mer infinie de particules virtuelles. Un « trou » dans le spectre des énergies négatives est alors interprété comme l'apparition d'une anti-particule : le positron. Peu après, en 1938, pour étudier les atomes à plusieurs électrons Swirles propose un modèle d'approximation qui donnera lieu aux fameuses équations de Dirac-Fock. Cette approche qui est auto-consistante, et pour laquelle les équations obtenues sont non linéaires, permet une étude numérique dont les résultats sont en très bon accord avec les mesures expérimentales. Pour autant, la motivation physique de cette approche reste incomplète. Elle s'appuie essentiellement sur l'analogue non relativiste des modèles atomiques quantiques, mais ne tient pas compte de l'interprétation de Dirac. De plus, le lien des équations de Dirac-Fock avec l'approche théorique donnée par l'électrodynamique quantique (QED) reste à établir clairement. En particulier, en QED, la question de la définition d'un espace qui décrit les états électroniques reste posée. Le travail présenté ici est une tentative d'apporter quelques réponses mathématiques rigoureuses sur ces problèmes. Nous commencerons par construire une famille de fonctionnelles à partir du hamiltonien formel de la QED qui dépendra du choix de l'espace à un électron. On se placera dans l'approximation de Hartree-Fock. On étudiera alors le problème de la stabilité, celui de l'existence de minima pour ces fonctionnelles (avec ou sans condition de charge totale fixée). On se consacrera ensuite à l'exposé des résultats obtenus qui permettent de comparer les deux approches : « Equations de Dirac-Fock » et « QED dans l'approximation de Hartree-Fock ». On distinguera en particulier le cas des couches pleines qui conduit aux mêmes résultats dans les deux cas, tout au moins pour des constantes de couplages faibles.

L'étude des propriétés hydrauliques des milieux fracturés s'inscrit dans le cadre général de la gestion de la ressource en eau et plus particulièrement dans le domaine de la gestion des déchets et de leur stockage dans des sites d'enfouissement. Les fractures, qui constituent les chemins d'écoulements préférentiels dans les milieux fissurés, sont distribuées sur une large gamme d'échelles et présentent une géométrie complexe. Le travail de la thèse est centré sur la caractérisation des corrélations spatiales dans les réseaux de fractures et sur l'étude de l'effet induit par ces corrélations sur les propriétés de connectivité et hydrauliques de ces milieux. De nombreuses études de terrain ont montré que la répartition des fractures n'est pas homogène dans l'espace. Cette évolution de la densité de fracturation suit un modèle fractal, qui, couplé avec une distribution des longueurs de fractures, constitue un modèle pertinent de réseau de fractures. L'organisation spatiale des réseaux se retrouve aussi à un degré supérieur dans une corrélation positive entre la position des fractures et leur longueur, telle qu'il existe en moyenne une zone d'écran autour des fractures dont l'aire est corrélée à la longueur. Le travail préliminaire de caractérisation de la géométrie des réseaux est complété par une analyse stéréologique permettant de relier les propriétés apparentes des réseaux, déterminées à partir d'observations 1D ou 2D (transects, puits, affleurements), à leurs propriétés intrinsèques (3D). Ainsi, on montre que la dimension fractale d'un réseau 3D peut être reliée à la dimension fractale apparente du réseau échantillonné sur un affleurement ou un transect. L'étude des propriétés hydrauliques est réalisée pour un modèle de réseau bidimensionnel présentant les caractéristiques principales associées aux réseaux de fractures, soit une densité de fracturation fractale (exposant D), et une distribution des longueurs de fractures en loi de puissance (exposant a). L'étude préalable de la connectivité montre qu'une corrélation fractale forte (D faible) tend à déconnecter les réseaux, alors que la présence de grandes fractures (a faible) induit une augmentation de la connectivité. Le modèle de comportement dépend donc des valeurs relatives de a et D. Les deux effets se compensent uniquement lorsque a=D+1 (cas self-similaire), et dans ce cas seulement l'état de connexion des réseaux ne dépend pas de l'échelle d'observation. Enfin, l'effet de la corrélation spatiale sur les propriétés hydrauliques des réseaux de fractures est soit de premier ordre lorsque a>D+1, puisque alors les réseaux sont déconnectés à grande échelle et par conséquent la perméabilité nulle, soit de second ordre lorsque a£D+1: dans ce cas l'effet des longueurs domine et l'évolution de la perméabilité avec l'échelle est peu sensible à la valeur de D, bien que les écoulements restent chenalisés aux fortes densités.

L'invariance d'échelle repose sur l'intuition que les dynamiques temporelles ne sont pas gouvernées par une (ou quelques) échelle(s) caratéristique(s). Cette propriété est massivement utilisée dans la modélisation et l'analyse de données univariées issues d'applications réelles. Son utilisation pratique se heurte pourtant à deux difficultés dans les applications modernes : les propriétés d'invariance d'échelle ne sont plus nécessairement homogènes en temps ou espace ; le caractère multivarié des données rend fortement non linéaires et non convexes les fonctionnelles à minimiser pour l'estimation des paramètres d'invariance d'échelle. La première originalité de ce travail est d'envisager l'étude de l'invariance d'échelle inhomogène comme un problème conjoint de détection/segmentation et estimation et d'en proposer une formulation par minimisation de fonctionnelles vectorielles, construites autour de pénalisation par variation totale, afin d'estimer à la fois les frontières délimitant les changements et les propriétés d'invariance d'échelle de chaque région. La construction d'un algorithme de débruitage par variation totale vectorielle à la volée est proposée. La seconde originalité réside dans la conception d'une procédure de minimisation de fonctionnelle non convexe type « branch and bound » pour l'identification complète de l'extension bivariée, du mouvement brownien fractionnaire, considéré comme référence pour la modélisation de l'invariance d'échelle univariée. Cette procédure est mise en œuvre en pratique sur des données de trafic Internet dans le contexte de la détection d'anomalies. Dans un troisième temps, nous proposons des contributions spécifiques au débruitage par variation totale : modèle poissonnien d'attache aux données en relation avec un problème de détection d'états pour la fluorescence intermittente ; sélection automatique du paramètre de régularisation. / Scale invariance relies on the intuition that temporal dynamics are not driven by one (or a few) characteristic scale(s). This property is massively used in the modeling and analysis of univariate data stemming from real-world applications. However, its use in practice encounters two difficulties when dealing with modern applications: scaling properties are not necessarily homogenous in time or space ; the multivariate nature of data leads to the minimization of highly non-linear and non-convex functionals in order to estimate the scaling parameters.The first originality of this work is to investigate the study of non-homogenous scale invariance as a joint problem of detection/segmentation and estimation, and to propose its formulation by the minimization of vectorial functionals constructed around a total variation penalization, in order to estimate both the boundaries delimiting the changes and the scaling properties within each region.The second originality lies in the design of a branch and bound minimization procedure of non-convex functional for the full identification of the bivariate extension of fractional Brownian motion, considered as the reference for modeling univariate scale invariance. Such procedure is applied in practice on Internet traffic data in the context of anomaly detection.Thirdly, we propose some contributions specific to total variation denoising: Poisson data-fidelity model related to a state detection problem in intermittent fluorescence ; automatic selection of the regularization parameter.

Cette thèse est consacrée à l’étude du transport branché, de problèmes variationnels qui y sont liés et de structures fractales qui peuvent y apparaître. Le problème du transport branché consiste à connecter deux mesures de même masse par le biais d’un réseau en minimisant un certain coût, qui sera pour notre étude proportionnel à mLα afin de déplacer une masse m sur une distance L. Plusieurs modèles continus ont été proposés pour formuler le problème, et on s’intéresse plus particulièrement aux deux grands types de modèles statiques : le modèle Lagrangien et le modèle Eulérien, avec une emphase sur le premier. Après avoir posé proprement les bases de ces modèles, on établit rigoureusement leur équivalence en utilisant une décomposition de Smirnov des mesures vectorielles à divergence mesure. On s’intéresse par la suite à un problème d’optimisation de forme lié au transport branché qui consiste à déterminer les ensembles de volume 1 les plus proches de l’origine au sens du transport branché. On démontre l’existence d’une solution, décrite comme un ensemble de sous-niveau de la fonction paysage, désormais standard en transport branché. La régularité Hölder de la fonction paysage, obtenue ici sans hypothèse de régularité a priori sur la solution considérée, permet d’obtenir une borne supérieure sur la dimension de Minkowski de son bord, qui est non-entière et dont on conjecture qu’elle en est la dimension exacte. Des simulations numériques, basées sur une approximation variationnelle à la Modica-Mortola de la fonctionnelle du transport branché, ont été effectuées dans le but d’étayer cette conjecture. Une dernière partie de la thèse se concentre sur la fonction paysage, essentielle à l’étude de problèmes variationnels faisant intervenir le transport branché en ce sens qu’elle apparaît comme une variation première du coût d’irrigation. Le but est d’étendre sa définition et ses propriétés fondamentales au cas d’une source étendue, ce à quoi l’on parvient dans le cas d’un réseau possédant un système fini de racines, par exemple pour des mesures à supports disjoints. On donne une définition satisfaisante de la fonction paysage dans ce cas, qui vérifie en particulier la propriété de variation première et on démontre sa régularité Hölder sous des hypothèses raisonnables sur les mesures à connecter. / This thesis is devoted to the study of branched transport, related variational problems and fractal structures that are likely to arise. The branched transport problem consists in connecting two measures of same mass through a network minimizing a certain cost, which in our study will be proportional to mLα in order to move a mass m over a distance L. Several continuous models have been proposed to formulate this problem, and we focus on the two main static models : the Lagrangian and the Eulerian ones, with an emphasis on the first one. After setting properly the bases for these models, we establish rigorously their equivalence using a Smirnov decomposition of vector measures whose divergence is a measure. Secondly, we study a shape optimization problem related to branched transport which consists in finding the sets of unit volume which are closest to the origin in the sense of branched transport. We prove existence of a solution, described as a sublevel set of the landscape function, now standard in branched transport. The Hölder regularity of the landscape function, obtained here without a priori hypotheses on the considered solution, allows us to obtain an upper bound on the Minkowski dimension of its boundary, which is non-integer and which we conjecture to be its exact dimension. Numerical simulations, based on a variational approximation a la Modica-Mortola of the branched transport functional, have been made to support this conjecture. The last part of the thesis focuses on the landscape function, which is essential to the study of variational problems involving branched transport as it appears as a first variation of the irrigation cost. The goal is to extend its definition and fundamental properties to the case of an extended source, which we achieve in the case of networks with finite root systems, for instance if the measures have disjoint supports. We give a satisfying definition of the landscape function in that case, which satisfies the first variation property and we prove its Hölder regularity under reasonable assumptions on the measures we want to connect.

Cette thèse porte principalement sur la compréhension des relations entre la microstructure et les propriétés rhéologiques des nano-composites à base d’un copolymère d’éthylène-acétate de vinyle (EVA). La première partie de l'étude concerne les nano-composites d’EVA avec de la cellulose nanocrystalline (NCC). Cette partie cherche à inférer la structure d’échantillons inconnus à l’aide de mesures rhéologiques. En analysant les propriétés obtenues par des mesures rhéologiques en cisaillement et en élongation, les principaux mécanismes étant à l’origine du renforcement de ces nano-composites sont étudiés en détail. Dans la deuxième partie du travail, on s’intéresse aux nano-composites contenant des particules isométriques (CaCO3) et anisométrique (argile). L'objectif est de déterminer l'effet de variables structurelles comme les interactions polymère-particule et particule-particule, l'état de dispersion, et en particulier la forme des particules sur les propriétés finales. Les mécanismes par lesquels ces paramètres influencent les propriétés rhélogiques ont été abordés en lien avec les prédictions par un modèle de fonction moléculaire de contrainte (MSF). Il a été constaté que plus les particules sont non-isométriques, plus les interactions polymère-particule et les interactions entre les particules sont élevées. Ainsi, l'effet de l’argile est beaucoup plus important que celui du CaCO3, et ce pour presque tous les comportements rhéologiques étudiés. La plupart des paramètres rhéologiques ont montré une divergence autour du seuil de percolation. Par conséquent, les modèles basés sur la dynamique des chaînes (modèle MSF) ne peuvent prédire le comportement après la percolation. Pour les systèmes percolés, les modèles basés sur le réseau fractal, qui considèrent les interactions entre les particules, ont été utilisés. / The main objective of this thesis is to understand the relations between microstructure and rheological properties of polymer nano-composites based on ethylene vinyl acetate (EVA) copolymer. The first part of the study is related to EVA-nano crystalline cellulose (NCC) composites. As a first step, determination of the unknown structure of the samples using rheological methods was investigated. By analyzing the properties obtained under shear and extensional deformations, the mechanisms leading to polymer reinforcement were investigated in details. In the second part, nano-composites containing isometric (CaCO3) and anisometric (clay) particles were used. The focus here was to determine the effect of structural variables such as polymer-particle and particle-particle interactions, state of dispersion, and in particular particle shape on the final properties of these nano-composites. The mechanisms involving these parameters were investigated through rheological properties and discussed with respect to experimental data. Predictions via the molecular stress function (MSF) model are also presented. It was found that higher particle anisomety led to greater polymer-particle and particle-particle interactions. Therefore, the effect of clay was much higher than CaCO3 on almost all the rheological parameters studied. But, lower predictability was found around the percolation concentration. Consequently, while a model based on chain dynamics could predict the behavior below percolation, such model failed to predict the response at higher concentrations. For percolated systems, models based on fractal networks, which include particle-particle interactions, were used.

L'analyse multifractale est l'étude des propriétés locales des ensembles de mesures ou de fonctions. Son importance est apparue dans le cadre de la turbulence pleinement développée. Dans ce cadre, l'expérimentateur n'a pas accès à la vitesse en tout point d'un fluide mais il peut mesurer sa valeur en un point en fonction du temps. On ne mesure donc pas directement la fonction vitesse du fluide, mais sa trace. Cette thèse sera essentiellement consacrée à l'étude du comportement local de traces de fonctions d'espaces de Besov : nous déterminerons la dimension de Hausdorff des ensembles de points ayant un exposant de Hölder donné (spectre multifractal). Afin de caractériser facilement l'exposant de Hölder et l'appartenance à un espace de Besov, on utilisera la décomposition de fonctions sur les bases d'ondelettes.Nous n'obtiendrons pas la valeur du spectre de la trace de toute fonction d'un espace de Besov mais sa valeur pour un ensemble générique de fonctions. On fera alors appel à deux notions de généricité différentes : la prévalence et la généricité au sens de Baire. Ces notions ne coïncident pas toujours, mais, ici on obtiendra les mêmes résultats. Dans la dernière partie, afin de déterminer la forme que peut prend un spectre multifractal, on construira une fonction qui est son propre spectre / Multifractal analysis consists in the study of local properties of set of measures or functions. Its importance appeared in the frame of fully developed turbulence. In this area, physicists do not know the velocity of a fluid at all points but they can measure its value in one point in function of time. Hence, they do not measure the velocity function of the fluid but its trace.This thesis will be mainly dedicated to the study of local behavior of traces of Besov functions: we will determine the Hausdorff dimension of sets of points with a given Hölder exponent (the so-called multifractal spectrum). In order to easily characterize Hölder exponent and Besov spaces, we will use wavelet decomposition. We will not get the value of the multifractal spectrum of the trace of all functions of a Besov space, but its value for a generic set of functions. Then, we will use two notions of genericity : prevalence and Baire's genericity. Even if generic and prevalent properties can be different, here they will be the same.In the last part, in order to establish what a multifractal spectrum shape can be, we will construct a function which is its own spectrum

Les modèles géométriques de calcul permettent d’effectuer des calculs à l’aide de primitives géométriques. Parmi eux, le modèle des machines à signaux se distingue par sa simplicité, ainsi que par sa puissance à réaliser efficacement de nombreux calculs. Nous nous proposons ici d’illustrer et de démontrer cette aptitude, en particulier dans le cas de processus massivement parallèles. Nous montrons d’abord à travers l’étude de fractales que les machines à signaux sont capables d’une utilisation massive et parallèle de l’espace. Une méthode de programmation géométrique modulaire est ensuite proposée pour construire des machines à partir de composants géométriques de base les modules munis de certaines fonctionnalités. Cette méthode est particulièrement adaptée pour la conception de calculs géométriques parallèles. Enfin, l’application de cette méthode et l’utilisation de certaines des structures fractales résultent en une résolution géométrique de problèmes difficiles comme les problèmes de satisfaisabilité booléenne SAT et Q-SAT. Ceux-ci, ainsi que plusieurs de leurs variantes, sont résolus par machines à signaux avec une complexité en temps intrinsèque au modèle, appelée profondeur de collisions, qui est polynomiale, illustrant ainsi l’efficacité et le pouvoir de calcul parallèle des machines a signaux. / Geometrical models of computation allow to compute by using geometrical elementary operations. Among them, the signal machines model distinguishes itself by its simplicity, along with its power to realize efficiently various computations. We propose here an illustration and a study of this ability, especially in the case of massively parallel processes. We show first, through a study of fractals, that signal machines are able to make a massive and parallel use of space. Then, a framework of geometrical modular programmation is proposed for designing machines from basic geometrical components —called modules— supplied with given functionnalities. This method fits particulary with the conception of geometrical parallel computations. Finally, the joint use of this method and of fractal structures provides a geometrical resolution of difficult problems such as the boolean satisfiability problems SAT and Q-SAT. These ones, as well as several variants, are solved by signal machines with a model-specific time complexity, called collisions depth, which is polynomial, illustrating thus the efficiency and the parallel computational abilities of signal machines.

Une nouvelle technique basée sur la diffusion des rayons X et un montage adapté ont été conçus et implémentés sur la ligne de lumière BM5 de l'ESRF. L'instrument permet l'étude in situ et en temps réel e la rugosité d'une surface par diffusion en incidence rasante. L'interaction des rayons X avec la surface, analysée dans le cadre de la théorie des perturbations scalaire du premier ordre, permet d'exprimer les paramètres caractérisant une surface par sa densité spectrale de puissance. En final les valeurs de rugosité, de longueur de corrélation, de conformité de la rugosité, et les exposants propres aux processus de synthèse ont été obtenus.<br />Les potentiels d'un tel instrument ont été vérifiés dans deux cas particuliers: le dépôt de couches minces par pulvérisation magnétron et le décapage par bombardement ionique. Les résultats expérimentaux obtenus ont été discutés par rapport aux modèles actuels décrivant la croissance des films minces et l'interaction des ions avec un solide.

Sur la base des faibles variations de contraintes poroélastiques qui sont à l'origine de la séismicité déclenchée localement par la baisse de pression du gisement de Lacq, on tente dans le chapitre 3 d'évaluer les échelles spatiales des connections fluides dans la croûte supérieure à l'aide de la migration des fronts de pression induits. Les séismes associés à la mise en eau d'une retenue artificielle (M 4-5, Monteynard, Vercors, France) permettent par exemple de cartographier des failles sismiques potentielles au sud de l'agglomération grenobloise, les séismes induits jouant alors le rôle de jauges de contrainte. Dans la région de Lacq, à l'aide de modélisations analytiques des transferts de contraintes visco-élastiques et poro-élastiques, on montre qu'on ne peut rejeter a-priori des interactions entre l'extraction du champ de Lacq, les séismes majeurs de la faille Nord-Pyrénéenne distants d'une trentaine de kilomètres, et les séismes locaux à l'aplomb du champ d'hydrocarbure. Le chapitre 4 constitue une synthèse des mécanismes d'instabilités sismiques déclenchées par les exploitations d'hydrocarbures. On isole trois classes de mécanismes de déclenchements des séismes correspondant à des types d'exploitations et à des réponses sismiques (taille-temps-espaces) bien différenciés: augmentation de pression due à l'injection de fluide; baisse de pression due à extraction de fluide, déficit de masse lors d'extraction massive. Les mécanismes de ruptures sont en accord avec les lois de contraintes effectives, et s'expliquent soit par des transferts poroélastiques soit par des compensations isostasiques. Si la sismicité induite par les extractions de fluides reste marginale par rapport au nombre de gisements exploités, la surveillance sismique fine effectuée sur les gisements montre que de nombreux petits séismes (M < 3) sont présents et permettent un suivi in-situ du comportement des réservoirs au cours de l'exploitation. Notre approche de la séismicité à l'aide des séismes induits par des activités humaines montre les limites des lois de la mécanique classique qui, si elles permettent de comprendre et d'évaluer les seuils critiques qui déclenchent les instabilités sismiques, ne peuvent expliquer ni la durée des phénomènes d'instabilités qui sont entretenus durant de nombreuses années ni la taille des instabilités sismiques (Mmax 7). Sur la base des cas mondiaux de séismicité induite on propose la notion de Systèmes Critiques Auto Organisés Induits où l'on peut observer la genèse, la pérennité et la disparition de systèmes critiques dans un contexte, proposé par ailleurs, d'état critique auto-organisé pour l'ensemble de la croûte supérieure.

Les modèles géométriques de calcul permettent d'effectuer des calculs à l'aide de primitives géométriques. Parmi eux, le modèle des machines à signaux se distingue par sa simplicité, ainsi que par sa puissance à réaliser efficacement de nombreux calculs. Nous nous proposons ici d'illustrer et de démontrer cette aptitude, en particulier dans le cas de processus massivement parallèles. Nous montrons d'abord à travers l'étude de fractales que les machines à signaux sont capables d'une utilisation massive et parallèle de l'espace. Une méthode de programmation géométrique modulaire est ensuite proposée pour construire des machines à partir de composants géométriques de base -- les modules -- munis de certaines fonctionnalités. Cette méthode est particulièrement adaptée pour la conception de calculs géométriques parallèles. Enfin, l'application de cette méthode et l'utilisation de certaines des structures fractales résultent en une résolution géométrique de problèmes difficiles comme les problèmes de satisfaisabilité booléenne SAT et Q-SAT. Ceux-ci, ainsi que plusieurs de leurs variantes, sont résolus par machines à signaux avec une complexité en temps intrinsèque au modèle, appelée profondeur de collisions, qui est polynomiale, illustrant ainsi l'efficacité et le pouvoir de calcul parallèle des machines à signaux.