On réfléchit à une façon de déterminer une fraction rationnelle postcritiquement finie à conjugaison par une transformation de Möbius près, à l'aide de graphes planaires finis munis de la dynamique de l'application. Étant donné une telle fraction rationnelle f, on définit un ensemble G(f) de classes d'équivalences de graphes admissibles (des graphes planaires finis invariants, connexes, qui contiennent l'ensemble postcritique de f). On montre que si G(f) est non vide, alors f et g sont conjuguées par une transformation de Möbius si et seulement si l'intersection entre G(f) et G(g) est non vide. Cela nous amène à réfléchir à la construction de graphes admissibles pour une fraction rationnelle postcritiquement finie. On montre qu'une intersection non vide entre les bords de deux composantes de Fatou périodiques contient au moins un point périodique. On construit des graphes admissibles pour certains éléments de la famille des fractions rationnelles quadratiques dont l'un des deux points critiques est l'image de l'autre, avec des techniques utilisables dans de nombreuses autres familles. / We think of a way to determine a postcritically finite rational map up to Möbius conjugacy, using planar finite graphs fitted with the dynamics of themap. Givensuch a rational map f, we define a set G(f)of equivalence classes of admissible graphs (invariant, connected planar finite graphs containing the postcritical set). We show that if G(f) is non-empty, then f and g are Möbius conjugate if and only if G(f)nG(g) unequal Ø. This leads us to think about the construction of admissible graphs for a postcritically finite rational map. We show that a non-empty intersection between the boundaries of two periodic Fatou components contains at least one periodic point. We construct admissible graphs for some elements of the family of quadratic rational maps whose one of the two critical points is the image of the other, with technics usable in a lot of other families.

L’objet de cette thèse concerne les propriétés du groupe symétrique à travers deux problèmes. Le premier consiste à étudier l’action du groupe symétrique sur la fraction (...). En appliquant certaines opérations sur les graphes et les cartes, nous donnons des algorithmes et des formules combinatoires pour déterminer complètement la fraction réduite suivante : (...). L’auteur C. Greene a introduit cette fraction rationnelle pour généraliser des identités liées a la règle de Murnaghan-Nakayama. Nous utilisons (...) pour établir un nouvel algorithme de décomposition en éléments simples à l’aide des graphes. Dans la seconde partie, nous cherchons a développer les puissances paires du Vandermonde au moyen de fonctions symétriques. En particulier, nous proposons une écriture hyperdéterminantale des coefficients du développement des puissances paires du Vandermonde dans la base des fonctions de Schur. Nous obtenons plusieurs identités reliant les puissances paires du Vandermonde et les polynômes de Jack. Puis nous introduisons une q-déformation des puissances paires du Vandermonde que nous exprimons grâce aux polynômes de Macdonald / The main purpose of this document is the symmetric group. In particular, we study the two following problems. First, the symmetric group acts naturally on the rational function (…), by permuting the variables. With the help of some operations on the graphs, we give algorithms and combinatorial formulas allowing us to compute the reduced fraction (…). The author C. Greene has introduced these rational functions in the aim to generalize some identities related to the Murnaghan-Nakayama rules. We use these properties to give an original algorithm to perform partial decompositions of fractions with the help of graphs. In the second problem, we study the expansion of the even powers of the Vandermonde in several basis of symmetric functions. In this part, we give identities between symmetric functions and hyperdeterminants and we use them to obtain an hyperdeterminental expression of the coefficients in Schur’s basis. We investigate also the relation between the even powers of the Vandermonde and Jack’s functions. Finally, we introduce a q-deformation of the even powers of the Vandermonde and we relate it to some specialisations of Macdonald’s polynomials

Dans l'espace $\mathcal{M}_d$ des modules des fractions rationnelles de degré $d$, le lieu de bifurcation est le support d'un $(1,1)$-courant positif fermé $T_{\textup{bif}}$ appelé \emph{courant de bifurcation}. Ce courant induit une mesure $\mu_{\textup{bif}}=(T_{\textup{bif}})^{2d-2}$ dont le support est le siége de bifurcations maximales. Notre principal résultat est que le support de $\mu_{\textup{bif}}$ est de dimension de Hausdorff totale $2(2d-2)$. Il s'ensuit que l'ensemble des fractions rationnelles de degré $d$ possédant $2d-2$ cycles neutres distincts est dense dans un ensemble de dimension de Hausdorff totale. Remarquons que jusqu'alors, seule l'existence de telles fractions rationnelles (Shishikura) était connue. Mentionnons que pour notre démonstration, nous établissons au préalable que les fractions rationnelles $(2d-2)$-Misiurewicz appartiennent au support de $\mu_{\textup{bif}}$. \par Le dernier chapitre, indépendant du reste de la thése, traite de l'espace $\mathcal{M}_2$. Nous montrons que, dans ce cas, le courant $T_{\textup{bif}}$ se prolonge naturellement á $\p^2$ en un $(1,1)$-courant positif fermé dont nous calculons les nombres de Lelong. Nous montrons aussi que le support de la mesure $\mu_{\textup{bif}}$ est non-borné dans $\mathcal{M}_2$.

Ce travail introduit la notion de schéma d'Atiyah et Hitchin. Une variété algébrique raisonnable Y étant fixée, il s'agit d'une famille de nouveaux schémas, indexée par un entier positif m et notée $R_m(Y)$. Nous étudions les propriétés homotopiques de ces « espaces » au sens de Morel et Voevodsky. Les schémas $F_m$ des fractions rationnelles pointées de degré m constituent un exemple fondateur et fondamental. Du point de vue topologique, les travaux de G. Segal et F. Cohen et al. montrent que l'espace $F_m(C)$ approxime l'espace de lacets $Ω^2 S^3$. Nous formulons une série précise de conjectures visant à généraliser ces résultats dans un cadre algébrique. Le schéma $R_m(Y)$ approximerait l'espace de lacets motivique $Ω^{P¹} Σ^{P¹} Y$. Nous obtenons plusieurs résultats dans cette direction. En particulier : 1) Nous déterminons l'ensemble des composantes connexes algébriques naïves du schéma de fractions rationnelles $F_m$, au-dessus d'un corps de base. Le calcul est simple et élémentaire. On retrouve, à une complétion près, le groupe des classes d'homotopie d'endomorphismes pointés de la droite projective $P¹$, tel que calculé par Morel. 2) Nous construisons un morphisme algébrique reliant $R_mY$ à $Ω^{P¹} Σ^{P¹} Y$. 3) Lorsque Y est une variété algébrique complexe, nous explicitons le type d'homotopie de l'espace topologique $R_m(Y)(C)$ comme un foncteur en $Y(C)$. De plus, nous montrons que l'espace $R_m(Y)(C)$ admet un scindement stable dont les facteurs sont ceux du scindement de Snaith de l'espace $Ω² Σ² Y (C)$.

L'objet principal de cette thèse est l'étude de la dimension conforme Ahlfors régulière d'un espace métrique. C'est un invariant numérique par quasisymétrie, introduit par P. Pansu, permettant la classification à quasi-isométrie près des espaces homogènes de courbure négative. Elle joue actuellement un rôle important en théorie géométrique des groupes et en dynamique conforme. A partir d'une suite de recouvrements d'un espace métrique compact on construit des distances de dimension contrôlée appartenant à la jauge conforme (Ahlfors régulière). On peut ainsi caractériser toutes les métriques de la jauge à homéomorphismes bi-Lipschitz près. On montre comment calculer la dimension conforme AR à partir de modules combinatoires en considérant un exposant critique. Comme conséquence de cette égalité on obtient un critère général de dimension un. Les conditions sont données en termes de points de coupure locale.On donne par ailleurs des applications de ces résultats aux bords des groupes hyperboliques et aux ensembles de Julia des fractions rationnelles semihyperboliques. / In this thesis we study the Ahlfors regular conformal dimension of a metric space. This is a quasisymmetric numerical invariant, introduced by P. Pansu, which was used to classify negatively curved homogeneous spaces up to quasi-isometries. It plays nowadays an important role in geometric group theory and in conformal dynamics.Using a sequence of finite coverings of a compact metric space, we construct distances in the (Ahlfors regular) conformal gauge of controlled dimension. We obtain in this way a combinatorial characterization (up to bi-Lipschitz homeomorphisms) of all the metrics of the gauge.We show how to compute the conformal dimension (AR) using the critical exponent associated to the combinatorial modulus. As a consequence of this equality we obtain a general criterion ensuring dimension one. The conditions are stated in terms of local cut points.Finally, we give applications of these results to the boundaries of Gromov hyperbolic groups and to the Julia sets of semi-hyperbolic rational maps.

Lorsqu'on étudie les systèmes dynamiques engendrés par une famille de polynômes, il apparait naturellement des courbes algébriques de type cyclotomique, contenant des points périodiques ou prépériodiques. Dans le cas périodique de la famille zd + c, le premier chapitre de cette thèse montre, en collaboration avec Ou, que ces courbes sont toutes lisses et irréductibles, généralisant les résultats connus au cas d=2. Dans le cas prépériodique de la même famille, le deuxième chapitre de la thèse montre, contre tout attendu, que ces courbes sont en général réductibles. En plus, il y contient une caractérisation des composantes irréductibles ainsi que leur relation géométrique et analytique. Le deuxième thème de cette thèse concerne un nouveau sujet développé par W. Thurston, il s'agit d'entropie noyau des polynômes. Thurston a donné un algorithme, sans preuve, pour calculer ces entropies. La thèse contient une preuve rigoureuse de cet algorithme ainsi que des nouvelles méthodes pour étudier la variation de ces entropies en jonglant plusieurs points de vue. Le dernier thème de cette thèse donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction rationnelle possède un compact errant plein dans son ensemble de Julia. On savait que dans le cas particulier des polynômes ce genre de compact ne pouvait pas du tout exister.

L'objet de cette thèse concerne les propriétés du groupe symétrique à travers deux problèmes. Le premier consiste à étudier l'action du groupe symétrique sur la fraction (...). En appliquant certaines opérations sur les graphes et les cartes, nous donnons des algorithmes et des formules combinatoires pour déterminer complètement la fraction réduite suivante : (...). L'auteur C. Greene a introduit cette fraction rationnelle pour généraliser des identités liées a la règle de Murnaghan-Nakayama. Nous utilisons (...) pour établir un nouvel algorithme de décomposition en éléments simples à l'aide des graphes. Dans la seconde partie, nous cherchons a développer les puissances paires du Vandermonde au moyen de fonctions symétriques. En particulier, nous proposons une écriture hyperdéterminantale des coefficients du développement des puissances paires du Vandermonde dans la base des fonctions de Schur. Nous obtenons plusieurs identités reliant les puissances paires du Vandermonde et les polynômes de Jack. Puis nous introduisons une q-déformation des puissances paires du Vandermonde que nous exprimons grâce aux polynômes de Macdonald

La thèse est consacrée à une étude d'interpolation complexe "semi-libre" dans le sens suivant: étant donné un ensemble "sigma" dans le disque unité D et une fonction f holomorphe dans D appartenant à une certaine classe X, on cherche g dans une autre classe Y (plus petite que X) qui minimise la norme de g dans Y parmi toutes les fonctions g satisfaisant g=f sur l'ensemble "sigma". Plus précisément, nous nous intéressons aux estimations de la constante d'interpolation suivante: c(sigma, X, Y ) = sup{ inf{||g||_Y: g=f sur sigma}: ||f||_X<=1} Dans la thèse, nous étudions le cas où Y = H^infini et où l'espace des contraintes X est choisi parmi les espaces suivants: les espaces de Hardy, les espaces de Bergman pondérés à poids radial ou encore les espaces de fonctions holomorphes ayant leurs coefficients de Taylor dans lp(w) (w étant un poids). La thèse contient également certaines applications aux nombres conditionnés des matrices de Toeplitz. / The thesis is devoted to a "semi-free" interpolation problem in the following way. Let sigma be a finite set of the unit disc D and f an holomorphic function in D which belongs to a certain class X, we search for g in another class Y (smaller than X) which minimize the norm of g in Y among all the functions g such that g=f on the set "sigma". More precisely, we are interested in the following interpolation constant : c(sigma, X, Y ) = sup{ inf{||g||_Y: g=f sur sigma}: ||f||_X<=1}. We study in the thesis the case where Y=H^\infinity and the space of constrains X is chosen among the following spaces: Hardy spaces, weighted Bergman spaces (with radial waights), and holomorphic functions which Taylor coefficients are in lp(w) (w being a weight). The thesis also contains an application to the condition numbers of Toeplitz matrices.