Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-02-23T11:48:48Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Uender Barbosa de Souza - 2015.pdf: 1080400 bytes, checksum: b157d208d7fefbd962ec5263785ee984 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-02-23T11:50:57Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Uender Barbosa de Souza - 2015.pdf: 1080400 bytes, checksum: b157d208d7fefbd962ec5263785ee984 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-02-23T11:50:57Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Uender Barbosa de Souza - 2015.pdf: 1080400 bytes, checksum: b157d208d7fefbd962ec5263785ee984 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2015-04-29 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This paper presents methods to calculate some in nite sums and use the Fourier series of function f(x) = x2p with p 2 N to get results on the behavior of Zeta(2p) function Riemann, including their sum and rational multiplicity of 2p. / Neste trabalho apresentamos métodos para o cálculo de algumas somas in nitas e usamos a série de Fourier da função f(x) = x2p com p 2 N para obter resultados sobre o comportamento da função Zeta(2p) de Riemann, tais como sua soma e sua multiplicidade racional por 2p.

Neste trabalho, introduzimos a função zeta de Riemann \'ZETA\'(s), para s \'PERTENCE\' C \\ e apresentamos muito do que é conhecido como justificativa para a hipótese de Riemann. A importância de \'ZETA\' (s) para a teoria analítica dos números é enfatizada e fornecemos uma prova conhecida do Teorema dos Números Primos. No final, discutimos a importância de \'ZETA\'(s) para alguns modelos físicos de interesse e concluimos descrevendo como a hipótese de Riemann pode ser acessada estudando estes sistemas / In this work, we introduce the Riemann zeta function \'ZETA\'(s), s \'IT BELONGS\' C \\ and present much of what is known to support the Riemann hypothesis. The importance of \'ZETA\'(s) to the Analytic number theory is emphasized and a proof for the Prime Number Theorem is reviewed. In the end, we report on the importance of \'ZETA\'(s) to some relevant physical models and conclude by describing how the Riemann Hypothesis can be accessed by studying these systems

Neste trabalho, introduzimos a função zeta de Riemann \'ZETA\'(s), para s \'PERTENCE\' C \\ e apresentamos muito do que é conhecido como justificativa para a hipótese de Riemann. A importância de \'ZETA\' (s) para a teoria analítica dos números é enfatizada e fornecemos uma prova conhecida do Teorema dos Números Primos. No final, discutimos a importância de \'ZETA\'(s) para alguns modelos físicos de interesse e concluimos descrevendo como a hipótese de Riemann pode ser acessada estudando estes sistemas / In this work, we introduce the Riemann zeta function \'ZETA\'(s), s \'IT BELONGS\' C \\ and present much of what is known to support the Riemann hypothesis. The importance of \'ZETA\'(s) to the Analytic number theory is emphasized and a proof for the Prime Number Theorem is reviewed. In the end, we report on the importance of \'ZETA\'(s) to some relevant physical models and conclude by describing how the Riemann Hypothesis can be accessed by studying these systems

Seja E(X) a cardinalidade dos números pares menores ou iguais a X que não podem ser escritos como soma de dois primos. O objetivo central desta dissertação é apresentar uma demonstração de uma estimativa para E(X) dada por Hugh L. Montgomery e Robert C. Vaughan em [22]. Mais precisamente, estabeleceremos a existência de uma constante positiva (efetivamente computável) tal que E(X) X1 ; para todo X su cientemente grande. / Let E(X) the cardinality of even numbers not exceeding X which cannot be written as a sum of two primes. The main goal of this dissertation is to present a proof of an estimate for E(X) given by Hugh L. Montgomery e Robert C. Vaughan in [22]. More precisely, we will establish the existence of a positive constant (e ectively computable) such that E(X) X1 for all su ciently large X:

Seja E(X) a cardinalidade dos números pares menores ou iguais a X que não podem ser escritos como soma de dois primos. O objetivo central desta dissertação é apresentar uma demonstração de uma estimativa para E(X) dada por Hugh L. Montgomery e Robert C. Vaughan em [22]. Mais precisamente, estabeleceremos a existência de uma constante positiva (efetivamente computável) tal que E(X) X1 ; para todo X su cientemente grande. / Let E(X) the cardinality of even numbers not exceeding X which cannot be written as a sum of two primes. The main goal of this dissertation is to present a proof of an estimate for E(X) given by Hugh L. Montgomery e Robert C. Vaughan in [22]. More precisely, we will establish the existence of a positive constant (e ectively computable) such that E(X) X1 for all su ciently large X:

Seja E(X) a cardinalidade dos números pares menores ou iguais a X que não podem ser escritos como soma de dois primos. O objetivo central desta dissertação é apresentar uma demonstração de uma estimativa para E(X) dada por Hugh L. Montgomery e Robert C. Vaughan em [22]. Mais precisamente, estabeleceremos a existência de uma constante positiva (efetivamente computável) tal que E(X) X1 ; para todo X su cientemente grande. / Let E(X) the cardinality of even numbers not exceeding X which cannot be written as a sum of two primes. The main goal of this dissertation is to present a proof of an estimate for E(X) given by Hugh L. Montgomery e Robert C. Vaughan in [22]. More precisely, we will establish the existence of a positive constant (e ectively computable) such that E(X) X1 for all su ciently large X:

Submitted by Angela Maria de Oliveira (amolivei@uepg.br) on 2018-11-29T18:07:06Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Maikon Luiz.pdf: 959643 bytes, checksum: aaf472f5b8a9a29532793d01234788a9 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-11-29T18:07:06Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Maikon Luiz.pdf: 959643 bytes, checksum: aaf472f5b8a9a29532793d01234788a9 (MD5) Previous issue date: 2018-10-19 / Neste trabalho,estudamos os números e os polinomios de Bernoulli,bem como algumas de suas aplicações mais importantes em Teoria dos Números. Com base em uma caracterização ao simples, os polinômios de Bernoulli são introduzidos e, posteriormente, os números de Bernoulli. As séries de Fourier dos polinomios de Bernoulli são utilizadas na demonstração da equação funcional da função teta. Esta equação, por sua vez, é utilizada na demonstração da celebre equação funcional da função zeta, que tem importância central na teoria da distribuição dos números primos. Além das conexões com a funções especiais zeta e teta, discutimos também, em detalhe,conexões entre os números e os polinomios de Bernoulli com a função gama. Essas relações são então exploradas para produzir belas fórmulas para certos valores da função zeta, entre outras aplicações. / In this work we study Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials, as well as some of its most important applications in Number Theory. Based on a simple characterization, the Bernoulli polynomials are introduced and, later, the Bernoulli numbers. The Fourier series of the Bernoulli polynomials are used to demonstrate the functional equation of the theta function. This equation, in turn, is used in the proof of the famous functional equation of the zeta function, which is central to the theory of prime number distribution. In addition to the connections with the special functions zeta and theta, we also discuss, in detail, connections between the Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials with the gamma function. These relations are then explored to produce beautiful formulas for certain values of the zeta function,among other applications.

Em Teoria Analítica de Números, a expressão \"Fórmula Explícita\" se refere a uma igualdade entre, por um lado, uma soma de alguma função aritmética feita sobre todos os primos e, por outro lado, uma soma envol- vendo os zeros não triviais da função zeta de Riemann. Essa igualdade não é habitual em Teoria Analítica de Números, que trata principalmente de aproximações assintóticas de funções aritméticas e não de fórmulas exatas. A expressão se originou do trabalho seminal de Riemann, de 1859, onde aparece uma expressão exata para a função (x), que conta o número de primos que não excedem x. A prova do Teorema dos Números Primos, de Hadamard, também se baseia numa fórmula explícita de (x) (função de Tschebycheff). Mais recentemente, o trabalho de André Weil reforçou o inte- resse em compreender-se melhor a natureza de tais fórmulas. Neste trabalho, apresentaremos a fórmula explícita de Riemann-von Mangoldt, a de Delsarte e um caso particular da fórmula explícita de Weil. / In the field of Analytic Theory of Numbers, the expression \"Explicit For- mula\" refers to an equality between, on one hand, the sum of some arithmetic function over all primes and, on the other, a sum over the non-trivial zeros of Riemann s zeta function. This equality is not common in the analytic theory of numbers, that deals mainly with asymptotic approximations of arithmetic functions, and not of exact formulas. The expression originated of Riemann s seminal work, of 1859, in which we see an exact expression for the function (x), that counts the number of primes that do not exceed x. The proof of the Prime Number Theorem, by Hadamard, is also based on an explicit formula of (x) (Tschebycheff s function). More recently, the work of André Weil increased the interest in better comprehending the nature of such formulas. In this work, we shall present the Riemann-von Mangoldt formula, Delsarte s explicit formula, and one particular case of Weil s explicit formula.