En analyse de tolérances géométriques, une approche consiste à manipuler des polyèdres de R' issus d’ensembles de contraintes linéaires. La position relative entre deux surfaces quelconques d'un mécanisme est déterminée par des opérations (somme de Minkowski et intersection) sur ces polyèdres. Ces polyèdres ne sont pas bornés selon les déplacements illimités dus aux degrés d’invariance des surfaces et aux degrés de liberté des liaisons.Dans une première partie sont introduits des demi-espaces "bouchons" destinés à limiter ces déplacements afin de transformer les polyèdres en polytopes. Cette méthode implique de maîtriser l’influence des demi-espaces bouchons sur la topologie des polytopes résultants. Ceci est primordial pour garantir la traçabilité de ces demi-espaces dans le processus d’analyse de tolérances.Une seconde partie dresse un inventaire des problématiques de mise en oeuvre numérique des polytopes. L’une d’entre elles repose sur le choix d’une configuration de calcul (point et base d’expression, coefficients d’homogénéisation) pour définir un polytope. Après avoir montré que le changement de configuration de calcul est une transformation affine, plusieurs stratégies de simulations sont déclinées afin d’appréhender les problèmes de précision numérique et de temps de calculs. / In geometric tolerancing analysis area, a classical approach consists in handling polyhedrons coming from sets of linear constraints. The relative position between any two surfaces of a mechanism is determined by operations (Minkowski sum and intersection) on these polyhedrons. The polyhedrons are generally unbounded due to the inclusion of degrees of invariance for surfaces and degrees of freedom for joints defining theoretically unlimited displacements.In a first part are introduced the cap half-spaces to limit these displacements in order to transform the polyhedron into polytopes. This method requires controlling the influence of these additional half-spaces on the topology of calculated polytopes. This is necessary to ensure the traceability of these half-spaces through the tolerancing analysis process.A second part provides an inventory of the issues related to the numerical implementation of polytopes. One of them depends on the choice of a computation configuration (expression point and base, homogenization coefficients) to define a polytope. After proving that the modification of a computation configuration is an affine transformation, several simulation strategies are listed in order to understand the problems of numerical precision and computation time.

Les travaux présentés dans cette thèse s'inscrivent dans la cadre de la planification de trajectoires optimales en présence d'obstacles pour des robots mobiles de type voiture et pour des robots à pattes. Le modèle de robot de type voiture étudié est celui de Dubins. Il s'agit grossièrement d'une voiture se déplaçant en marche avant uniquement et dont le rayon de braquage est minoré par 1. Nous avons considéré le problème du calcul d'une enveloppe convexe de courbure bornée d'un ensemble S de points du plan, c'est-à-dire d'un ensemble contenant S et dont le bord est de courbure bornée et de périmètre minimal. Nous montrons que si le rayon du plus petit disque contenant S est supérieur à 1, une telle enveloppe est unique. Nous montrons que le calcul d'une enveloppe convexe de courbure bornée se ramène à un problème d'optimisation convexe ou à la résolution d'un ensemble de systèmes algébriques. Nous proposons également un algorithme exact polynomial pour le calcul de trajectoires optimales en longueur lorsque le robot se déplace en présence d'obstacles dont les bords sont de courbure bornée et constitués de segments de droite et d'arcs de cercle. De tels obstacles peuvent être obtenu comme enveloppes convexes de courbure bornée d'obstacles polygonaux. L'algorithme calcule un graphe et recherche un plus court chemin dans ce graphe. Le calcul de ce graphe est effectué grâce à des techniques de géométrie algorithmique et par la résolution de systèmes algébriques dont nous montrons, à l'aide de résultants, qu'ils ont un nombre fini de solutions. Nous avons également étudié le problème de la planification de trajectoires pour des robots à pattes dont le corps est ponctuel et dont toutes les pattes sont attachées au même point. Les pattes du robot ont une longueur bornée et ne sont autorisées à se poser que dans certaines régions polygonales du plan. Nous présentons un algorithme quasi optimal pour le calcul de l'ensemble des positions du corps du robot en équilibre stable. Par une transformation judicieuse, nous nous ramenons au calcul de l'espace libre d'un robot de la forme d'un demi disque se déplaçant en présence d'obstacles.

Étant donné un ensemble S de points du plan, une triangulation de S est une décomposition de l'enveloppe convexe de S en triangles dont les sommets sont les points de S. Une triangulation de S est dite de Delaunay si le cercle circonscrit à chaque triangle ne contient aucun point de S en son intérieur. Dans cette thèse, nous étudions une généralisation de ces notions à un ensemble S de segments disjoints du plan.<br />Nous commençons par définir une nouvelle famille de diagrammes, appelés triangulations de segments. Nous étudions leurs propriétés géométriques et topologiques et nous donnons un algorithme pour construire efficacement une telle triangulation.<br />Nous généralisons ensuite la notion de triangulation de Delaunay aux triangulations de segments et nous mettons en évidence la dualité avec le diagramme de Voronoï de segments.<br />Nous étendons également la légalité des arêtes au cas des triangulations de segments en définissant, d'une part, la légalité géométrique qui caractérise la triangulation de Delaunay de segments parmi l'ensemble de toutes les triangulations de segments possibles et, d'autre part, la légalité topologique qui caractérise les triangulations de segments qui ont la même topologie que celle de Delaunay.<br />Enfin, nous décrivons un algorithme de « flip » qui transforme toute triangulation de segments en une triangulation qui a la même topologie que celle de Delaunay. À l'aide de fonctions localement convexes, nous démontrons que la suite de triangulations construites par cet algorithme converge vers celle de Delaunay et nous prouvons qu'une triangulation de segments qui a la même topologie que celle de Delaunay est obtenue après un nombre fini d'étapes.

The notion of visibility is central in computer graphics and computational geometry. A visibility computation amounts to determining the shape, or merely the existence of the set of segments in space linking two specified objects without crossing any other. We examine the problem of maintaining the visibility of a moving viewpoint with the aid of a complex describing all the visibility relationships in a scene, at once: the visibility complex. <br />We take two different approaches to this problem. In one, we show how one can maintain the so-called visibility polyhedron of the moving point, in an exact fashion. We apply a variant of the algorithm to the construction of the visibility complex of a set of disjoint polytopes. <br />The second approach is motivated by the need to render complex 3D scenes at interactive rates. We propose an algorithm that decomposes a 3D scene into simple cells related together with simple visibility relationships represented as a graph. The scene is drawn as the graph is traversed, allowing pruning to speed up rendering. We also provide an efficient algorithm for real-time rendering of hard shadows.

Nous abordons dans cette étude le problème de la reconstruction de courbes et de surfaces, à partir de points leur appartenant et sous l'hypothèse que la seule connaissance que nous avons sur ces points est celle de leurs coordonnées. Dans le cas des courbes, nous proposons une méthode basée sur l'approximation locale de la courbe par des cercles et sur le traitement global de sous-ensembles de points. Une méthode d'approximation robuste au moyen d'un problème de minimisation permet donc d'approcher localement la courbe par un cercle, et d'ordonner les sous-ensembles de points ainsi approchés. Des méthodes algorithmiques de découpe et de raccord permettent alors de mener à bien la reconstruction d'une courbe. L'existence de points multiples ou de points de rebroussement est prise en compte par une stratégie d'énumération des différentes morphologies locales de la courbe. La méthode s'avère aussi robuste lorsque les points initiaux sont perturbés. Les complexités temporelle et en place mémoire optimales des algorithmes et de la structure de données, ainsi que l'ordonnancement global permettent de traiter des ensembles initiaux comportant un grand nombre de points. Des cas de surfaces radiales ou de surfaces correspondant au graphe d'une fonction ont été traités en approchant le nuage de points par une sphère. Les points sont projetés et triangulés selon la triangulation de Delaunay sur la sphère, et nous obtenons alors une surface polyèdrique liant les points. Des tests et des comparaisons avec des méthodes du type triangulations dépendantes des données sont établis sur ces catégories de surfaces

Cette thèse décrit l'exploitation d'approches géométriques pour résoudre le probleme de segmentation d'images, ainsi que le probleme de détection d'événements en imagerie multi-sources. La structure géométrique utilisée est le diagramme de Voronoi ponctuel. Nous abordons tout d'abord une première approche de segmentation d'images en polygones de Voronoi dont l'algorithme fonctionne en trois étapes: une phase d'initialisation, une phrase de partition et une phase de fusion. Ce processus de segmentation est utilise pour détecter les différences entre des images acquises dans différents domaines de radiometrie. Nous présentons une seconde technique de segmentation fondée sur le processus de coopération d'un détecteur de frontières et d'un détecteur de régions. Cette approche utilise le diagramme de voronoi généralisé pour générer une partition initiale dont les frontières des régions s'appuient sur les contours détectés initialement. Pour réaliser cette segmentation nous avons propose un algorithme de calcul d'une approximation du diagramme de Voronoi généralisé en utilisant le diagramme de Voronoi ponctuel

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Cette thèse traite du problème fondamental que constitue la planification de trajectoires de robots manipulateurs. Une première partie précise le contexte robotique de notre travail et présente le système général de programmation automatique développe au Lifia. Nous analysons ensuite l'importance de la représentation des connaissances nécessaires aux raisonnements géométriques particuliers a la planification de déplacements. Les méthodes de modélisation et les concepts de représentation que nous avons mis en oeuvre sont ensuite présentes. Une deuxième partie traite de la planification de trajectoires pour une structure articulée. Une methode de planification globale par construction de l'espace des configurations est présentée, ainsi qu'une methode de replanification locale par application de champs de potentiels et, enfin, une methode hybride réalisant la synthèse de ces approches complémentaires, pour lesquelles sont décrits algorithmes, résultats d'expérimentation et futurs développements

Divers algorithmes d'études locale d'ensembles invariants compacts de systèmes dynamiques sont présentés dans ce travail. Nous commençons par développer des méthodes de calcul numérique de la densité locale autour d'un point d'un ensemble de Julia de fraction rationnelle. Ce problème est important dans le domaine de l'étude des modèles hiérarchiques de la physique statistique. De plus, cette densité serait un des paramètres principaux de la caractérisation d'invariants compacts de systèmes dynamiques (attracteur étrange...). L'application de ces méthodes demande des algorithmes d'accès rapide à des régions (rectangle, cercle) du compact numériquement approche par un ensemble forme d'un grand nombre de points. Nous avons mis au point un algorithme, réellement implémentable et expérimentalement efficace, qui résout ce problème. Nous montrons que, sous certaines conditions, ce procédé permet l'estimation de quelques dimensions fractales de l'ensemble considère. Un logiciel, nomme Elsep et écrit en langage Pascal, qui regroupe et exploite tous ces algorithmes ponctue cette étude. Des résultats numériques et graphiques illustrent chacune des parties traitées

L'approximation des convexes lisses par des polytopes pour la distance de Hausdorff a connu de nombreux résultats théoriques grâce à l'apport de la géométrie riemannienne. Nous rappelons ces résultats portant principalement sur le comportement asymptotique et montrons leur utilité pour certains cas pratiques. Puis nous établissons notre résultat principal, à savoir que ce problème d'approximation d'un convexe est, en un sens bien précis, équivalent à celui de l'approximation d'une norme par une autre. Nous établissons ensuite les propriétés d'un produit d'approximations de normes, ce qui nous permet de construire par récurrence sur la dimension des polytopes approchant certains convexes lisses, ainsi que des approximations optimales des normes Lp. Enfin nous montrons à travers différentes applications à la géométrie algorithmique en quoi une approximation de norme permet de transformer un algorithme de résolution exacte en un algorithme de résolution approchée mais moins coûteux.