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Cette recherche, de nature exploratoire, vise à relever les incompréhensions et erreurs manifestées par des élèves en géométrie plane et à tenter de les expliquer à l'aide du modèle de la cognition en mathématiques de Davis et McKnight. A cette fin, nous avons fait quatre études de cas d'élèves faibles en géométrie et provenant de classes de troisième année du secondaire au Maroc. Avec chacun des quatre, nous avons réalisé 9 ou 10 entrevues de 40mn à 50mn étalées sur une période de trois mois. L'analyse des protocoles obtenus nous a permis d'identifier neuf types d'incompréhensions et d'erreurs en géométrie plane. A l'exception de celles d'ordre linguistique, nous avons pu expliquer en termes de "frames" et de "suites VHS" les incompréhensions et erreurs observées et en distinguer trois types selon leurs origines. / Québec Université Laval, Bibliothèque 2016

Cette recherche se propose de tester en CM2 et en 6ème un nouveau cadre théorique construit à partir d'une part de la théorie des paradigmes géométriques et de la théorie des niveaux de van Hiele. La géométrie à l'école primaire est essentiellement une géométrie spatio-graphique (G1) où les objets sont les représentants d'objets physiques et les validations perceptives. Le niveau de van Hiele que l'élève doit maîtriser à la fin du CM2 est celui de l'identification-visualisation (N1). La géométrie au collège vise à être une géométrie proto-axiomatique (G2) où les objets sont théoriques et les validations de type hypothético-déductif. L'élève doit alors maîtriser le niveau de déduction informelle de van Hiele (N3). <br />Le cadre théorique mis à l'épreuve dans cette étude, propose que le niveau d'analyse (N2) de van Hiele soit une « zone de tuilage » entre les paradigmes géométriques G1 et G2.<br />Des élèves de CM2 et de 6ème ont répondu aux mêmes questions à propos des triangles particuliers, des quadrilatères particuliers, du cercle. <br />L'analyse des réponses a permis de montrer qu'un élève de CM2 ou de 6ème ne pouvait être caractérisé par un mode de fonctionnement dans un paradigme unique ou un seul niveau de van Hiele. Selon l'activité il peut fonctionner dans un paradigme ou dans un autre et témoigner de différents niveaux de van Hiele. Le niveau N2 d'analyse de la théorie de van Hiele se confirme comme la « zone de tuilage » entre les deux paradigmes géométriques. Des activités mettant en évidence ce niveau de van Hiele dans l'un ou l'autre des deux paradigmes permette d'instaurer une continuité dans l'enseignement de la géométrie au passage de l'école primaire vers le collège.

Notre recherche porte sur l'analyse du rôle du langage naturel dans les allers et retours entre domaine théorique et domaine graphique lors d'un processus de démonstration en géométrie plane par des élèves qui travaillent en dyade. Nous nous appuyons en d'abord sur deux hypothèses de recherche : l'une qui considère le langage comme outil d'analyse du discours en tant que révélateur des démarches de résolution, l'autre qui considère le langage comme outil de résolution pour les élèves en tant que médiateur pour la construction et la maîtrise de la pensée. En outre, nous faisons l'hypothèse que l'avancement du processus de résolution passe par l'évolution des échanges verbaux, en se déplaçant d'un mode d'expansion discursive d'accumulation à un mode d'expansion discursive de substitution, et par le changement de la valeur des propositions émises, en passant d'une valeur épistémique à une valeur de vérité. Nous proposons de relever les traces de ces évolutions grâce à l'analyse du discours des binômes observés en retenant l'usage de certaines unités linguistiques comme révélateur d'un type d'expansion discursive. En revanche, pour ce qui concerne l'analyse fonctionnelle du langage en tant qu'outil de résolution, nous retenons l'idée que le langage est outil pour la construction et la maîtrise de la pensée du sujet. Cette perspective nous a permis de dégager les conditions et les modalités d'apparition de diverses fonctions du langage telles la fonction de guide (rôle des verbalisations des théorèmes et de l'instanciation), la fonction de planification (planification d'un enchaînement de pas de déductions), la fonction de contrôle (liée à la fonction de guidage qui permet de revenir sur les pas du processus) et les fonctions de référence et d'association (rôle des mots et des configurations-étiquettes). Cette catégorisation permet de repérer l'importance relative des fonctions exercées par le langage dans les protocoles en tant qu'outil pour l'avancement du processus, et de repérer des conditions pour que ces fonctions se mettent en place et s'exercent.

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